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平面向量数量积的几何解释


2 0 1 4年 第5 3 卷   第 9 期           数学通报

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平面向量数量积的几何解释
朱胜强
( ) 南京外国语学校   2 1 0 0 0 8

是这样给出    苏 教 版 教 材 高 中 数 学 必 修 4 中 , : 向量数量积的几何意义的 设a, b 是两个非零

向量 , b c o s | | θ 叫 做 向 量b 在a 的方向上 的 投 影 , 它 是 数 量. 当θ 为 锐 角 时 , ? → ? → 投 影 为 正 值; 当θ 为 钝 角 时 , O B1 与 a 同向 , O B 1 与a 反向 , 投影为负值 ; 当a 与b 垂直时 , 投影为0 ( ) 如图 1 .

所以   c·( a + b) = c· a + c· b, · 所以   ( a + b) c= a· c + b· c. 现行其它版本 的 课 标 教 材 , 有关向量数量积 也基本上采用类似 的几何意义及 分 配 律 的 证 明 , 的方法 . 但教 学 中 发 现 , 数量积的几何意义其“ 几 何味 ” 不是很浓 . 名义上为几何 意 义 , 但指的却是两个数的乘 积. 虽然向量 a 的长度| a |与b 在a 的方向上的投 影都可以从图 上 看 出 来 , 但它们的积并未通过几 而“ 长度 ” 与“ 投影 ” 积的大小如何 , 与 何直观呈现 . 两个向量的模 及 两 个 向 量 的 方 向 有 何 关 系 , 更是 无从知晓 . 因此 , 它对于学生认识向量的数量积并 没能起到明显作用 .

图1

此外 , 解释向 量 数 量 积 的 几 何 意 义 需 要 涉 及 有向线段的数 量 等 概 念 . 向 量、 有 向 线 段、 有向线 向量的投影等概念集中在一起 , 学生很 段的数量 、 容易混淆 . 虽然 前 面 曾 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 表示数量 , 但教学中只是一带而过 , 学生对其与向 量等概念之间的区别与联系并不十分清楚 . 向量的数量 积 有 没 有 较 直 观 的 几 何 解 释 呢 ? 笔者在教学中 曾 对 此 进 行 了 探 索 , 下面谈一谈自 供大家参考 . 己的一点想法 , 1  向量数量积的几何解释 设有非零向量 a, 在 平 面 内 任 取 一 点 O, 作 b. ? → ? → , 将 线 段 绕 点 按 逆 时 针 方 O A= aO B= b. O A O ? → ?A → 的 模 相 等, , 得线段 O 则O 向旋转 9 0 ° A ′. A ′与O

由此可知a· 数量积a· b 的几何意义是 : b等 · 于a 的长度 与b 在a 的方向上的投影 a b c o s | | | | θ 的乘积 . 运用数量积的 几 何 意 义 , 数量积对向量加法 运算分配律可有如下说明 : ?→ ?→ ?→ 如图 2, 任 取 一 点 O, 作O A =a, A B =b, O C = c,

图2

且互相垂直 . 设向量 a, b 的夹角为θ. 当0 °<θ < 9 0 °时 ,∠B O A ′ =9 0 °-θ;或

?→ 则  O B= a + b, ? → 而O B在c 的方 向 上 的 投 影 等 于a, b 在c 方 向 上 的投影之和 , 即

a+ b c o s a c o s b c o s | | θ=| | θ | | θ 1+ 2, 所以 c a+ b c o s c a c o s c b c o s | | | | θ=| | | | θ | | | | θ 1+ 2,

O A ′=9 0 ° + ∠B θ. ( ( 总有 c o s i n 9 0 ° - =s i n 9 0 ° + θ =s θ) θ)
=s i n O A ′. ∠B · 故a b = | a b c o s | | | θ

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数学通报          2 0 1 4年 第5 3卷 第9期 为 负 数, 其绝对值等于 O B B ′ A ′“ O 到B 的面 积” 平行四边形 O B B ′ A ′的面积 . ? → ? → 若O 角, 平行四边形 O B与 O A成9 0 ° B B ′ A ′变 成了线段 , 记“ 为 0. O 到 B 的面积 ” 因此 , a· b 就是平行四边形 O B B ′ A ′的 “ O到

