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2014年高中数学 第三章 概率 随机事件的概率教案 北师大版必修3


随机事件的概率
教学目标: 通过试验,体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,由此给出概率的统计定义。 教学重点: 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性。 教学难点: 理解频率与概率的关系。 教学过程: [设置情景] 1 名数学家=10 个师 在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过 10 个师的兵力。这 句话有一个非同寻常的来历。 1943 年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限 于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。 为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后得出, 舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性。一定 数量的船(为 100 艘)编队规模越小,编次就越多(为每次 20 艘,就要有 5 个编次),编 次越多,与敌人相遇的概率就越大。 美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后 各自驶向预定港口。结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的 25%降为 1%, 大大减少了损失,保证了物资的及时供应。 在自然界和实际生活中, 我们会遇到各种各样的现象。 如果从结果能否预知的角度来看, 可以分为两大类:一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以 预知的,这类现象称为确定性现象;另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下, 出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象。 确定性现象,一般有着较明显得内在规律,因此比较容易掌握它。而随机现象,由于它 具有不确定性,因此它成为人们研究的重点。 随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果,我们把随机现象的结果称为随机事 件。

[探索研究] 1.随机事件 下列哪些是随机事件? (1)导体通电时发热; (2)某人射击一次,中靶; (3)抛一石块,下落; (4)在常温下,铁熔化; (5)抛一枚硬币,正面朝上; (6)在标准大气压下且温度低于 0 ?c 时,冰融化。 由学生回答,然后教师归纳: 必然事件、不可能事件、随机事件的概念。 可让学生再分别举一些例子。 2.随机事件的概率 由于随机事件具有不确定性,因而从表面上看,似乎偶然性在起着支配作用,没有什么 必然性。但是,人们经过长期的实践并深入研究后,发现随机事件虽然就每次试验结果来说 具有不确定性,然而在大量重复试验中,它却呈现出一种完全确定的规律性。 下面由学生做试验得出随机事件的频率,试验过程如下: 做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时 哪一个面朝上 第一步:全班同学做 10 次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例。 思考:试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗?为什么? 第二步:由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表。

组次

试验总次 数

正面朝上总次 数

正面朝上的比例

思考:与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗?为什么? 第三步:用横轴为实验结果,仅取两个值:1(正面)和 0(反面),纵轴为实验结果出现 的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么? 第四步:把全班实验结果收集起来,也用条形图表示. 第五步:请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性。 结论:

随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增 加,事件 A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上。 思考: 这个条形图有什么特点?如果同学们重复一次上面的实验, 全班汇总结果与这一次汇 总结果一致吗?为什么? 例如,历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验,结果如下表 抛掷次数( n ) 正面向上次数(频数 m )

m 频率( n )
0.5181 0.5069 0.5016 05005 0.4996 0.5011

2048 4040 12000 24000 30000 72088

1061 2048 6019 12012 14984 36124

我们可以看到,当抛掷硬币的次数很多时,出现正面的频率值是稳定的,接近于常数 0.5, 在它左右摆动。 概率的定义: 对于给定的随机事件 A,如果随着实验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某 个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率。 对于概率的统计定义,注意以下几点: (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件 A 的概率; (3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值; (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小; (5)必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0。因此 0 ? P? A? ? 1 。 3.例题分析 例 1 指出下列事件中,哪些是不可能事件?哪些是必然事件?哪些是随机事件? (1)若 a、b、c 都是实数,则 a?bc? ? ?ab?c ; (2)没有空气,动物也能生存下去;

(3)在标准大气压下,水在温度 90 ?c 时沸腾; (4)直线 y ? k ?x ? 1? 过定点 ?? 1,0? ; (5)某一天内电话收到的呼叫次数为 0; (6)一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球,从中任意摸出 1 个球则为白球。 (由学生口答,答案:(1)(4)是必然事件;(2)(3)是不可能事件;(5)(6)是随 机事件。) 例 2 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下: 抽取台数 优等品数 50 40 100 92 200 192 300 285 500 478 1000 954

(1)计算表中优等品的各个频率; (2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少? (由一名学生板演后,教师纠正) 解:(1)各次优等品的概率为 0.8, 0.92, 0.96, 0.95, 0.956, 0.954 (2)优等品的概率是 0.95。 4.课堂练习 (1).某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数( n ) 击中靶心次数( m ) 10 9 20 19 50 44 100 91 200 178 500 451

m 击中靶心频率( n )
(I)计算表中击中靶心的各个频率; (II)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? (由一名学生板演后,教师讲解) (2).问答: (I)试举出两个必然事件和不可能事件的实例; (II)不可能事件的概率为什么是 0? (III)必然事件的概率为什么是 1? (IV)随机事件的概率为什么是小于 1 的正数?它是否可能为负数?

[参考答案] (1).解:(I)击中靶心的各个频率依次是:0.9,0.95,0.88,0.91,0.89,0.902 (II)这个射手击中靶心的概率约为 0.90。 (2).略。 5.总结提炼 (1).随机事件的概念 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。 (2).随机事件的概率的统计定义 (3).概率的范围: 0 ? P? A? ? 1。


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