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等比数列说课稿


2.4
一、教材分析
1.教材的地位与作用

等比数列 (第一课时)

等比数列是人教 A 版必修五第二章第四节的内容,共分两个课时,本节是第一课时.作 为本章的重要数列之一, 它的主要内容包括等比数列的定义, 等比数列的通项公式及其推导, 以及等比数列通项公式的应用.在此之前,学生已经学习过等差数列等相关知识和类比、函 数方程等思想方法,对这些知识也有了直观的认识.在这个基础上,从实例出发,通过类比 等差数列得出等比数列的相关概念也就水到渠成. 等比数列的研究和解决集中体现了研究数列问题的思想和方法, 对提高学生猜想、 分析、 归纳、证明等综合思维能力有着重要的作用.学习等比数列,为学习等比数列前 n 项和做了 相应知识的储备,并为今后学习基本不等式及其与数列的联系作铺垫,此外,它还为高中三 年级进一步学习数列的极限打下基础,具有承上启下的重要作用.

2.知识结构
等比数列是一个简单常见的数列,本节课是第一课时,而等比数列的应用是第二课时. 研究本节课内容可与等差数列进行类比, 首先归纳出等比数列的定义及公比的概念, 明确等 比数列的限定条件,之后推导出通项公式,类比得出通项公式的一般形式(推广) ,进而研 究其图象,再通过类比得出等比中项的定义,最后运用通项公式及其变形、推广等解决实际 问题.

3.教学目标
通过上述教材内容分析, 考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平, 确定本 节课教学目标如下: i.知识与技能 (1)掌握等比数列的定义,了解公比的概念,明确等比数列的限定条件,会根据定义判断 等比数列,以及了解等比中项的概念; (2)理解等比数列通项公式的推导方法,掌握其通项公式,会灵活运用通项公式求等比数 列的首项、公比、项数等; (3)会运用通项公式解决某些实际问题. ii.过程与方法 (1)在学习知识的过程中,结合例题与练习,进一步熟练理解及掌握等比数列的定义; (2)通过探索等比数列的通项公式及其推导过程与应用,学会观察、猜想、分析、归纳、

证明等能力,并能在具体的问题情境中,发现并灵活运用数列的等比关系; (3)通过体会等比数列与等差数列等数学知识之间的联系,学会运用类比、函数方程等思 想方法. iii.情感态度与价值观 (1)联系生活实例,充分感受等比数列是反映现实生活的模型及其应用的广泛性,体会等 比数列是来源于生活实践,并应用于生活实践的,从而提高学习兴趣; (2)在等比数列的探索和证明过程中,体会由特殊到一般的认识事物的规律,养成既善于 大胆猜想又严谨求实的科学的态度.

4.教学重、难点:
根据学生现状及教材内容,确立本节课的教学重难点如下: 重点:等比数列的定义,等比数列的通项公式 . 难点:等比数列通项公式的推导,灵活运用通项公式解决实际问题. ①因为等比数列的定义是基础, 而等比数列的性质等相关内容都是根据定义与通项公式 得出的,由此,等比数列的定义及通项公式的重要性就不言而喻,所以我把等比数列的定义 与通项公式定为本节课的教学重点. ②虽然在等差数列的学习中, 学生已接触过不完全归纳法, 但他们对不完全归纳法仍然 较为不熟悉,而对于叠乘法,学生第一次接触,更是不熟悉,因而在推导过程中,需要学生 有一定的观察、分析、猜想、探索、归纳等能力;此外,在不完全归纳法和叠乘法的推导证 明过程中,推导证明出的通项公式的适用范围是 n ? 2 , n ? N
?

,因而当 n ? 1 时,以上推

导证明出的通项公式是否成立还须补充说明,这对于学生来说并不是一个简单易解的问题, 所以通项公式的推导是难点. ③由于对等比数列的综合研究离不开通项公式, 它在实际生活中的应用广泛, 且与函数、 三角、几何、不等式等都有广泛的联系,也因此对等比数列通项公式的研究难度就加深,学 生要灵活运用它来解决问题实非易事,所以通项公式的灵活运用也是本节课的难点.

二、教法分析
为了更有效地突出重点,突破难点,本节课我以等比数列定义和通项公式为主线,采用 启发式、合作式、探究式及讲练结合的课堂教学方法. 启发式、合作式、探究式课堂教学即在教学过程中,启发引导学生以独立自主和合作交 流为前提,以“等比数列定义及通项公式”为基本探究内容,通过观察问题得出猜想,进而 对其进行探究分析,最后得出证明,从而在学习过程中不断强化本节课所学知识.