=| O B O A ′ s i n O A ′=S□ OBB′A′ . |·| | ∠B 此时 , 如 a·b 表 示 平 行 四 边 形 O B B ′ A ′的 面 积 ( ( ) ( ) ) 图3 1 2 . ,或 当 θ =9 0 °时 , ∠B O A ′ =9 0 °-θ =0 ° , O A ′=9 0 ° + 8 0 ° ∠B θ=1 总有  c o s 9 0 ° =0=s i n O A ′. ∠B 故  a· b =| a b c o s 9 0 ° | | | =| O B O A ′ s i n∠B O A ′. |·| | 此时 , 平行四 边 形 O 压 扁” 成一条 B B ′ A ′好 像 被 “ 线段 , 面积变为 0. 当9 0 °<θ < 1 8 0 °时 , O A ′ =θ -9 0 °或 ∠B

B 的面积 ” . ? → 观察 发 现 , 若O 则 当 θ<9 A ′为 向 上 方 向 , 0 ° ? → 时, 平行四边形 O 为O B B ′ A ′在 O A ′的 右 侧 , A所
指的一 侧 ; 当 θ>9 平行四边形 O 0 °时 , B B ′ A ′在 ? → , , “ 因此 O 到B 的 O A ′的左侧 非O A所 指 的 一 侧 . 的正负可由其在线段 O 面积 ” A ′的 哪 一 侧 直 观 地 看出 . 其实 , 上述几 何 解 释 与 教 材 介 绍 的 方 法 本 质 上是一 致 的 . 如 图 4, 过 B 向直线O 垂 A 引 垂 线, 线段 O 足记为 B1 . B1 为平行四边形 O B B ′ A ′的高 . ? → 又| 所以 O A ′ a |=| |,

O A ′=2 7 0 ° - ∠B θ, ( ) ( 总有 c o s i n 0 ° =-s i n 2 7 0 ° - θ =-s θ-9 θ)
=-s i n O A ′. ∠B 故 a· b =| a b c o s | | | θ · =- O B O A ′ s i n O A ′=- S□ O | | | | ∠B B B ′ A ′ 此时 , a· b 表示平行四边形 O B B ′ A ′面 积 的 相 反 ( ) ( ) ) 数 .( 如图 3 3 4 .

图4

当θ<9 时, 0 ° a· b=| a b c o s |·( | | θ) ? → =| O A ′ O B1 | | |=S□ OBB′A′ ; 当θ>9 时, 0 ° a· b=| a b c o s |·( | | θ) ? → =-| O A ′ O B1 | | | =-S□ OBB′A′ . 2  帮学生直观感知向量的数量积 教学中 , 借助向量数量积的几何解释 , 可让学
图3

生直观地感知向量 a, b 的变化对a· b 的影响 . 若| 仅 改 变 a, 则 a b b 的 夹 角, |, | |固 定 不 变 , 可发现θ 对平行四边形的面积及其所处的位置的 影响 . 当θ 由 0 开始 逐 渐 增 大 时 , 平行四边形的面 ° ; , 时 面积变为 0, 当θ 继续增 积逐渐减小 当θ=9 0 ° 大, 平行四边形的面积虽然增大 , 但因其位于 O A ′ 的左侧 , 此时“ 为 负 数, 表明数量 O 到B 的 面 积” 而 当θ=1 时, 数量积达到最 积为负且在减 小 . 8 0 ° ) 小值 ( 如图 5 .

为了让平 行 四 边 形 O B B ′ A ′也 能 表 示 负 数 , 此处引入平行四 边 形 “ 这 一 说 法. O 到B 的 面 积” 将平 行 四 边 形 O B B ′ A ′及 其 内 部 看 成 是 由 线 段 ? → O A ′按 向 量O B方向平移至B B ′所 形 成 的 平 面 图形 . ?→ ?A →的夹角小于9 , 若O 平行四边形 B 与O 0 ° “ ” , O B B ′ A ′ O 到B 的面积 为 正 数 大 小 等 于 平 行 四边形 O B B ′ A ′的面积 ; ?→ ?A →的夹角大于9 , 若O 平行四边形 B 与O 0 °

2 0 1 4年 第5 3 卷   第 9 期           数学通报 配律 .

