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一轮数学教师用书课时


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课时训练 第一章 集合与常用逻辑用语

第 1 课时 集合的概念 1. 在集合{0,1,x+2}中,实数 x 的取值范围是________. 答案:x≠-2 且 x≠-1 解析:由 x+2≠0 且 x+2≠1 可得 x≠-2 且 x≠-1. 2. 已知 A={x|-3<x<5},B={x|x>a},若 A ? B,则实数 a 的取值范围是________. 答案:a≤-3 解析:A={x|-3<x<5},B={x|x>a},A ? B,则 a≤-3. 3. (文)若??{x|x2≤a,a∈R},则实数 a 的取值范围为________. 答案:[0,+∞) 解析:由条件知集合非空,则 a≥0. (理)以下六个关系式:①0∈{0};②??{0};③0.3 ? Q; ④0∈N; ⑤{a,b}?{b, a};⑥{x|x2-2=0,x∈Z}是空集.其中错误的个数是________个. 答案:1 4. 定义 A-B={x|x∈A 且 x ? B},若 A={1,2,3,4,5},B={2,3,6},则 A-(A -B)=________. 答案:{2,3} 解析:A-B={1,4,5},A-(A-B)={2,3}. 5. 某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组, 已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有________人. 答案:8 解析:由容斥原理知共有(26+15+13)-36=18 名同学同时参加两个小组,没有人参加 三个小组,于是同时参加数学和化学小组的有 18-(6+4)=8(人). 6. 设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S ? A 且 S∩B≠? 的集合 S 的个数是________. 答案:56 解析:集合 A 的所有子集共有 26=64 个,其中不含 4,5,6,7 的子集有 23=8 个,所 以集合 S 共有 56 个. 7. 已知集合 A={x|ax2+2x+1=0, a∈R, x∈R}. 若 A 中只有一个元素, 则 a=________. 答案:0 或 1 解析:当 a=0 时,此时方程有一个根;当 a≠0 时,则 Δ=4-4a=0,得 a=1. 8. 已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A ? B,则实数 a 的取值范围是(c,+ ∞),其中 c=________. 答案:4 解析:A={x|0<x≤4},B=(-∞,a),A ? B,故 c=4. 9. 已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合. 解:当 B≠?时,由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 2.当 x=1 时,a=2;当 x=2 时,a=1.B =?时,仍满足 A∪B=A,此时 a=0 符合题意,故实数 a 组成的集合为{0,1,2}. 10. 对于集合 A、B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作 A×B.例如:A={1,2},B ={3,4},则有 A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1), (4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,
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4)}. 据此,试解答下列问题: (1) 已知 C={a},D={1,2,3},求 C×D 及 D×C; (2) 已知 A×B={(1,2),(2,2)},求集合 A,B; (3) 若 A 有 3 个元素,B 有 4 个元素,试确定 A×B 有几个元素? 解:(1) C×D={(a,1),(a,2),(a,3)},D×C={(1,a),(2,a),(3,a)}.(2) A ={1,2},B={2}.(3) 12 个. 1 ? ? - <x≤2?.若 A ? B,求实数 a 的取值 11. 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B=?x? ? ? 2 ? 范围. 解:A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ① 若 a=0,则 A=R; 1? ? 4 ≤x<- ?; ② 若 a<0,则 A=?x? a? ? ?a 4? ? ? 1 ③ 若 a>0,则 A=?x?-a<x≤a?. ? ? 当 a=0 时,若 A ? B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A ? B,如图,

