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2016届山东省济宁市曲阜师大附中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年山东省济宁市曲阜师大附中高三(上)期末数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( )x,x>1},则 A∩B=( A.{y|0<y< } B.{y|0<y<1} C.{y| <y<1}

D.? 2.下列关于命题的说法错误的是(
2





A.对于命题 p:? x∈R,x +x+1<0,则¬p:? x∈R,x2+x+1≥0 B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” D.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 3.由曲线 xy=1,直线 y=x,x=3 所围成的封闭图形的面积为( ) A. B.4﹣ln3 C. D. 围成的三角形区域(包含边界)为 D,点 )

4.设双曲线 x2﹣y2=1 的两条渐近线与直线 x=

P(x,y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z=x﹣2y 的最小值为( A.﹣2 B.﹣ C.0 D.

5.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2AD,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角

的余弦值为(



A.

B.

C.

D. )

6.函数 y=

的图象是(

A.

B.

C.

D.

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7.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)>0,且对任意 x∈R,f(x+2)= 则f A.4

恒成立,

B.3

C.2

D.1 )的图象如图所示,为了得到 g(x)

8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< =sin2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

A.向右平移 C.向左平移

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向左平移

个单位长度 个单位长度

9.设函数 f(x)=4x+2x﹣2 的零点为 x1,g(x)的零点为 x2,若|x1﹣x2|≤ ,则 g(x) 可以是( A.g(x)= ) ﹣1 B.g(x)=2x﹣1 C. D.g(x)=4x﹣1

10.已知点 A 是抛物线 y=

的对称轴与准线的交点,点 B 为该抛物线的焦点,点 P 在该

抛物线上且满足|PB|=m|PA|,当 m 取最小值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上, 则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 f(n)=1+ + +…+ (n∈N*) ,经计算得 f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, f(32)> …,观察上述结果,可归纳出的一般结论为. 12.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的体积是

______m3.

13.已知两直线 l1: 的面积是______.

x﹣y+2=0,l2:

x﹣y﹣10=0,截圆 C 所得的弦长为 2,则圆 C

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14.定义 * 是向量 和 的“向量积”,它的长度| * |=| |?| |?sinθ,其中 θ 为向量 和 的夹角,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ ) ,则| *( + )|=______. 15.已知函数 f(x)=|ex﹣a|+ 值的差为 ,则 a=______. (a>2) .当 x∈[0,ln3]时,函数 f(x)的最大值与最小

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 75 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,向量 =(a,2b﹣c) , =(cosA, cosC) ,且 ∥ (1)求角 A 的大小; (2)设 f(x)=cos(ωx﹣ )+sinωx(ω>0)且 f(x)的最小正周期为 π,求 f(x)在区 间[0, ]上的值域.

17.如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠ BCE= ,平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

(1)证明:AG∥平面 BDE. (2)求平面 BDE 和平面 ADE 所成锐二面角的余弦值. 18.第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后,某科技企业为抓住互联网带来的机遇,决 定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为 500 万元,每生产 x 台,需另 投入成本为 C(x)万元.若年产量不足 80 台时,C(x)= x2+40x(万元) ;若年产量不小 于 80 台时,C(x)=101x+ ﹣2180(万元) .每台设备售价为 100 万元,通过市场分析,

该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润 y(万元)关于年产量 x(台)的函数关系式; (2)年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大? 19.已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,首项 a1=1,其前 n 项和为 Sn;数列{bn}是等 比数列,首项 b1=2,且 b2S2=16,b3S3=72. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

20.已知函数 f(x)=﹣2alnx+2(a+1)x﹣x2(a>0) (1)若函数 f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线与 x 轴平行,求实数 a 的值; 2 f x ( )讨论 ( )的单调性; (3)若 f(x)≥﹣x2+2ax+b 恒成立,求实数 a+b 的最大值.

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21.椭圆 C:

的上顶点为 P,

是 C 上的一点,以 PQ 为

直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 且与坐标不垂直的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,在直线 x=2 上是 否存在一点 D,使得△ABD 为等边三角形?若存在,求出直线 l 的斜率;若不存在,请说 明理由.