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?→ ?→ ?→ 如图 , 作O 将线段 O A=a, O B =b, B C= c. A 绕点 O 按 逆 时 针 方 向 旋 转 9 以 0 °得 线 段 O A ′. ? → 作B O A ′, O B 为邻边作平行四边形O B B ′ A ′. D= 则B a, B ′可以看成线段B D 绕点B 按逆时针方向 旋转 9 而 得. 以B 0 ° B ′, B C 为邻边作平行四边形
图5

B C C ′ B ′.

若固定θ 与| 变 化| 则 可 发 现| a b b |, |, |的 变 化对数量积的影响 . 当| 平行四边形 O b B B ′ A ′的各个内 |增大时 , 角大小均未变化 , 而 O A ′及 其 对 边 B B ′也 未 改 变 . 边O B 与其对边 A ′ B ′随着| b |的 变 化 而 同 步 变 化 ( ) 如图 6 这表明 , 当| 数量积的符号不 . b |变 化 时 , 变, 绝对值的大小发生变化 .
图8

由图可知 , 平行四边形 O C C ′ A ′的 “ O 到C 的 面积 ” 等于平行四边形 O B B ′ A ′的 “ O 到B 的面 积” 与平行四边形 B C C ′ B ′的 “ B 到C 的 面 积” 的和 . 又平行四边形 B 为 C C ′ B ′的 “ B 到C 的 面 积 ”
图6

若固定θ 与| 仅 变 化| 则 可 发 现| b a a |, |, |的 , 变化对数量积的影响 ( 如图 7) 情 况 与 仅 变 化| b | 类似 .

a· c; 平行 四 边 形 O 为 B B ′ A ′的 “ O 到B 的 面 积” a· b;  
平行四 边 形 O 为 C C ′ A ′的 “ O 到C 的 面 积” a·( b + c) . 所以 a· b + a· c= a·( b + c) . , 通过平行四 边 形 来 观 察 “ 面积和” 比在一条 直线上观察有 向 线 段 的 数 量 和 显 得 更 清 晰 . 如果 引导学生 观 察 比 在几何画板中改变 B, C 的位置 , 较, 可让学生更易于在图形变化中发现一般规律 . 如果将三个 平 行 四 边 形 投 影 到 直 线 O A 上, 也就得到了教材中的说法 . 4  计算坐标平面中平行四边形或三角形的面积 换一个角度看 , 平行四边形的面积也可以转 化为向量的数量积 . , , 例   已 知 △O A B 中, A( x B( x y y 1, 1) 2, 2) 试求 △O A B 的面积 . ?→ , 解   将向量O 得 B按 顺 时 针 方 向 旋 转 角 9 0 ° ? → 向量O 其坐标为 ( 以O B ′, -x . A, O B 为邻边 y 2, 2) 则其 “ 即为 作平行四边形 O A C B, O 到 A 的面积 ” ? → ? → ( 下转第 5 O A·O B ′. 7 页)

图7

如果考虑此时 向 量 b 在a 的 方 向 上 的 投 影 , 则可以发现 , 当| 平行四边形在水平方 a |变 化 时 , 向上的宽度并没有改变 , 因此 , 在直线 O A 上的投 影也不变 . 通过这种展示 , 可让学生头脑中建立起一种 直观印象 . 特别是θ 的变化对数量积的影响 , 过去 且 容 易 忽 视. 通 过 图 形, 许 学生会觉得难 以 把 握 , 多问题可一目了然 . 3  解释向量数量积对向量加法的分配律 用几何解释也可说明数量积对向量加法的分

2 0 1 4年 第5 3 卷   第 9 期           数学通报 的思维和单一 的 模 式 , 想当然地认为函数图象是 对称的 .
表 1  选项比例分布表 选项 比例 A   0. 2 8   B   0. 2 5   C   0. 2 5   D 0. 2 2

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这就 回 答 了 关 于 调 研 中 老 师 们 比 较 困 想服务的 . 惑的 “ 是否超前学习有利于中考 ” 这一问题 . 类似地 , 对于例 2 的疑惑也就迎刃而解 , 试题 , 是站位于 “ 平行 四 边 形 ” 利用平行四边形的性质 并提出了相关的 等逐步发展到了四 边 形 A B E D, 问题 ; 而不是直接 站 在 了 “ 所谓的梯形” 上设置相 关问题 . 结束语   笔者写此文的目的之一是想与广大 一线教师交流 一 下 命 题 人 员 思 考 问 题 的 角 度 , 使 教学一线 与 命 题 实 现 良 性 的 互 动 , 互 相 补 充; 另 通过对试题的分析 , 打破一些在教学过程当中 外, 出现的一些问题 , 例如过于注重技能化训练 , 让大 家不再是 “ 只低头拉车 , 不抬头看路 ” 这就是笔者 . 写此文的初衷 , 不妥之处请指正 !