a<-8, ?a>-2, ? ? 则? ∴ ? 1 ∴ a<-8. 1 a≤- , ? ?-a≤2, ? 2 当 a>0 时,若 A ? B,如图,

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?-a≥-2, ? ?a≥2, 则? ∴ ? ∴ a≥2. 4 ? ?a≥2, ?a≤2,
综上,实数 a 的取值范围是 a<-8 或 a≥2. 第 2 课时 集合的基本运算 1. 已知集合 M={3,2a},N={a,b},若 M∩N={2},则 M∪N=________. 答案:{1,2,3} 解析:由题易知 a=1,b=2,M∪N={1,2,3}. 3? ? -1<x< ?,若 P∩Q≠?,则整数 m=________. 2. (文)已知集合 P={-1,m},Q=?x? 4? ? ? 答案:0 3 解析:m∈Q,即-1<m< ,而 m∈Z,∴ m=0. 4 (理)已知集合 A={x|x2-2x≤0},B={x|x≥a},A∪B=B,则实数 a 的取值范围为 ________. 答案:(-∞,0] 解析:A=[0,2],A ? B.由数轴可知 a≤0. 3. 已知全集 U={-2,-1,0,1,2},集合 A={-1,0,1},B={-2,-1,0},则 A∩?UB=________. 答案:{1} 解析:因为?UB={1,2},所以 A∩?UB={1}.
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4. 设集合 P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},则 P∩M=________. 答案:{0,1,2} 解析:P={0,1,2},M={-3,-2,-1,0,1,2,3}, P∩M={0,1,2}. 5. 设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},若 A∩B={3},则实数 a=________. 答案:1 解析:3∈B, a+2=3,a=1. 6. 满足 M ?{a1, a2, a3, a4}, 且 M∩{a1, a2, a3}={a1, a2}的集合 M 的个数是________. 答案:2 解析:集合 M 中必含有 a1,a2,则 M={a1,a2}或 M={a1,a2,a4}. 7. 已知集合 P={x|x2≤1},M={a},若 P∪M=P,则实数 a 的取值范围是________. 答案:[-1,1] 解析:P={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},P∪M=P ? a∈[-1,1]. 8. 已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A}, 则集合?U(A∪B)中元素的个数为________. 答案:2 解析:A={1,2},B={2,4},A∪B={1,2,4},∴ ?U(A∪B)={3,5}. 9. 设集合 U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数 a 的值. 解:此时只可能是 a2+2a-3=5,易得 a=2 或-4.当 a=2 时,A={2,3}符合题意.当 a=-4 时,A={9,3}不符合题意,舍去.故 a=2. 10. 已知集合 A={x|x2-2x-3≤0, x∈R}, 集合 B={x|m-2≤x≤m+2, x∈R, m∈R}. (1) 若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2) 若 A ??RB,求实数 m 的取值范围. 解:由已知得集合 A={x|-1≤x≤3}. ?m-2=0, ? (1) 因为 A∩B=[0,3],所以? 所以 m=2. ? ?m+2≥3, (2) ?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}. 因为 A ??RB, 所以 m-2>3 或 m+2<-1, 所以 m>5 或 m<-3. 6 ? ? ? -1?,集合 B={x|y=lg(-x2+2x+m)}. 11. 已知集合 A=?x?y= x+1 ? ? ? (1) 当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2) 若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值; (3) 若 A∪B ? B,求 m 的取值范围. 6 解:(1) 由 -1≥0,解得-1<x≤5,即 A={x|-1<x≤5}.当 m=3 时,由-x2+2x x+1 +3>0,解得-1<x<3,即 B={x|-1<x<3},∴ ?RB={x|x≥3 或 x≤-1},∴ A∩(?RB)= {x|3≤x≤5}. (2) ∵ A∩B={x|-1<x<4},∴ 4 是方程-x2+2x+m=0 的根,∴ m=42-2×4=8.又当 m=8 时,B={x|-2<x<4}.此时 A∩B={x|-1<x<4},符合题意,故 m=8. (3) 由-x2+2x+m>0,得 x2-2x-m<0.令 x2-2x-m=0,解得 x1=1+ 1+m,x2=1 - 1+m,则不等式的解集为{x|1- 1+m<x<1+ 1+m}.又 A∪B ? B,所以 A ? B,所 ?1- 1+m≤-1, 以? 解得 m>15. ?1+ 1+m>5, 第 3 课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1. “x>0”是“x≠0”的________条件. 答案:充分而不必要
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解析:对于“x>0”?“x≠0” ;反之不一定成立,因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条 件. 2. 已知命题 p:? n∈N,2n>1000,则綈 p 为__________. 答案:? n∈N,2n≤1000 π 3. 命题“若 α= ,则 tanα =1”的否命题是______________. 4 π 答案:若 α≠ ,则 tanα≠1 4 解析:否命题条件与结论都要否定. π 1 4. (文)“α= ”是“cos2α = ”的_____________条件. 6 2 答案:充分不必要 (理)已知命题 p:直线 a、b 相交;命题 q:直线 a、b 异面,则綈 p 是 q 的________ 条件. 答案:必要不充分 1 1 5. 已知命题 p:若实数 x,y 满足 x2+y2=0,则 x,y 全为零.命题 q:若 a>b,则 < . a b 给出下列四个复合命题:①p 且 q;②p 或 q;③非 p;④非 q.其中真命题是________.(填序 号) 答案:②④ 1 1 1 解析:命题 p 为真命题.若 a=2>b=-1,而 = > =-1,命题 q 为假命题.由真值表 a 2 b 可知, p 或 q、非 q 为真命题. 6. 已知 a、b、c、d 为实数,且 c>d.则“a>b”是“a-c>b-d”的________条件. 答案:必要而不充分 解析:显然充分性不成立.又若 a-c>b-d 和 c>d 都成立,则同向不等式相加得 a>b, 即由“a-c>b-d”?“a>b” . 7. 若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值为________. 答案:-1 解析:∵x2>1,∴x>1 或 x<-1;若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则集合 x∈(- ∞,a)是集合 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)的真子集,所以 a 的最大值为-1. π 8. 设 0<x< ,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的____________条件. 2 答案:必要不充分 π 解析:∵0<x< ,∴sinx<1,故 xsin2x<xsinx,结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同 2 可得答案. 9. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. (1) 全等三角形一定相似; (2) 末位数字是零的自然数能被 5 整除. 解:(1) 逆命题:两个三角形相似,则它们全等,为假命题;否命题:两个三角形不全 等,则它们不相似,为假命题;逆否命题:两个三角形不相似,则它们不全等,为真命题. (2) 逆命题:能被 5 整除的自然数末位数字是零,为假命题;否命题:末位数字不是零 的自然数不能被 5 整除,为假命题;逆否命题:不能被 5 整除的自然数末位数字不是零,为 真命题. 10. 已知 p:?