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2015-2016 学年山东省济宁市曲阜师大附中高三(上)期 末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( )x,x>1},则 A∩B=( A.{y|0<y< } B.{y|0<y<1} C.{y| <y<1} D.? 【考点】交集及其运算. 【分析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合 A 和 B,然后再求两个集合的交集 即可. 【解答】解:∵集合 A={y|y=log2x,x>1}, ∴A=(0,+∞) ∵B={y|y=( )x,x>1}, ∴B=(0, ) ∴A∩B=(0, ) 故选 A. 2.下列关于命题的说法错误的是( ) 2 A.对于命题 p:? x∈R,x +x+1<0,则¬p:? x∈R,x2+x+1≥0 B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” D.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 【考点】复合命题的真假;四种命题;命题的真假判断与应用. 【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断 A 是否正确; 根据充分、必要条件的判定方法判断 B 是否正确; 根据逆否命题的定义判断 C 是否正确;利用复合命题的真值表判定 D 是否正确. 【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题,∴A 正确; ∵x=1? x2﹣3x+2=0,当 x2﹣3x+2=0 时,x=1 不确定,根据充分必要条件的判定,B 正确; 根据逆否命题的定义,是逆命题的否命题,∴C 正确; ∵p∧q 为假命题根据复合命题真值表,P,q 至少一假,∴D 错误; 故选 D 3.由曲线 xy=1,直线 y=x,x=3 所围成的封闭图形的面积为( A. B.4﹣ln3 C. D.
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【考点】定积分. 【分析】确定曲线交点的坐标,确定被积区间及被积函数,利用定积分表示面积,即可得到 结论. 【解答】解:由曲线 xy=1,直线 y=x,解得 x=±1. 由 xy=1,x=3 可得交点坐标为(3, ) . ∴由曲线 xy=1,直线 y=x,x=3 所围成封闭的平面图形的面积是 S= (x﹣ )dx=( x2﹣lnx)| =4﹣ln3.

故选:B. 4.设双曲线 x2﹣y2=1 的两条渐近线与直线 x=

围成的三角形区域(包含边界)为 D,点 )

P(x,y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z=x﹣2y 的最小值为( A.﹣2 B.﹣ C.0 D.

【考点】双曲线的简单性质;简单线性规划. 【分析】依题意可知平面区域是由 y=x,y=﹣x,x= 坐标代入 z 即可求得最小值. 【解答】解:依题意可知平面区域是由 y=x,y=﹣x,x= 可行域三角形的三个顶点坐标为 将这三点代可求得 Z 的最小值为﹣ 故选 B 5.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2AD,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角 . 构成. , 构成.把可行域三角形的三个顶点

的余弦值为(



A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能求出异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值. 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AA1=2AB=2AD=2, 则 A1(1,0,2) ,B(1,1,0) ,A(1,0,0) ,D1(0,0,2) , =(0,1,﹣2) , =(﹣1,0,2) ,
第 6 页(共 19 页)

设异面直线 A1B 与 AD1 所成角为 θ, 则 cosθ= = = .

∴异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 . 故选:D.

6.函数 y=

的图象是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值法,即可判断 【解答】解:∵y= 为偶函数,

∴图象关于 y 轴对称,排除 A,C,

当 x=

时,y=

<0,排除 D,

故选:B

7.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)>0,且对任意 x∈R,f(x+2)= 则f A.4

恒成立,

B.3

C.2

D.1

【考点】函数奇偶性的性质;函数的周期性.
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【分析】先根据条件求出函数 f(x)的周期为 4,并根据 f(x)为偶函数,从而得到 f,而 令 x=﹣1 便可求出 f(1)=1,从而得出 f 是周期为 4 的周期函数; ∴f=f(﹣1)=f(1) ; 由 令 x=﹣1 得:f(1)= = ;