而参照学生现有的的知识和能力, 通过提问题及例题讲解与练习巩固的结合, 可以激发 学生的求知欲,使学生主动参与数学实践活动,并在原有知识水平的基础上,在教师的指导 下发现、分析并解决问题.

三、学法指导
采取个人独立思考、小组合作探究等方式,引导学生对问题进行观察、猜想、分析、类 比、归纳与证明,让学生自己发现等比数列的内容与特性,通过提问、讲解及练习的方式培 养数学逻辑思维,使数学思想方法的培养落到实处;此外,在引导学生分析问题时,留给学 生思考的余地,鼓励学生大胆质疑,动手实践,把需要解决的问题弄清楚.

四、教学过程
教学过程分为以下八个小环节,各部分时间安排如下: (一)创设问题情境 (2 分钟) “兴趣是最好的老师.”本节课由必修五第二章第四节的四个具体的实例引入:细胞分 裂模型、庄子的“一尺之锤” 、计算机病毒与银行利息问题.这四个实例,既让学生感受到等 比数列是现实生活中大量存在的数列模型, 也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型 (即 新课导入环节中的四个数列)的过程. 设计意图在于, 培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力及运用数学知识解决实际 问题的能力. 此外,通过设置问题情境,激发学生的学习动机与探索热情.然后教师可以启发引导学 生积极思考, 发现问题, 并以数列的形式写出上述问题的结果, 为之后新课的引入做了铺垫. (二)新课导入 (3 分钟) 本环节由教师引导学生观察通过以上四个问题得出的四个数列: 问题 1: 1 , 2 , 4 , 8 , ?
1 1 1 , , ,? 2 4 8
2 3

问题 2: 1 ,

问题 3: 1 , 20 , 20 , 20 , ? 问题 4: 10000 ? 1 . 0198 ,10000 ? 1 . 0198 , ? ,10000 ? 1 . 0198
2 5

并提出问题:以上数列有什么共同特点? 之后启发引导学生观察数列,积极思考,发现这些数列的共同特点,即数列的后一项与 前一项的比都等于同一个常数,最后由教师总结学生的结论,并进行分析. 引导过程如下:

1
2 1 ? 4 2 ? 8 4 ?? ? 2,

1

1

1 8 2 4 ? ? ?? ? , 1 1 1 2 2 4

20 1

?

20 20

2

?

20 20

3 2

? ? ? 20 ,

10000 ? 1 . 0198 10000 ? 1 . 0198

2

?

10000 ? 1 . 0198 10000 ? 1 . 0198

3 2

? ? ? 1 . 0198 .

设计意图一:通过这样的形式,学生利用已有的知识经验及教师的引导,对等比数列 有了一个模糊的印象,为学习本节内容创造了一定的条件. 设计意图二:由实际问题迁移到数学问题,引出本节课的学习重点. (三)形成概念 (10 分钟) 1、由以上数列的共同特点,形成等比数列定义: 如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 2、再以提问的形式引发学生动脑,让学生回顾之前的四个问题及四个数列的引导过程,得 出等比数列定义的数学语言描述,即
a n?1 an ? q ( a n ? 0 , q ? 0 ).

设计意图:使学生对数学语言有了更进一步的认识,同时养成勤动脑勤思考的好习惯. 3、思考题(引出等比数列定义的限定条件) 如果 a n ? 1 ? a n q ( n ? N , q 为常数 ) ,那么数列 ?a n ? 是否为等比数列?
?

师生互动:以教师提问,学生小组讨论的方式,提高学生的独立思考与合作交流能力. 设计意图:通过辨析,明确了等比数列定义的限定条件,即 a n ? 0 , q ? 0 ,使学生对等比 数列完整的定义有了初步的认识与了解. 4、基本练习 判断下列数列是否为等比数列,若是,请给出它们的公比;若不是,请说明理由.

① 8 ,16 , 32 , 64 ,128 , ? ② 1 , ? 2 , 4 , ? 8 ,16 , ? ③ 1 ,1 ,1 ,1 ,1 , ? ④ 0 ,1 , 2 , 4 , 8 , ?
2 2 1 2 2 4

既是等比数列,又是等差数列. 从而得出结论:既是等比又是等差 的数列是非零常数列,其公比为 1. 注:公比是否为 1 在今后求等比数 列前 n 项和中有着极其关键的作用.