?4-x?2 ? ≤4,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ? 3 ?
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求实数 m 的取值范围. 解:由题意知,命题:若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件的等价命题即逆否命题为:q 是 p 的必要不充分条件. 4-x 4-x?2 p:? ≤4 ?-2≤ ≤2 ?-2≤x≤10. 3 ? 3 ? q:x2-2x+1-m2≤0 ?[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0.(*) ∵q 是 p 的必要不充分条件, 4-x?2 2 2 ∴不等式? ? 3 ? ≤4 的解集是 x -2x+1-m ≤0(m>0)的解集的真子集. 又 m>0,∴不等式*的解集为 1-m≤x≤1+m. ?1-m≤-2 ? ?m≥3, ? ∴? ?? ∴m≥9, ? ? ?1+m≥10 ?m≥9, ∴实数 m 的取值范围是[9,+∞). 11. 已知命题 P:函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减;命题 Q:曲线 y=x2+(2a -3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.如果 P 与 Q 有且只有一个为真,求 a 的取值范围. 解:当 0<a<1 时,函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减;当 a>1 时,函数 y=loga(x +1)在(0,+∞)内单调递增.曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于不同的两点等价于(2a-3)2 1 5 -4>0,即 a< 或 a> . 2 2 0<a<1, ? ? 1 ?1 ? 情形(1):P 真 Q 假.因此?1 5 ?2≤a<1,即 a∈?2,1?. ?2≤a≤2 ? a>1, ? ? 5 情形(2):P 假 Q 真.因此? 1 5? a>2, ?a<2或a>2 ? 5 ? 即 a∈? ?2,+∞?. 1 ? ?5 ? 综上,a 的取值范围是? ?2,1?∪?2,+∞?.

