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导数问题常见的分类讨论典型例题


导数问题常见的分类讨论典型例题
由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用, 所以自从导数进入高考后, 立即得到普遍地重视, 在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额, 许多试题放在较后 的位置, 且有一定的难度.利用导数解决函数的单调性和极值问题, 经常需要进行分类讨论, 所以导数与分类讨论结下了不解之缘,要想获得数学高考的高分,必须占领这块“阵地”. 分

类讨论是中学数学的一种解题思想, 如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论, 这就 要求大家平时就要有一种全局的观点, 同时要有不遗不漏的观点。 只有这样在解题时才能做 到有的放矢。 下面我想通过对导数类题的解答的分析, 来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分 类讨论。

1.需对函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是否为二次函数进行讨论或需对一元二 次方程的判别式进行讨论的问题。 由于许多问题通过求导后转化为二 次函数或二次不等式,它们对应的二次方程是否有解,就要对判别式 讨论。
例 1、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0), 且g ( x) ? f ( x) ? 2 是奇函数.(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间.

2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调 区间通常要解一元二次不等式, 要写出它的解, 就必须知道它两根的 大小,否则就要对两根大小分类讨论。求导后,导函数为零有实根(或导
函数的分子能分解因式) ,但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引 起讨论。求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,导函数为 零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。
例 2、设函数 大值和极小值 ( ),其中 .当 时,求函数 的极

3、需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的 问题。 也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内, 在定义域内要讨 论它给定的区间左、中、右,以确认函数在此区间上的单调性。
例 3、(2012 年北京高考题)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx (1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; (2) 当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值,


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