表 2 G 4—G 7 人数分布表 G 4 A   B   C   D   1 8 6 3   3 2 3 1   3 5 6 0   3 4 1 2   G 5 2 8 3 9   2 6 6 8   3 9 3 7   2 6 2 6   G 6 4 8 6 3   2 1 0 3   3 3 3 4   1 7 6 9   G 7 8 6 7 4 1 0 9 1 1 6 5 7 6 5 5

另外 , 有2 通过表 2 5% 的考生选择了 C 选项 . 可以发 现 , 中 间 分 数 段 的 考 生 选 C 者 居 多, 这说 3 和 3 的位置时出 槡 槡 明在描述 、 分 析 点 1, 3, 槡 4 4 但在把所描出的点用 现错误或者位 置 分 析 正 确 ,
参考文献 义务教育数学课程标准( 1  中华人民共和国教育部 . 2 0 1 1年 版) [ 北京 : 北京师范大学出版社 , M] . 2 0 1 2 义务教育数学课程标准( 实 验 稿) 2  中华人 民 共 和 国 教 育 部 . [ 北京 : 北京师范大学出版社 , M] . 2 0 0 1 义务教育数学课 3  教育部基础教育 课 程 教 材 专 家 工 作 委 员 会 . 程标准 ( 解读[ 北 京: 北京师范大学出版 2 0 1 1 年 版) M] . 社, 2 0 1 2 北京市高级中等学校招生考试考试说明 4  北京教 育 考 试 院 . [ 北京 : 北京理工大学出版社 , M] . 2 0 1 2

( )(



平滑曲线连接起来时出现错误 . 通过对例 1 进 行 立 体 化 地 剖 析 不 难 发 现 , 试 题的命制并不是以 “ 知 识” 为 主, 而是以“ 能 力” 为 核心 , 站位于学生全面发展的角度进行考查 , 素材 的选择 、 背景的 设 置 和 考 查 内 容 都 是 为 能 力 与 思 ( 上接第 4 3 页)

参考文献 苏教版普通高中数学课 程 标 准 实 验 教 科 书 · 数 学 4( 必 1  单墫 . [ 修) 南京 : 江苏教育出版社 , M] . 2 0 1 2, 6 课程教材研究所 , 中学 数 学 课 程 教 材 研 究 开 2  人民教育出版社 , 发中心 . 普通高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 · 数 学 4( 必 修) A版 [ 北京 : 人民教育出版社 , M] . 2 0 0 4, 1 0 课 程 材 研 究 所, 中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组. 3  人民教育出版社 , 普通高中课程标准实验教科书 · 数 学 4( 必修 ) B 版[ M] .北 人民教育出版社 , 京: 2 0 0 4, 1 0 王尚志 .普通高中课程标准实验教科书 ( 必修) 数学4 4  严士健 , [ 北京师范大学出版社 , M] .北京 : 2 0 0 4, 7 黄楚芳 .普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 ( 必 修) 数学 5  张景中 , 长沙 : 湖南教育出版社 , 第二册 [ M] . 2 0 1 0, 8 普通高中数学课程标准( 实 6  国家数学课 程 标 准 研 制 工 作 组 . [ ] 验) 北京 : 人民教育出版社 , S . 2 0 0 3, 4

图9

?→ ?→ 又  O A·O B ′=x x y y 1 2- 2 1, ?→ ?→ 故有 2 S△ OAB|= | O A·O B ′ x x | |=| |. y y 1 2- 2 1 所以 S△ OAB = 1| x x |. y y 1 2- 2 1 2 教师不仅是课 程 的 实 施 者 , 而且也是课程的 研究 、 建设和资 源 开 发 的 重 要 力 量 . 在 教 材 面 前, 教师并非始终 是 被 动 的 接 受 者 . 需要在准确把握 数学内容本质的情况下 , 创造性地使用教材 , 让内 便于学生 容的呈现方式 更 符 合 学 生 的 认 知 特 点 , 参与到知识的形成过程中来 .


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