⑤ 2 ,1 ,

,

,

在讲述完等比数列定义后,我给出以上几道判断题,让学生进行基本练习. 教学互动:教师提问,学生回答. 设计意图: 1.加深、强化学生对定义的理解与掌握; 2.复习回顾了之前所学的各种数列:无穷数列、有穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列、 常数列、等差数列等,如①②③④是无穷数列,⑤是有穷数列;①④是递增数列,⑤是递减 数列,②是摆动数列,③是常数列,①②③⑤是等比数列,充分体现了温故而知新的思想; 3.在判断出是否为等比数列后,让学生求出各等比数列的公比,学生可以更深刻地意识到
q ? 1 , q ? 0 , q ? 1 , 0 ? q ? 1 均成立,即限定条件为 q ? 0 .

(四)循序渐进 (12 分钟) I. 等比数列通项公式 在理解等比数列定义的基础上提出:已知等比数列的首项 a 1 和公比 q ,怎样写出它的 通项公式? 1、回忆等差数列通项公式和类比方法: 等差数列通项公式 类比方法
a n ? a 1 ? ( n ? 1 )d ( n ? N
?

);

和 → 积 → 乘方,差→ 商→ 开方(运算升级).

2、由教师引导,让学生通过类比的思想方法,猜想出等比数列的通项公式:
a n ? a1 ? q
n?1

(n ? N

?

).

3、推导与证明: (1)不完全归纳法
a 2 ? a 1q;

a 3 ? a 2q ? a1q ;
2

a4 ? a3q ? a2q

2

? a1q ;
3

??
a n ? a n?1 q ? ? ? a 1 q
n?1

( n ? 2 ).

观察发现,当 n ? 1 时,也可写成上述形式,即 a 1 ? a 1 q 0 . 所以,对于第一项还应补充说明. 此推导过程由教师引导, 让学生回顾等差数列一节中的不完全归纳法的推导过程, 然后 以小组形式完成不完全归纳法的推导过程. 由于在等差数列一节中, 学生已了解到不完全归纳法推导的不严密性, 因而引入另一种 严密的证明方法. (2)叠乘法
a2 a1 ? q, a3 a2 ? q, a4 a3 ? q ,? ? , an a n?1 ? q ( n ? 2 ).

n-1 个式子
a n ? a1q
n?1

相乘

?n

? 2 ?.

考虑 n=1 时,
a n ? a1q
n?1

上式也成立.

?n ? N ?.
?

师生互动:教师提出问题,既然不完全归纳法的推导不够严密,那么还有什么方法可以严密 地证明出通项公式呢.引起学生反思,之后教师启发引导,师生共同完成通项公式的严密证 明过程,最后教师给出此种证明方法的名称——叠乘法. 设计意图:通过师生互相合作共同完成的方式,既培养了学生的协作意识,又化解了教学难 点,同时加深学生对通项公式的理解,并对叠乘法有较深的印象. (3)思考拓展题:除了以上两种方法,是否还有其它的推导证明方法? 设计意图:拓宽学生的知识面,养成自主思考的习惯. 为了引出本节课的其它知识点,我给出以下四个问题: II. 通项公式的推广(一般形式) 问题 1:等比数列通项公式是否有更一般的形式?如果首项 a 1 未知,如何求 a n . 结合类比,引出:通过类比等差数列通项公式的推广 a n ? a m ? ? n ? m ?d ,得出等比数列 通项公式的推广 a n ? a m q
n?m

.

问题 2:怎么证明 a n ? a m q

n?m



由于刚刚已复习过类比,所以问题 1 以教师提问,学生回答的形式,让学生独立解决, 培养学生的归纳能力与独立意识; 问题 2 则是留给学生课后自己完成, 培养其逻辑推理证明 能力.(可提示学生,运用通项公式及方程思想来进行证明即可得出.) III. 通项公式的图象

问题 3:如何根据以下两个等比数列的通项公式画出图象:
an ? 2
n?1

,an ? ( )
2

1

n?1

,你能观察出它们的图象特征吗,请给出说明.

师生互动:先给学生充分的时间,让学生自己在下面动手画图象,之后教师借助于多媒体, 利用多媒体直观、形象的特点,用几何画板作出以上两个数列的图象. 再让学生观察图象,进而发现通项公式与函数的关系,即表示数列 ?a 1 q 函数 y ? a 1 q
x ?1 n?1

? 中的各项的点是

的图象上的孤立点.

