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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案


武汉市部分重点中学 2014—2015 学年下学期高一期中测试

数 学 试 卷
命题人:汉铁高中 周志远 目要求的,请将答案填涂在答题卡上相应位置)。 1.在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D.正方形 ) ) 审题人:汉铁高中 胡艾华 一、选择题(本大题共 12

小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

2.远望灯塔高七层,红光点点成倍增,只见顶层灯一盏,请问共有几盏灯?答曰: ( A.64 B. 128 C.63 D.127

3.在△ ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是( A. b ? 20, A ? 450 , C ? 800 C. a ? 14, b ? 16, A ? 45
0


0

B. a ? 30, c ? 28, B ? 60

D. a ? 12, c ? 15, A ? 120

0

4.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在点 A 所在的同侧河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离为 100 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A,B 两点 的距离为( C.50 2 m ). B.100 2 m D.25 2 m A.100 3 m

5.灯塔 A 和灯塔 B 与海洋观察站 C 的距离都是 10 海里,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观 察站 C 的南偏东 20°,则灯塔 A 和灯塔 B 的距离为( ) A.10 海里 B. 20 海里 C. 10 2 海里 D. 10 3 海里 )

6.设 a ? b ? 4 ,若 a 在 b 方向上的投影为 A.

? 3

B.

? 6

2 , 且 b 在 a 方向上的投影为 3, 则 a 和 b 的夹角等于( 3 ? 2? 2? C. D. 或 3 3 3 C
) O B (第 7 题)

7. 如图, O 为圆心, 若圆 O 的弦 AB=3, 弦 AC=5, 则 AO · BC 的值是( A.1 B.8 C. -1 D. -8 A

8.圆内接四边形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 4, CD ? 5, AD ? 6, 则 cos A ? ( A.



1 6

B.

1 12

C.

1 19

D.

1 21

9.已知平行四边形 ABCD 的周长为 18,又 AC= 65 ,BD= 17 ,则该平行四边形的面积是( A.32 B.17.5 C.18 D.16 )



10.下面 4 个结论中,正确结论的个数是(

①若数列 ?a n ? 是等差数列,且 am ? an ? as ? at (m、n、s、t ? N*) ,则 m ? n ? s ? t ; ②若 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项的和,则 S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n 成等差数列; ③若 S n 是等比数列 ?a n ? 的前 n 项的和,则 S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n 成等比数列; ④若 S n 是等比数列 ?a n ? 的前 n 项的和,且 S n ? Aq ? B ;(其中 A、B 是非零常数,
n

n ? N * ),则 A ? B 为零.
A.4 B.3 C.2 D.1

11.已知△ ABC 的三边长是三个连续的自然数,且最大内角是最小内角的 2 倍,则最小内角的余弦值为 ( ) A.

3 4

B.

5 6

C.

7 10

D.

2 3
S1 S2 S3 S15 中最大项为( 、 、 … a1 a2 a3 a15
S6 a6

12.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S15 ? 0 , S16 ? 0 ,则



A.

S9 a9

B.

S8 a8

C.

S7 a7

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡上相应位置) 13. 设公比为 q 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S n ?1 、 S n 、 S n ? 2 成等差数列,则 q = ___________. 14.在△ ABC 中,三边长分别为 AB=7,BC=5,AC=6,则 AB ? BC ? _________ . 15.已知 A BCDEF 是正六边形,在下列 4 个表达式 (1) FE ? ED , (2) 2 BC ? DC , (3) BC ? CD ? EC , (4) 2 ED ? FA 中,运算结果与 AC 相等的 表达式共有_________个.

16. 在△ ABC 中, AB ? 4 6 , cos B ?

6 , AC 边上的中线 BD ? 3 5 , 则 sin A ? _________. 6

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 5 , cos B ? (Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )求 sin C 的值.

3 . 5

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ a n }的公差 d ? 0 , a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a 9 成等比数列. (Ⅰ )求数列{ a n }的公差 d 及通项 a n ; (Ⅱ )求数列 {2
an

} 的前 n 项和 S n .

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 为锐角,记角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、b、c ,设向量

m ? (cos A,sin A), n ? (cos A, ? sin A) ,且 m 与 n 的夹角为
(Ⅰ )计算 m ? n 的值并求角 A 的大小; (Ⅱ )若 a ? 7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

? . 3

20.(本小题满分 12 分) 已知 i , j 分别是与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量, OA1 ? j , OA2 ? 5 j ,

An?1 An ? 2 An An?1 (n ? 2, n ? N ? ) , OB1 ? 3i ? 3 j , Bn Bn?1 ? 2i ? 2 j (n ? N ? )
(Ⅰ )求 A7 A8 ; (Ⅱ )求 OAn , OBn 的坐标.

21. (本小题满分 12 分)

如图,在 ?ABC 中,设 AB ? a , AC ? b ,又 BD ? 2 DC , a ? 2, b ? 1 ,向量 a , b 的夹角为

? 3.

(Ⅰ )用 a, b 表示 AD ; (Ⅱ )若点 E 是 AC 边的中点,直线 BE 交 AD 于 F 点,求 AF ? BC .

A

F

E C

D B
22. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, an?1 ? (Ⅰ )求 a 2 , a 3 ;

an (n ? N * ) an ? 3

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?a n ? 的通项公式 a n ; ? an 2 ? n n (Ⅲ)数列 ? bn ?满足 bn ? (3n ? 1) ? n ? an ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,若不等式 (?1) n ? ? Tn ? n?1 对 2 2 * 一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围.
(Ⅱ )求证: ?

