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2.1.2指数函数及其性质


指 数 函 数

创设情景
引例1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂 成4个,……. 1个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细 胞个数 y 与 x 的函数表达式是什么? 细胞分裂过程 细胞个数 次数

第一次 第二次 第三次 第x次

表达式

2=21 4=22 8=23

/>
y=2 ………… ……

x

2

x

细胞个数y关于分裂次数x的表达式为:

创设情景
引例2 .比较下列指数式的异同, 能不能把它们看成函数值?
1 3 1 2

①、 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ;

0

1

2

2

y?2
2 2

x

?1? ②、 ? ? ?2?

1 3

?1? ,? ? ?2?

1 2

?1? ,? ? ? 2?

0

?1? ,? ? ? 2?

1

x ?1? ?1? 1? ,? ? ,? ? ; y ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ?2?

函数值?? 什么函数?

创设情景
引例3 、动手操作,并回答下列问题: (1).一张白纸对折一次得两层,对折两次得4层,对折3 次得8层,问若对折 x 次所得层数为y,则y与x 的函数 表达式是: x

y?2

1 (2).一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 2 米,再从中

间剪一次剩下

1 4

米,若这条绳子剪x次剩下y米,

则y与x的函数表达式是:

?1? y?? ? ?2?

x

引入概念
我们从两列指数式和三个实例抽象得到两个函数:
x

1.指数函数的定义: 形如y = ax(a?0,且a ?1)的函数叫做指数函数, 其中x是自变量 .函数的定义域是R . 思考:为何规定a?0,且a?1?
? ?

?1? y ? 2 与y ? ? ? ?2?
x

这两个函数有 何特点?

0

1

a

概念剖析
思考1:为何规定a?0,且a?1 ?
? ?

( ?3) ? ? 3 1 ?2 x 当a=0时,a 有些会没有意义,如 0 ? 2 0 x
当a<0时,a x有些会没有意义,如 当a=1时,a 恒等于1,没有研究的必要. 思考2:指数式a x中X∈R都有意义吗 ?

0

1

a

1 2

回顾上一节的内容,我们发现指数式 ab 中b可以是 有理数也可以是无理数,所以指数函数的定义域是R.

概念剖析
思考3: 指数函数解析式有什么特点? 下列哪些是指数函数?

(1) (2) y=2x (3) y=2-x (4) y=2 ·3x (5) y=23x (6) y=3x+1

y=x2

指数函数的解析式

a

x

y?a

x



的系数是1 ;

指数必须是单个x ;
底数a?0,且a?1.

动手操作, 画出图像
2.指数函数的图象:

x ?1? x 在同一坐标系中画出函数 y ? 2 与y ? ? ? ?2? 的图象. 描点 连线 描点法作图 列表
x 2x … -2 -1 0 … 0.25 0.5 1 -2 4 -1 2 0 1 1 2 1 0.5 2 4 2 … … …

x … 1 x ( ) … 2

0.25 …

动手操作, 画出图像
y

1 x y?( ) 2

y=2x

4 3 2 1

-3

-2

-1
-1

0

1

2

3

x

动手操作, 画出图像
x 1 ? ? y?? ? ? 10 ?

x ?1? y?? ? ? 2?

x y ? 10

x y?2

观察以上四个函数的图象,你发现了什么特征?有何异同?

观察图像, 得出性质

a>1
y

0<a<1
y=ax
(a>1)

图 象

y=ax
(0<a<1)

y
(0,1)

y=1
(0,1)

y=1 x

0

x

0

性 质

定义域: R 值 域: (0,+ ∞ ) 必过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
x>0,y>1; x<0, 0<y<1 x<0,y>1; x>0,0<y<1

在 R 上是 增函数
底越大图像越靠近坐标轴

在 R 上是 减函数
底越小图像越靠近坐标轴

应用新知
例1. 比较下列各题中两个值的大小:

(1)1.72.5 , 1.73 ; (2)0.8-0.1 ,0.8 -0.2 (3)1.70.3 , 0.93.1.
小结 比较指数幂大小的方法: ①、单调性法:利用函数的单调性,数的特征

是底同指不同(包括可以化为同底的)。 ②、中间值法:找一个 “中间值”如“1”来过渡,
数的特征是底不同指不同。

应用新知
练习1. 比较大小: (1)3.10.5 , < 3.12.3

2 ? 0.3 2 ? 0.24 (2)( ) >, ( ) 3 3
(3) 2.3-2.5 , < 0.2 -0.1

例2. (1)已知0.3x≥0.37,求实数x的取值范围.

1 (2)已知 5x< , 求实数x的取值范围. 25

应用新知
练习2. 求满足下列条件的实数x的范围:

(1)2 ? 8 1 x ( 2)( ) ? 27 3
思考:

x

x≤3 X<-3

2 3x ?1 2 ?2 x 设y ? ( ) ,y ? ( ) , 1 3 2 3 当x为何值时,分别有 : ( 1 )y1 ? y2 ; (2) y1 ? y2 ; (3) y1 ? y2

x 2 y ? | a | ? ( a ? a ? 2) 中的 (1).指数函数

a?

x ?2 y ? a ? 3 (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过点 (2).函数

x f ( x ) ? (2 a ? 1) (3).若指数函数 是减函数,求实数 a 的取

值范围. (4).函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在 [1, 2] 上的最大值比最 a 小值大 则 a ?
2

2 ( x ? R ) 为奇函数则 a ? x 2 ?1 (6).设 f ( x) ? 22 x ? 5 ? 2x?1 ? 1 它的最小值是

(5). 函数f ( x) ? a ?
1 (7).求 y ? ( ) 2

3? 2 x ? x 2

在定义域上的单调性

?

1 1 3 已知函数 f ( x) ? ( x ? ) x (a ? 0, a ? 1) a ?1 2
⑴求函数 f ( x) 的定义域; ⑵讨论函数 f ( x) 的奇偶性; ⑶求 a 的取值范围,使 f ( x) ? 0 在定义域上恒成立

? ? ?

感悟收获,巩固拓展
1、总结反思
我学到了哪些数学知识? 我掌握了哪些数学方法? 我还有哪些问题是感到困惑的?

2、课后作业 课本P52 P54 1,5 2,3,4


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