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高中数学必修2-4.2.1《直线与圆的位置关系》同步练习


4.2.1《直线与圆的位置关系》同步练习
一、选择题 1.已知点 M(a,6)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 D 的位置关系是( A.相切 C.相离 [答案] B [分析] 写出圆心到直线的距离,并结合点 M 在圆外判断与半径的关系,可得直线与圆的关系. [解析] 由点 M 在圆外,得 a2+b2>1,∴圆心 D 到直线 ax+by=1 的距离 d= 与圆 O 相交. 2.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第Ⅰ象限的直线方程是( A.x+y- 2=0 C.x+y-1=0 [答案] A [分析] 先由直线间的位置关系设出直线的方程,再结合直线与圆相切列式求参. [解析] 因为所求直线 l(设斜率为 k)垂直于直线 y=x+1,所以 k· 1=-1,所以 k=-1,设直线 l 的方 |-b| 程为 y=-x+b(b>0),即 x+y-b=0,所以圆心到直线的距离为 =1,所以 b= 2. 2 3.点 M 在圆(x-5)2+(y-3)2=9 上,点 M 到直线 3x+4y-2=0 的最短距离为( A.9 C.5 [答案] D |15+12-2| [解析] 由圆心到直线的距离 d= =5>3 知直线与圆相离,故最短距离为 d-r=5-3=2, 32+42 故选 D. 4.过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦最长的直线的方程是( A.3x-y-5=0 C.3x-y-1=0 [答案] A [解析] x2+y2-2x+4y=0 的圆心为(1,-2),截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1,-2) ∴直线方程为 3x-y-5=0,故选 A. 5.已知直线 x+7y=10 把圆 x2+y2=4 分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于( π A. 2 C.π [答案] D 2π B. 3 D.2π ) B.3x+y-7=0 D.3x+y-5=0 ) B.8 D.2 ) B.x+y+1=0 D.x+y+ 2=0 ) 1 <1=r,则直线 a +b2
2

)

B.相交 D.不确定

1

[解析] 圆 x2+y2=4 的圆心为 O(0,0),半径 r=2,设直线 x+7y=10 与圆 x2+y2=4 交于 M,N 两点, 则圆心 O 到直线 x+7y=10 的距离 d= |-10| = 2,过点 O 作 OP⊥MN 于 P,则|MN|=2 r2-d2=2 2. 1+49

在△MNO 中,|OM|2+|ON|2=2r2=8=|MN|2,则∠MON=90° ,这两段弧长之差的绝对值等于

??360-90?×π×2-90×π×2?=2π. 180 180 ? ?
6.设圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则圆半径 r 的取值范围是( A.3<r<5 C.r>4 [答案] B [解析] 圆心 C(3,-5),半径为 r,圆心 C 到直线 4x-3y-2=0 的距离 d= |12+15-2| =5,由于圆 42+?-3?2 ) B.4<r<6 D.r>5

C 上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则 d-1<r<d+1,所以 4<r<6. 二、填空题 1 3 7. 设直线 l 截圆 x2+y2-2y=0 所得弦 AB 的中点为(- ,), 则直线 l 的方程为________; |AB|=________. 2 2 [答案] x-y+2=0 2

2 2 2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 1+y1-2y1=0,x2+y2-2y2=0,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)+(y1

y1-y2 3 1 -y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0,kAB= =1.故 l 的方程为 y- =1· (x+ ),即 x-y+2=0.又圆心为(0,1), 2 2 x1-x2 半径 r=1,故|AB|= 2. 8.过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐 标是________. [答案] ( 2, 2) [解析] 本题主要考查数形结合的思想,设 P(x,y),则由已知可得 PO(O 为原点)与切线的夹角为 30° ,
2 2 ?x= 2 ?x +y =4 由|PO|=2,由? 可得? . ?x+y=2 2 ?y= 2

9.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是________. 3 25 [答案] (x-2)2+(y+ )2= 2 4 [分析] 由已知设出圆 C 的方程,与直线的方程联立,利用△=0 即可求解. [解析] 因为圆过原点,所以可设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey=0. 因为圆过点(4,0),将点(4,0)代入圆的方程得 D=-4,即圆的方程为 x2+y2-4x+Ey=0. 又圆与直线 y=1 相切,将其代入圆的方程得 x2+1-4x+E=0,又方程只有一个解,所以 Δ=42-4(1 +E)=0,解得 E=3.

2

3 25 故所求圆的方程为 x2+y2-4x+3y=0,即(x-2)2+(y+ )2= . 2 4 三、解答题 10.已知一个圆 C 与 y 轴相切,圆心 C 在直线 l1:x-3y=0 上,且在直线 l2:x-y=0 上截得的弦长 为 2 7,求圆 C 的方程. [分析] 设出圆心坐标,利用几何性质列方程求出圆心坐标,再求出半径即可. [解析] ∵圆心 C 在直线 l1:x-3y=0 上, ∴可设圆心为 C(3t,t). 又∵圆 C 与 y 轴相切,∴圆的半径为 r=|3t|. |3t-t| 2 再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得( ) +( 7)2=|3t|2. 2 解得 t=± 1. ∴圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为 3. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 11.已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求 实数 m 的值. [解析] 设点 P、Q 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2). y1 y2 由 OP⊥OQ,得 kOPkOQ=-1,即 · =-1,x1x2+y1y2=0.① x1 x2 又(x1,y1)、(x2,y2)是方程组
? ?x+2y-3=0, ? 2 的实数解,即 x1,x2 是方程 5x2+10x+4m-27=0②的两个根, 2 ?x +y +x-6y+m=0 ?

4m-27 ∴x1+x2=-2,x1x2= .③ 5 ∵P、Q 是在直线 x+2y-3=0 上, 1 1 ∴y1y2= (3-x1)· (3-x2) 2 2 1 = [9-3(x1+x2)+x1x2]. 4 m+12 将③代入,得 y1y2= .④ 5 将③④代入①,解得 m=3.代入方程②,检验 Δ>0 成立, ∴m=3. 12.如下图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上.

3

(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. [分析] (1)由已知设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径列式求解;(2)利用|MA|=2|MO|

求出点 M 的轨迹方程,再写出圆 C 的方程,由这两个方程有公共点列不等式求解. [解析] 必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,得 |3k+1|
2

(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率

3 =1,解得 k=0 或 k=- , 4 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO,所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3 =0,即 x2+(y +1)2=4, 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则|2-1|≤CD≤2+1,即 1≤a2+(2a-3)2≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ , 5 12 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, ]. 5

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