设计意图:启发学生用函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征画等比数列的图象; 让学生明白等比数列是一类特殊的函数,是建立在定义域为正整数集上的函数. IV. 等比中项 回顾:在等差数列一节中,除了定义、通项公式,我们还学了什么?(等差中项) 问题 4:你能否通过类比等差中项猜想出等比中项? 结合类比,引出:等比中项定义,即如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数 列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 同样,引导学生得出数学语言描述,即 ?
G a ? b G ? G
2

? ab .

设计意图:通过类比,既学习了等比中项新知识,又温习了等差中项;二者进行比较,进一 步加深对这两个概念的认识. 设计意图: 以问题的形式引发学生主动思考, 更好地掌握通项公式的推广、 图象及等比中项, 从而将本节课的所有知识点更好地掌握下来. (五)例题讲解 (10 分钟) 为巩固强化学生所学,我给出以下两道例题: 1、探索解题的基本思想与方法步骤 例 1 若一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18 ,求它的第 1 项和第 2 项.
? a 1 q 2 ? 12 , 法一:利用方程思想进行求解: ? 3 ? a 1 q ? 18 .

法二:利用公式变形来解题: q

4? 3

?

a4 a3

.

设计意图:培养学生一题多解的能力,加强学生的数学思想方法的意识,使学生学会灵活运 用通项公式及方程思想来解决问题. 例 2 在等比数列 ?a n ? 中,

( 1 ) a 3 ? 27 , q ?

1 3

, 求 a 6 ; ( 2 ) 若 a 2 ? 3 , a 4 ? 27 , 求 a 3 与 q .
3

方法:(1)运用通项公式的推广解题: a 6 ? a 3 ? q . (2)运用等比中项解题: a 3 ? a 2 ? a 4 . 设计意图:使学生学会运用通项公式的推广和等比中项进行解题. 2、归纳解题的思想方法: (1) 运用方程知三求一的思想 (已知方程四个量 a 1 , q , n , a n 中的任三个, 可求出第四个量) . (2)先化简变形,后代值计算. (3)若已知 a m , q , n , 而 a 1 未知,则可以直接运用通项公式的推广公式解题. (4)若已知等比数列的第 m ? 1 项和第 m ? 1 项,要求第 m 项,可以由等比中项立即得出. 设计意图:这一环节是帮助学生巩固所学,使学生通过例题,增强对通项公式及其推广、变 形和等比中项的理解与运用,提高解决问题的能力. (六)练习巩固 (5 分钟) 1、 已知一个等比数列的第 5 项是
4 9
2

,公比是 ?

1 3

,求它的第 1 项.
5?1

考查内容:等比数列的通项公式,即直接运用通项公式 a 5 ? a 1 q

来解题即可求出 a 1 .

2、 已知一个等比数列的第 2 项是 10 ,第 3 项是 20 ,求它的第 1 项与第 4 项. 考查内容:等比数列通项公式,通项公式的推广,等比中项. 需要强调的是,本题采用等比中项解题是最迅速最简便的方法. 设计意图:讲解例题后,趁热打铁,让学生自己动手做题,既培养学以致用能力,又在例题 的基础上进一步强化与巩固本节课所学重点知识. 本环节以学生独立完成为主,教师个别指导为辅. (七)课堂小结 (3 分钟) 在这一环节,教师和学生一起回顾本节课所学内容,并总结如下: 1.本节课研究了等比数列的定义,得到了通项公式(重点内容) ; 2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比(思想方法) ; 3.用函数观点与方程思想认识通项公式,并加以应用(思想方法). 之后结合以下表格,以 PPT 展示给学生看,让学生对表格进行填写,帮助学生形成本 节课的知识框架. 注:表格黑色部分原本为空,是在学生完成后所给出的答案.

