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等比数列练习题加答案


2.4

等比数列(人教 A 版必修 5)
成等比数列的连续三项,则等比数列的公 比 为( )
n? p A. k ? n

一、选择题(每小题 3 分,共 27 分) 1.如果数列 ?an ? 是等比数列,那么( A.数列 {a } 是等比数列 B.数列 ?
2
an
2 n

)

? 是等比数列

C.数列 ?lg an ? 是等比数列 D.数列 ?nan ? 是等比数列 2.在等比数列 ?an ? 中, a4+a5 =10, a6+a7 = 20,则 a8+a9 =( ) A.90 B.30 C.70 D.40 3.已知等比数列 ?an ? 的各项为正数,且 3 是
a 5 和 a 6 的等比中项,则 a1a2 a10 =(

n?k n C. ? p

p?k k?p D. n ? p

B. n ? p

9.已知在等比数列 ?an ? 中, a5 , a95 为方程
x 2+10 x+ 16= 0 的两根,则 a20 a50 a80

的值为

( ) A.256 B.±256 C.64 D.±64 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 10.等比数列 ?an ? 中, an ? 0 ,且 a2=1-a1 , a4=9-a3 ,则 a4+ a5 = . 1 11.已知等比数列 ?an ? 的公比 q =- ,则 3
a1 ? a3 ? a5 ? a7 a2 ? a4 ? a6 ? a8

)

A.39 C.311
2 a9 a11

B.310 D.312

4.在等比数列 ?an ? 中,若 a3a5 a7 a9 a11 =243,则 的值为( ) B.1 D.3

=



A.9 C.2

5.已知在等比数列 ?an ? 中,有 a3a11=4a7 ,数
b 列 ? n ? 是等差数列,且 b7=a7 ,则 b5+b9 =( ) A.2 B.4 C.8 D.16

6.在等比数列 ?an ? 中, 6, a4+a14 A.
a =5,则 6 a16

an ? an+1

12.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三 数成等差数列,若中间项减去 6,则成等比 数列,此未知数是 . 13.一种专门占据内存的计算机病毒的大小 为 2 KB,它每 3 s 自身复制一次,复制后所 占内存是原来的两倍,则内存为 64 MB(1 MB =210 KB)的计算机开机后经过 s,内 存被占完. 三、解答题(共 57 分) 14.(8 分)已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数 列,且
?1 1? a1+a2 =2 ? ? ? , ? a1 a2 ?

,且 a7 a11 = )

=(

3 2 B. 2 3 1 C. D.6 6 7.已知在等比数列 ?an ? 中,各项都是正数, 且 a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则
1 2
a9 ? a10 a7 ? a8

?1 1? ?a ? a3+ a4 =32 ? ? ? .求 n 的通项公式. a a 4 ? ? 3



( ) A.1+ 2 B.1- 2 C.3+2 2 D.3-2 2 8.已知公差不为零的等差数列的第 k ,n,p 项构

15.(8 分)在等比数列 ?an ? 中,已知
a4 a7 =-512, a3+a8 =124,且公比为整数,

18.(12 分)已知 a1 =2,点 (an , an+1 ) 在函数
f ( x)=x 2+

求 a10 .

2x 的图象上,其中 n =1,2,3,….

(1)证明数列 {lg(1+an )} 是等比数列; (2)求 ?an ? 的通项公式.

16.(8 分)在等差数列 ?an ? 中, a 4 =10,且
a3 , a6 , a10

成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的

和 S 20 .

19.(12 分)容积为 a L( a ? 1)的容器盛满酒 精后倒出 1 L,然后加满水,混合溶液后再 倒出 1 L,又用水加满,如此继续下去,问 第 n 次操作后溶液的浓度是多少?若 a =2, 至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于 10%? 17.(9 分)设正整数数列 ?an ? 为一个等比数 列,且 a 2 =4, a 4 =16, 求
lg an+1+lg an+2+ +lg a2n

.

2.4 一、选择题 1.A 解析:设 =
bn
2 an

等比数列(人教 A 版必修 5)答案
2

2 ?a ? a 2?1 b ,则 n ?1 = n 2 = ? n?1 ? = q ,∴ bn an ? an ?

?bn ? 为等比数列;


2an?1 ? 2an?1 ?an ≠常数; 2an

当 an ? 0 时, lg an 无意义;设 cn=nan ,则 2.D 3.B 4.D 5.C 解析:∵ q 2 =
a6 ? a7 a4 ? a5

c n ?1 cn



( n ? 1) an ?1 nan

n ?1 ? q ≠常数. n

=2,∴ a8+a9=(a6+a7 )q2=20q2=40 .

解析:由题意得 a5 a6=9 ,∴ a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9 ,∴ a1a2 a10=95=310 . 解析:∵ a3a5a7 a9a11=a15q30=243 ,∴
2 a9 a11



a12 q16 a1 q10

5 = a1q 6 = 243=3.

解析:∵ a3a11=a72=4a7 ,又 a 7 ≠0,∴ a 7 =4,∴ b7 =4.∵ 数列 ?bn ? 为等差数列,∴

b5+b9=2b7=8 .

6.A

?a7 a11 ? a4 a14 ? 6, ? a4 ? 3, ? a4 ? 2, ? ? ? a ? 3. a ?2 a ? a ? 5, 解析:由题意得 ? 4 14 解得 ? 14 或 ? 14

又∵ an ? an+1 ,∴ a4=3 , a14=2 .∴ 7.C

a6 a 3 ? 4 ? a16 a14 2

.

