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云南省2016年1月普通高中学业水平考试(数学试卷)


【考试时间:2016 年 1 月 11 日上午 8:30——10:10,共 100 分钟】

云南省 2016 年 1 月普通高中学业水平考试

数学试卷
[考生注意]:考试用时 100 分钟,必须在答题卡上指定位置按规定要求作答,答在试卷上一律无效. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A)

? P( B) .
4 球的表面积公式: S ? 4? R2 ,体积公式: V ? ? R 3 ,其中 R 表示球的体积. 3 柱体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面面积,h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示锥体的底面面积,h 表示锥体的高. 3

选择题(共 51 分)
一、选择题:本大题共 17 个小题,每小题 3 分,共 51 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求,请在答题卡相应的位置上填涂。 1.已知集合 M A.

? ?0,1, 2,3? , N ? ?1,3, 4? ,那么 M ? N 等于
B.

?0?
?

?0,1?
? ?

C.

?1,3?
2 2
1 2

D.

?0,1, 2,3, 4?
3 2
1 4

2.计算 sin 75 cos15 ? cos 75 sin15 的值等于 A.0 B.

?

1 2 3 4

C.

D.

3.同时掷两枚质地均匀的硬币,则至少有一枚出现正面的概率是 A.1
2

B.

C.

D.

4.不等式 4 ? x ? 0 的解集为 A.

? 2, ???

B.

? ??,2?

C.

? ?2, 2?

D.

? ??, ?2? ? ? 2, ???

5.若等差数列 A.3

?an ? 中, a1 ? 2 , a5 ? 6 ,则公差 d 等于
B.2 C.1 D.0

6.已知向量 a= A.2

?sin ? , ?2? , b= ?1,cos? ? ,且 a
B. ? 2 C.

? b,则 tan ? 的值为

1 2

D. ?

1 2

第 1 页 共 4 页

7.某校有男生 450 人,女生 500 人,现用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为 95 的样本,则抽出的男生人数是 A. 45 B. 50 C.55 D.60

8.已知直线 m、n 和平面 ? 满足 m / /? , n ? ? ,则 m 和 n 的位置关系一定是 A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面

9.经过点 B (3, 0) ,且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线的方程是 A. 2 x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

10. log 2 3 ? log 3 5 ? log 2

4 的值为 5
C.2 D.

A.

5 2

B.

2 5

1 2

11.如图,向圆内随机掷一粒豆子(豆子的大小忽略不计),则豆子恰好落在圆的内接 正方形中的概率是 A.

3

?
4

B.

2

? ?
5

C.

?

D.

12.一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的正三角形, 俯视图是一个半径为 1 的圆, 那么这个几何体的体积为 A.

2 ? 3

B. 2?

C.

3 ? 3

D.

3?

正视图

侧视图

俯视图

13.有一个容量为 100 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方 图得,样本数据落在区间 A.9 C.27 B.18 D.38

?10,12? 内的频率数是

14.在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,且 a ? 2 , b ? B 等于
第 2 页 共 4 页

2 , A ? 45? ,则角

A. 30

?

B. 60

?

C. 30 或 150

?

?

D. 60 或 120

?

?

15.已知 AD 是 ?ABC 的一条中线,记向量 AB ? a, AC ? b,向量 AD 等于 A. ?

??? ?

??? ?

????

1 ?a ? b? 2

B.

1 ?a ? b? 2

C.

1 ?a ? b? 2

D. ?

1 ?a ? b? 2

16.函数 f ( x) ? ln x ? 1的零点所在的区间为 A.

? 2,3?

B.

? 3, 4?

C.

? 0,1?

D.

?1, 2?

17. 已知 f ( x ) 的定义在 R 上的偶函数,且在区间

? ??,0? 上为减函数,则 f (1) 、

f (?2) 、 f (3) 的大小关系是
A. f (1) ? f (?2) ? f (3) C. f (1) ? f (3) ? f (?2) B. f (?2) ? f (1) ? f (3) D. f (1) ? f (?2) ? f (3)

非选择题(共 49 分)
二、 填空题:本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分。请把答案写在答题卡相应的位置 上。 18.已知 ? 是第二象限的角,且 sin ? ?

4 ,则 sin 2? 的值为 5

.

?x ? y ? 2 ? 19.设实数 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y 则目标函数 ?y ? 0 ?

z ? 2 x ? y 的最大值是

.

20.运行右图的程序,则输出 a 的值是

.

21.圆心为点

?1,0? ,且过点 ?1, ?1? 的圆的方程为

.

?2 x ,x ?5 22.已知函数 f ( x ) ? ? , f (6) 的值为 ? f ( x ? 1), x ? 5

.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.(本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , x ? R .
第 3 页 共 4 页

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)函数 y ? f ( x) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎么的变换得到? 24.(本小题满分 7 分)

PD ? 平面ABCD , 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面是正方形, 且 PD =AD .
(1) 求证: PA ? CD ; (2)求异面直线 PA 与 BC 所成角的大小.

p

D
25.(本小题满分 7 分)

C B

A

2016 年,某厂计划生产 25 吨至 45 吨的某种产品,已知生产该产品的总成本 y(万

x2 ? 2 x ? 90 . 元)与总产量 x(吨)之间的关系可表示为 y ? 10
(1) 求该产品每吨的最低生产成本; (2) 若该产品每吨的出厂价为 6 万元,求该厂 2016 年获得利润的最大值.

26.(本小题满分 9 分) 已知数列

?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? can ? m (c,m 为常数) ?an ? 的通项公式 an ;
?an ?1? 为等比数列;

(1) 当 c ? 1 , m ? 1 时,求数列

(2) 当 c ? 2 , m ? ?1 时,证明:数列 (3) 在(2)的条件下,记 bn ?

1 , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,证明: Sn ? 1 . an ? 1

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