等差数列

等比数列

定义

a n?1 ? a n ? d

a n?1 an

? q

限定条件



a1 ? 0, q ? 0

通项公式

a n ? a 1 ? ( n ? 1 )d
a n ? a m ? ( n ? m )d
不完全归纳法 累加法 一次函数 ( d ? 0 ) 常数函数 ( d

a n ? a1 ? q an ? am ? q

n?1

公式推广

n? m

推导方法

不完全归纳法 叠乘法

? 0)

曲线 y ? Aq

x

(A ?

a1 q

)

函数观点

定义域为正整数集的函数图象上的孤立点

等差/比中项

A ?

a?b 2

G ? ?

ab

设计意图:通过小结,使学生对本节课的知识形成脉络,再现本节课所要达到的教学目标. (八)作业布置(1 分钟,采取分层作业布置的方式) 必做题:习题 2.4 A 组第 1,7,8 题及 B 组第 1 题. 补充题:已知在等比数列 ?a n ? 中, a 5 ? 6 , a 2 ? 4 ,要求用本节课所学知识求出 a 8 的值. 思考题:1.对于上述补充题,有没有更加简便的计算方法? 2.如果 ?a n ? 、 ?b n ? 是项数相同的等比数列,那么 ?a n ? b n ? 是等比数列吗? 设计意图: ①必做题: 第 1 题的前 3 个小题分别考查通项公式的推广、运用通项公式求首项与公比、等比中项,第 4 小题则是综合运用,相对复杂一些. (1) a 7 ? a 4 q ,这与例 2 的(1)题是一样的解法;
3

(2)与例 1 同,运用方程思想或公式变形解题; (3)与例 2 的(2)题同,运用等比中项解题; (4)可直接运用方程思想解题,也可运用公式变形及推广等内容来解题. 第 7 题考查的完全是等比中项的内容; 第 8 题考查等比数列的定义; B 组第 1 题则是通项公式推广的证明,也就是之前留给学生完成的作业. ②补充题: 意在巩固学生对通项公式的灵活运用及考查其掌握程度. ③思考题: 题 1 是对补充题的再深入, 对于题 1 所要求的简便方法, 部分学生可能不用教就能自己发现
a 2 , a 5 , a 8 之间的特殊关系,即它们也成一个等比数列,且公比为 q ;
3

题 2 考查的是等比数列的性质,这将在下一节课中学到. 总结: ①必做题和补充题的设置, 目的在于使学生将本节课所学到的知识运用到解题中去, 更好地 掌握基础知识,学以致用. ②思考题的设置, 将学生在本节课学到的知识内容与下节课所要学的等比数列第二课时巧妙 地联系衔接起来,容易激起学生的兴趣,从而主动预习下一节课内容.这使学有余力的学生 在掌握基础知识的基础上能够有所提高. ③有层次性地布置作业,充分培养学生各方面的能力,体现新课标的理念.

五、板书设计
我将未被幻灯片投影幕布遮住的部分分成两部分,并设计如下:

等比数列
一、问题 二、等比数列 1. 定义 2. 通项公式 (1)推导 (2)公式 (3)推广公式 3. 图象(函数观点) 4. 等比中项 三、例题应用 1.方程思想 2.公式运用 四、练习巩固 五、课堂小结(表格) 1.重点内容 2.思想方法 六、作业布置

板书设计的目的:高度浓缩本节课教学内容,加深学生对等比数列相关知识的理解与记忆; 突出重点与难点,形成知识结构,且循序渐进,层层深入,有助于学生对本节课所学的 等比数列进行梳理,形成清晰的脉络.

六、教学评价
1.评价教学目标达成度 通过具体实例,创设问题情境,引入新课,学生经历了从实际问题抽象出数学模型的过 程,并体会由特殊到一般的思想方法;以“定义—通项公式—公式推广—图象—等比中项” 为知识脉络,渗透“类比、方程思想、函数观点”等思想方法,以学生为主体,重视知识的 形成过程,重视学生学习方法、实践能力等的培养,以启发性强的提问层层深入,通过合作 探究等方式完成前半节课的学习.教学目标达成度也与预期效果较为接近. 2.评价学生的学习过程与教学效果 本节课在创设情境、知识讲解、例题设置等多环节中,以学生为主体,教师作为引导 者,激发学生学习的主动性,使他们由被动学习逐渐地变为主动学习,由自己学习到合作学 习,由接受性学习变为探究性学习,较为积极地参与到学习过程中. 后半节课中,有针对性地给出两道典型例题,涉及本节课几乎所有知识点;在讲解例题 过程中,注意与学生互动,并观察学生的掌握程度;在讲解完例题后,大部分学生都能独立 自主地完成练习,有需要的进行个别指导.通过精心设计问题,启发学生思考,促进学生知 识的构建,并留给学生充分思考的时间,营造民主、平等的课堂学习氛围. 在此期间,教师进一步观察学生对数学学习的态度变化,从而适当加以改变调整,提高 其学习效果.


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