∵f(x)>0,∴f(1)=1; ∴f 函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< =sin2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( ) )的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向右平移 C.向左平移

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向左平移

个单位长度 个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式,进一步利用平移变换求出结果. 【解答】解:根据函数的图象:A=1 又 解得:T=π 则:ω=2 当 x= 解得: 所以:f(x)=sin(2x+ ) 个单位即可. ,f( )=sin( +φ)=0

要得到 g(x)=sin2x 的图象只需将函数图象向右平移 故选:A

9.设函数 f(x)=4x+2x﹣2 的零点为 x1,g(x)的零点为 x2,若|x1﹣x2|≤ ,则 g(x) 可以是( A.g(x)= ) ﹣1 B.g(x)=2x﹣1 C. D.g(x)=4x﹣1

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】求出函数 f(x)的零点的取值范围,分别求出函数 g(x)的零点,判断不等式|x1 ﹣x2|≤ 是否成立即可.
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【解答】解:∵f(1)=4+2﹣2>0,f(0)=1﹣2<0,f( )=2+1﹣2>0, f( )= +2× ﹣2<0,

则 x1∈( , ) , A.由 g(x)= ﹣1=0,得 x=1,即函数的零点为 x2=1,则不满足|x1﹣x2|≤ ,

B.由 g(x)=2x﹣1=0,得 x=0,即函数的零点为 x2=0,则不满足|x1﹣x2|≤ , C.由 =0 得 x= ,即函数零点为 x2= ,则不满足|x1﹣x2|≤ ,

D.由 g(x)=4x﹣1=0,得 x= ,即函数的零点为 x2= ,则满足|x1﹣x2|≤ , 故选:D.

10.已知点 A 是抛物线 y=

的对称轴与准线的交点,点 B 为该抛物线的焦点,点 P 在该

抛物线上且满足|PB|=m|PA|,当 m 取最小值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上, 则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.

【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 【分析】 过 P 作准线的垂线, 垂足为 N, 则由抛物线的定义, 结合||PB|=m|PA|, 可得 =m,设 PA 的倾斜角为 α,则当 m 取得最小值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切, 求出 P 的坐标,利用双曲线的定义,即可求得双曲线的离心率. 【解答】解:过 P 作准线的垂线,垂足为 N, 则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|, ∵|PB|=m|PA|,∴|PN|=m|PA|,则 =m,

设 PA 的倾斜角为 α,则 sinα=m, 当 m 取得最小值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切, 设直线 PA 的方程为 y=kx﹣1,代入 x2=4y,可得 x2=4(kx﹣1) , 2 即 x ﹣4kx+4=0, ∴△=16k2﹣16=0,∴k=±1, ∴P(2,1) , ∴双曲线的实轴长为|PA|﹣|PB|=2( ﹣1) , ∴双曲线的离心率为 故选:C. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. = +1.

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11.已知 f(n)=1+ + +…+ (n∈N*) ,经计算得 f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, f(32)> …,观察上述结果,可归纳出的一般结论为. 【考点】归纳推理. 【分析】由题意 f(4)>2,可化为 f(22)> (16)>3 即为 f(24)> ,f(8)> ,可化为 f(23)> ,即可归纳得到结论. ,f

,f(32)> 即为 f(25)> ,

【解答】解:由题意 f(4)>2,可化为 f(22)> f(8)> ,可化为 f(23)> f(16)>3,可化为 f(24)> f(32)> ,可化为 f(25)> … 以此类推,可得 f(2n+1)> 故答案为:f(2n+1)> (n∈N*) . , , ,

(n∈N*) .