武汉市部分重点中学 2014-2015 学年下学期 高一数学期中考试试卷参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 B 8 C 9 D 10 C 11 A 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. -2 三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得
2 2 2

14. -19

15. 4

16.

70 14

b 2 ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 5
………………………(5 分)

? b ? 17
(Ⅱ)? cos B ?

3 4 b c ? sin B ? ,由正弦定理 ? 得 5 5 sin B sin C

17 5 ? 4 sin C 5

? sin C ?

4 17 17

………………………(10 分)

18. (本小题满分 12 分) 解:(1)由题设知公差 d≠0, 由 a1 ? 1 , a1 , a3 , a 9 成等比数列得: 解得 d=1,d=0(舍去) 故{ a n }的通项 a n =1+(n-1)×1=n. ……………………………6 分 (2)由(1)知 2
am

1 ? 2d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

=2 ,

n

由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+2 +2 +…+2 =

2(1 ? 2 n ) 1? 2 n+1 = 2 -2. ……………………………12 分
2 3 n

19. (本小题满分 12 分)

解:(1)

m ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1, n ? cos 2 A ? (? sin A) 2 ? 1,

π 1 ?c o s ? . ? m ? n = m? n 3 2

m ? n= cos2 A ? sin2 A ? cos 2 A ,
1 ? cos 2 A ? . 2 π 0 ? A ? , 0 ? 2 A ? π, 2 π π ? 2 A ? , A ? . ……………………………6 分 3 6 π (2 )( 法一) a ? 7, c ? 3 , A ? , 及 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , 6

? 7 ? b2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4.
故S ?

1 bc sin A ? 3. ……………………………12 分 2

(法二)

a ? 7, c ? 3 , A ?
?sin C ?

π a c ,及 ? , 6 sin A sin C

c sin A 3 . ? a 2 7
π 5 2 , cos C ? 1 ? sin A ? 2 2 7

a ? c,
?0 ? C ?

π 1 3 2 sin B ? sin(π ? A ? C ) ? sin( ? C ) ? cos C ? sin C ? 6 2 2 7 a sin B ?b ? ?4. sin A 1 故 S ? bc sin A ? 3. ……………………………12 分 2
20. (本小题满分 12 分) 解。(1) ∵An?1 An ? 2 An An?1 ∴A1 A2 ? 2 A2 A3 ? 2 2 A3 A4 ? 2 3 A4 A5 ? ? ? ? ? 26 A7 A8

A1 A2 ? 5 j ? j ? 4 j ∴
(2)n=1 时, OAn

A7 A8 ?

1 j 16



A7 A8 ?

1 16 …………………………4 分

? OA1 ? j ,

OAn ? OA1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? ? An?1 An n ? 2时,

1 ? j ? (4 j ? 2 j ? ? ? ? ? 4( ) n?2 j ) ? (1 ? 2

1 4(1 ? ( ) n ?1 ) 2 ) j ? (9 ? 2 4?n ) j 1 1? 2

从而,

OAn ? (0,9 ? 2 4?n ) …………………………………8 分

OBn ? OB1 ? B1 B2 ? B2 B3 ? ? ? ? Bn?1 Bn ? (3i ? 3 j) ? (n ? 1)(2i ? 2 j)

? (2n ? 1)i ? (2n ? 1) j
从而,

OBn ? (2n ? 1,2n ? 1) …………………………………12 分

21.(本小题满分 12 分) .解:(1) = = = = =

…………………………………………4 分
(2)过 D 点作 DM∥ AC,交 BE 与点 M,∵ 又∵ 点 E 是 AC 边的中点,∴ ∵ DM∥ AC,∴ ,∴ = = = , ,DM∥ AC,∴

AF ? BC ? AF ? ( AC ? AB) ? AF ? AC ? AF ? AB
1 2 1 2 2 1 ? 2 2 1 2 3 AF ? AC ? ( a ? b) ? b ? a ? b ? b ? a b cos ? b ? ? ? 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5 又
= ∴AF ? BC ? = + cos = =

3 6 3 ? ?? 5 5 5

………………………12 分

22. (本小题满分 12 分) 解:(1) a 2 ? (2)由 a n ?1 ?

1 1 , a 3 ? …………2 分 4 13

an a ?3 1 3 ? n ? 1? 得 an ? 3 an?1 an an



1 a n ?1

?

1 1 1 ? 3( ? ) 2 an 2



? 1 1? 1 1 3 3 ? ? , 所以 ? ? ? 是以 为首项,3 为公比的等比数列. a1 2 2 2 ? an 2 ?
2 1 1 3 n?1 3n ,即 a n ? n ……………………………6 分 ? ? ?3 ? 3 ?1 an 2 2 2
n 2 n ?1

所以

(3) bn ?

Tn ? 1 ?
Tn ? 2

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 0 2 2 2 2 2 1? 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n 1 2 2 2 2

两式相减得

Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 2

Tn ? 4 ?

n?2 ………………………………………………9 分 2 n ?1 2 2 n ?1 2

? ( ?1) n ? ? 4 ?

若 n 为偶数,则 ? ? 4 ?

?? ? 3 2 n ?1 2 若 n 为奇数,则 ? ? ? 4 ? n ?1 ? ?? ? 2 ? ? ? ?2 2
? ?2 ? ? ? 3 ………………………………………………12 分


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