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2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= .

2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= .

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e = . 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x
A


R D B Q P C

5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC, CQ=2QD. R 为棱 AD 的中点, 则点 A、 B 到平面 PQR 的距离的比值为 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)≥0 的 x 的取值范围是 . .

7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积 为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、 高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以 存水 cm3. → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO = .

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列 的前 2009 项的和为 . .

10.设 a 是整数,0≤b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 9 + 4 =1 交于 A,B 两点,F 是椭 圆的左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.

1

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7, AB=28,CE=12.求 BC.
C

A

D

E

B

13.若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

14. ⑴ 写出三个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数, 请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方 数?请证明你的结论.

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