12.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的体积是

m3.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,垂直于底面的侧面 是一个高为 2,底边长也为 2 的等腰直角三角形,然后利用三视图数据求出几何体的体积. 【解答】解:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧 面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为 2,底面边长为 2,底面面积 ×2×2=2, 故此三棱锥的体积为 ×2×2= (m3) , 故答案为:

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13.已知两直线 l1: 的面积是 10π .

x﹣y+2=0,l2:

x﹣y﹣10=0,截圆 C 所得的弦长为 2,则圆 C

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】设圆心 C(a,b) ,半径 r,由已知可得关于 a,b,r 的方程组,整体运算求出圆 C 的半径,由此能求出圆的面积. x﹣y+2=0,l2: x﹣y﹣10=0 截圆 C 所得的弦长均为 2, 【解答】解:两直线 l1: 设圆心 C(a,b) ,设圆半径 r,

则 ∴圆 C 的面积 S=πr2=10π. 故答案为:10π.

,解得



14.定义 * 是向量 和 的“向量积”,它的长度| * |=| |?| |?sinθ,其中 θ 为向量 和 的夹角,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ ) ,则| *( + )|= 2 . 【考点】平面向量的坐标运算;向量的模. 【分析】用向量的数量积求得∴ 的夹角,再利用“向量积”的定义求值.

【解答】解:



的夹角 θ 满足 cosθ=

=



∴ 故答案为 2

=2× .

15.已知函数 f(x)=|ex﹣a|+ 值的差为 ,则 a= .

(a>2) .当 x∈[0,ln3]时,函数 f(x)的最大值与最小

【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】利用函数 f(x)=|ex﹣a|+ (a>2) .去掉绝对值,讨论 2<a<3 和 a>3 根据函

数的单调性确定 f(x)的最值,再由条件解方程,可求参数的值,从而可得结论.

【解答】解:由 a>2,f(x)=|ex﹣a|+

=



∵x∈[0,ln3],∴ex∈[1,3], ∴ex=a 时,函数取得最小值为 ∵x=0 时,a﹣ex+ =﹣1+a+ , ;
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x=ln3 时,ex﹣a+

=3﹣a+

, ,

当 2<a<3 时,函数 f(x)的最大值 M=﹣1+a+ ∵函数 f(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 , ∴2<a<3 时,﹣1+a+ ∴a= , ﹣ = ,

当 a>3 时,lna>ln3,此时 f(x)在[0,ln3]内单调递减, 所以函数在 f(0)处取最大值,在 f(ln3)处取最小值, 即有﹣1+a+ 解得 a= ﹣(3﹣a+ )= ,

,不符合 a 大于 3,所以舍去.

故答案为: .

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 75 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,向量 =(a,2b﹣c) , =(cosA, cosC) ,且 ∥ (1)求角 A 的大小; (2)设 f(x)=cos(ωx﹣ )+sinωx(ω>0)且 f(x)的最小正周期为 π,求 f(x)在区 间[0, ]上的值域.

【考点】正弦定理. 【分析】 (1)由 ∥ ,可得 acosC=(2b﹣c)cosA,利用正弦定理,三角函数恒等变换的 应用化简可得:sinB=2sinBcosA,结合 sinB≠0,解得 cosA= ,根据范围 A∈(0,π) ,即 可求 A 的值. (2)由(1)及三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得:f(x)= 利用周期公式可求 ω,由 x∈[0, 和性质即可求得 f(x)在区间[0, ],可得 2x+ ]上的值域. ∈[ , sin( ) ,

],利用正弦函数的图象

【解答】解: (1)∵ =(a,2b﹣c) , =(cosA,cosC) ,且 ∥ , ∴acosC=(2b﹣c)cosA,
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∴由正弦定理可得:sinAcosC=(2sinB﹣sinC)cosA,即 sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA, 可得:sinB=2sinBcosA, ∵sinB≠0, ∴cosA= , ∵A∈(0,π) , ∴A= …6 分 )+sinωx= cosωx+ sinωx= sin( ) ,

(2)由(1)可得:f(x)=cos(ωx﹣ ∴ ∴f(x)= ∵x∈[0, ∴2x+ ∈[ =2, sin(2x+ ], , sin(2x+ ], )∈[﹣ , ) ,

∴f(x)=

]. , ]…12 分

即 f(x)在区间[0,

]上的值域为[﹣

17.如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠ BCE= ,平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