解析:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,∵ a1 , a3 , 2a2 成等差数列,∴ a3=a1+2a2 ,∴

1 2

a1q 2=a1+2a1q ,

∴ q2-2q-1=0,∴ q =1± 2.∵ 各项都是正数,∴ q ? 0 ,∴ q =1+ 2, ∴ 8.A 则q? 9.D
a9 ? a10 a7 ? a8

= q 2 =(1+ 2)2=3+2 2.

解析:设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,
an a p a p ? an ? a1 ? ( p ? 1)d ? ? ? a1 ? (n ? 1)d ? p ? n n ? p ? ? ? ? = ak an an ? ak ? a1 ? (n ? 1)d ? ? ? a1 ? (k ? 1)d ? n ? k k ? n

.

解析:由根与系数的关系,得 a5a95 =16,由等比中项可得 a5a95 = (a50 ) 2 =16,故 a50 =±4, 则 a20a50a80 = (a50 )3 =(±4)3=±64.

二、填空题 10.27
2 2 解析:由题意,得 a1+a2 =1, a3+a4 = (a1+a2 )q =9,∴ q =9.

又 an ? 0 ,∴ q=3 .故 a4+a5=(a3+a4 )q=9 ? 3=27 . 11.-3 解析:
a1 ? a3 ? a5 ? a7 a2 ? a4 ? a6 ? a8



a1 ? a3 ? a5 ? a7 a1q ? a3 q ? a5 q ? a7 q

= =-3. 解得 ?
?a ? 3, ? a ? 15, 或? ?b ? 3 ?b ? 27.

1 q

12.3 或 27 解析:设三数分别为 3, a, b ,则 ? ∴ 这个未知数为 3 或 27. 13.45

?2a ? 3 ? b, ?(a ? 6) ? 3b.
2

解析:设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列 ?an ? ,且 a1 =2×2=4, q =2,

则 a n =4· 2 n-1 .令 4· 2 n ?1 =64×210,得 n =15,即复制 15 次,共用 45 s. 三、解答题 14.解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则 an=a1q n-1 . 由已知得 a1+a1q =2 ?
?1 ? 1 1 ? 1 ? a q 2+a1q 3 ? =32 ? 2 ? 3 ? . ?, 1 a1q ? ? a1q ? a1 a1q ?

?a12 q(q ? 1) ? 2(q ? 1), ?a12 q ? 2, ? ? ? 2 5 ? 2 5 ?a1 q (q ? 1) ? 32(q ? 1), 即 ? ?a1 q ? 32. 化简,得 ?

又∵ a1 ? 0 , q ? 0 ,∴ ?

? a1 ? 1, ∴ an=2n-1 . ? q ? 2.

?a ? a ? 124, ? a ? 128, ?a ? ?4, 15.解:∵ a3a8=a4 a7=-512 ,联立 ? 3 8 解得 ? 3 或? 3

又公比为整数,∴ ( 4) ? (-2)7=512 . ∴ a10=a3q7=-

?a3 a8 ? ?512. a3=-4,a8= 128,q=-2

?a8 ? 128

? a8 ? ?4.

.

16.解:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d . 由 a3 , a6 , a10 成等比数列,得 a3 a10=a6 ,即 (10-d )(10+6d )=(10+2d ) . 2 整理,得 10d -10d=0 .解得 d =0 或 d =1. 当 d =0 时, S20=20a4=200 ; 当 d =1 时, a1=a4-3d=10-3 ?1=7 , 20×19 d =20×7+190=330. 于是 S 20 = 20a1 + 2
n 17.解:由 a 2 =4, a 4 =16,得 a1 =2, q =2,∴ an=2 .
2 2

∴ lg?an+1+lg?an+2+ +lg?a2n=lg(an+1an+2 18.(1)证明:由已知得 ∵ ∴
a1=2
2 an+1=an +2an

a2n )=lg 2

( n+1)+( n+2)+ +2n

=lg 2

3 n2 ? n 2



3n2 ? n lg 2. 2

,∴

2 an+1+ 1=an +2an+ 1=(an+ 1)2

.

,∴ an+1+1=(an+1) ? 0 .
2

lg(1+an+1 )=2lg(1+an )

,即

lg(1+an+1 ) =2 ,且 lg(1+a1 )=lg 3 . lg(1+an )
n -1

∴ {lg(1+an )} 是首项为 lg 3,公比为 2 的等比数列.
n-1 2 2 2 1. (2)解:由(1)知, lg(1+an )=2 ? lg 3=lg 3 ,∴ 1+an=3 ,∴ an=3 - 1 20.解:开始的浓度为 1,操作一次后溶液的浓度是 a1 =1- . a 1? 设操作 n 次后溶液的浓度是 a n ,则操作 (n+1) 次后溶液的浓度是 an+1 = an ? ?1- ? . a? ? 1 1 所以数列 ?an ? 是以 a1 =1- 为首项, q =1- 为公比的等比数列. a a n n ? 1? ? 1? an=a1q n-1=? 1 ? ? 1 ? ? ? ? a ? ,即第 n 次操作后溶液的浓度是 ? a ? . 所以
n 1? 1 n 当 a =2 时,由 a n = ? ? ? ? ,得 ≥4.
n -1
n -1

?2?

10

因此,至少应倒 4 次后才可以使酒精浓度低于 10%.


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