(1)证明:AG∥平面 BDE. (2)求平面 BDE 和平面 ADE 所成锐二面角的余弦值. 【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)以 C 为原点,CD 为 x 轴,CB 为 y 轴,CE 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利 用向量法能证明 AG∥平面 BDE. (2)求出平面 ADE 的法向量和平面 BDE 的法向量,利用向量法能求出平面 BDE 和平面 ADE 所成锐二面角的余弦值. 【解答】证明: (1)∵平面 ABCD⊥平面 BCEG,平面 ABCD∩平面 BCEG=BC, CE⊥BC,CE? 平面 BCEG, ∴EC⊥平面 ABCD, 以 C 为原点,CD 为 x 轴,CB 为 y 轴,CE 为 z 轴,建立空间直角坐标系, B(0,2,0) ,D(2,0,0) ,E(0,0,2) ,A(2,1,0) ,G(0,2,1) , 设平面 BDE 的法向量为 =(x,y,z) , =(0,2,﹣2) = 2 0 2 , ( , ,﹣ ) , ∴ ∵ ,取 x=1,得 =(1,1,1) , =(﹣2,1,1) ,∴ =0,∴ ⊥ ,

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∵AG?平面 BDE,∴AG∥平面 BDE. 解: (2)设平面 ADE 的法向量 =(a,b,c) , =(0,1,0) , =(﹣2,0,2) , 则 ,取 x=1,得 =(1,0,1) ,

由(1)得平面 BDE 的法向量为 =(1,1,1) , 设平面 BDE 和平面 ADE 所成锐二面角的平面角为 θ, 则 cosθ= = = .

∴平面 BDE 和平面 ADE 所成锐二面角的余弦值为



18.第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后,某科技企业为抓住互联网带来的机遇,决 定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为 500 万元,每生产 x 台,需另 投入成本为 C(x)万元.若年产量不足 80 台时,C(x)= x2+40x(万元) ;若年产量不小 于 80 台时,C(x)=101x+ ﹣2180(万元) .每台设备售价为 100 万元,通过市场分析,

该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润 y(万元)关于年产量 x(台)的函数关系式; (2)年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大? 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)通过利润=销售收入﹣成本,分 0<x<80、x≥80 两种情况讨论即可; (2)通过(1)配方可知当 0<x<80 时,当 x=60 时 y 取得最大值为 1300(万元) ,利用基 本不等式可知当 x≥80 时,当 x=90 时 y 取最大值为 1500(万元) ,比较即得结论. 【解答】解: (1)当 0<x<80 时,y=100x﹣( x2+40x)﹣500=﹣ x2+60x﹣500, 当 x≥80 时,y=100x﹣﹣500=1680﹣(x+ ) ,

于是 y=



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(2)由(1)可知当 0<x<80 时,y=﹣ (x﹣60)2+1300, 此时当 x=60 时 y 取得最大值为 1300(万元) , 当 x≥80 时,y=1680﹣(x+ 当且仅当 x= )≤1680﹣2 =1500,

即 x=90 时 y 取最大值为 1500(万元) ,

综上所述,当年产量为 90 台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大,最大利润 为 1500 万元. 19.已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,首项 a1=1,其前 n 项和为 Sn;数列{bn}是等 比数列,首项 b1=2,且 b2S2=16,b3S3=72. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和. 【分析】 (1)由已知条件,利用等差数列、等比数列的通项公式、前 n 项和列出方程组,求 出等差数列的公差和等比数列的公比,由此能求出 an 与 bn; (2)由(1)能推导出 Sn=n2,两次运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求 和公式. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, ∵等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,b1=2, ∴an=1+(n﹣1)d,bn=2qn﹣1,d>0, ∵b2S2=16,b3S3=72, ∴ ,

解得 d=q=2, ∴an=2n﹣1,bn=2n. (2)∵a1=1,d=2, ∴Sn=n+ n(n﹣1)?2=n2, =

可得



前 n 项和 Tn= +

+

+…+



Tn= +

+

+…+



相减可得 Tn= + + +

+…+





第 15 页(共 19 页)

设 An= + + +

+…+



An= + +

+

+…+



两式相减可得,

An= +2( + +

+

+…+

)﹣

= +2?





化简可得 An=3﹣ 即有 Tn=3﹣ ﹣





可得 Tn=6﹣



20.已知函数 f(x)=﹣2alnx+2(a+1)x﹣x2(a>0) (1)若函数 f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线与 x 轴平行,求实数 a 的值; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)若 f(x)≥﹣x2+2ax+b 恒成立,求实数 a+b 的最大值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,求出 a 的值即可; (2)求出 f(x)的导数,通过 a 的范 围,从而求出函数的单调区间; (3)问题转化为 2alnx﹣2x+b≤0 恒成立,令 g(x)=2alnx﹣2x+b, (x>0) ,求出 g(x)的 最大值,得到 a+b≤3a﹣2alna,令 h(x)=3x﹣2xlnx, (x>0) ,求出 h(x)的最大值即可. 【解答】解: (1)∵f′(x)=﹣ ∴f′(2)=a﹣2=0,解得:a=2; (2)f′(x)= , +2a+2﹣2x,

①a=1 时,f′(x)=﹣

≤0,

∴f(x)在(0,+∞)递减; ②0<a<1 时,由 f′(x)>0,解得:a<x<1, ∴f(x)在(a,1)递增,在(0,a) , (1,+∞)递减; ③a>1 时,同理 f(x)在(1,a)递增,在(0,1) , (a,+∞)递减; 2 (3)∵f(x)≥﹣x +2ax+b 恒成立,
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∴2alnx﹣2x+b≤0 恒成立, 令 g(x)=2alnx﹣2x+b, (x>0) , g′(x)= ,

∴g(x)在(0,a)递增,在(a,+∞)递减, ∴g(x)max=g(a)=2alna﹣2a+b≤0, ∴b≤2a﹣2alna.∴a+b≤3a﹣2alna, 令 h(x)=3x﹣2xlnx, (x>0) ,h′(x)=1﹣2lnx, ∴h(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减, h(x)max=h( )=2 ,∴a+b≤2 , ∴a+b 的最大值是 2 .

21.椭圆 C:

的上顶点为 P,

是 C 上的一点,以 PQ 为

直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 且与坐标不垂直的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,在直线 x=2 上是 否存在一点 D,使得△ABD 为等边三角形?若存在,求出直线 l 的斜率;若不存在,请说 明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)把 代入椭圆方程可得: + =1,解得 a2.又 P(0,b) ,F

(c,0) , ⊥ ,可得 ? =0,又 a2=b2+c2=2,联立解得 b,c 即可得出椭圆 C 的方程. (2)在直线 x=2 上存在一点 D,使得△ABD 为等边三角形.设直线 l 的方程为:y=k(x﹣ 1) ,代入椭圆方程可得: (2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,利用根与系数的关系、中点坐标公 式,弦长公式与等边三角形的性质即可得出. 【解答】解: (1)把 代入椭圆方程可得: + =1,解得 a2=2.

又 P(0,b) ,F(c,0) , ∵ ⊥ ,∴ ? =

=(c,﹣b) , ﹣ =0,

=



又 a2=b2+c2=2,解得 b=c=1, ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1.

(2)在直线 x=2 上存在一点 D,使得△ABD 为等边三角形. 设直线 l 的方程为:y=k(x﹣1) , 代入椭圆方程可得: (2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,△>0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ,x1?x2= ,

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设 AB 的中点为 M(x0,y0) ,则 x0=

=

,y0=k(x0﹣1)=﹣



|AB|=

=



∵△DAB 为等边三角形,∴|DM|=

|AB|, ,解得 k2=2,即 k=



=

?



故在直线 x=2 上存在一点 D,使得△ABD 为等边三角形. 此时直线 l 的斜率为 .

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2016 年 9 月 16 日

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