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第二章 函数与导数

第 1 课时 函数及其表示 1. 下列对应 f 是从集合 A 到集合 B 的函数有________个. ①A=N,B=N*,f:x→y=|x-2|; ②A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4; ③A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. 答案:2 2. 已知函数 y=f(x),集合 A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=a,y∈R},其中 a 为常 数,则集合 A∩B 的元素有________个. 答案:0 或 1 解析:设函数 y=f(x)的定义域为 D,则当 a∈D 时,A∩B 中恰有 1 个元素;当 a ? D 时,A∩B 中没有元素. C ,x<A, x 3. 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用时间(单位: min)为 f(x)= (A、 C ,x≥A A C 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 min,组装第 A 件产品用时 15 min,则 C 和 A 的值分别是________. 答案:60,16 2 ? 4. 已知 f? ?x+1?=lgx,则 f(x)的解析式为______________. 2 答案:f(x)=lg x-1 2 2 2 2 解析:设 t= +1,则 x= ,∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg . x t-1 t-1 x-1 5. 已知函数 h(x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 的反比例函数,且 1 ? h? ?3?=16,h(1)=8,则 h(x)=________. 5 答案:3x+ x b b 解析:设 f(x)=ax,g(x)= (a≠0,b≠0),即 h(x)=ax+ ,代入得 a=3,b=5. x x

? ? ?

?x2-1,x≥0, ? 1 6. 已知函数 f(x)=3x-1,g(x)=? 若 x≥ ,则 g(f(x))=________. 3 ? ?2-x,x<0.
答案:9x2-6x 1 解析:当 x≥ 时,f(x)≥0,所以 g(f(x))=(3x-1)2-1=9x2-6x. 3

?1-x? 1-x2 7. 已知 f? ,则 f(x)的解析式为______________________. ?= 2 ?1+x? 1+x
2x 答案:f(x)= 2 x +1

? ? x(x≥0), 8. 已知函数 f(x)=? 若 f(x)≤3,则 x 的取值范围是________. 2 - x - 4x ( x<0 ), ? ?
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答案:[-1,9]∪(-∞,-3] ?x<0, ?x≥0, ? 解析:f(x)≤3 等价于? 或? 解得 0≤x≤9 或-1≤x<0 或 x≤-3, 2 ?-x -4x≤3, ? x≤3 ? 即-1≤x≤9 或 x≤-3. 9. (1) 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,满足 f(0)=1,且对任意实数 a、b,有 f(a-b) =f(a)-b(2a-b+1),求 f(x)的表达式; (2) 函数 f(x)(x∈(-1,1))满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求 f(x)的表达式. 解:(1) f(x)=x2+x+1. 1 (2) f(x)= lg(1+x-x2-x3)(-1<x<1). 3 1 ,0<x≤c, 6-x 10. 工厂生产某种产品,次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为 p= (c 2 ,x>c 3 为常数,且 0<c<6).已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元,每出现 1 件次品亏损 1.5 元.试 将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数关系. 2 2 2 3 1- ?·x·3- ·x· =0; 解:当 x>c 时,p= ,y=? ? 3? 3 3 2 2 1 1 1 3 3(9x-2x ) 当 0<x≤c 时,p= ,∴y=?1-6-x?·x·3- ·x·= . 2 ? ? 6-x 6-x 2(6-x) 3(9x-2x2) ? ? ,0<x≤c, ∴日盈利额 y(万元)与日产量 x(万件)的函数关系为 y=? 2(6-x)

? ? ? ? ?

x 1 11. 是否存在正整数 a、b,使 f(x)= ,且满足 f(b)=b 及 f(-b)<- ?若存在,求出 b ax-2 a、b 的值;若不存在,说明理由. x2 b2 解:假设存在正整数 a,b 满足题意.∵f(x)= ,f(b)=b,∴ =b,即(a-1)b ax-2 ab-2 ?a=3, ? ?a=2, ? x2 =2.∵a,b∈N*,∴? 或? 当 a=3,b=1 时,f(x)= ,此时-b=-1,∴f(- 3x-2 ?b=1 ?b=2. ? ? 1 1 x2 b)=f(-1)=- >-1=- , 因此 a=3, b=1 不符合要求, 舍去; 当 a=2, b=2 时, f(x)= , 5 b 2x-2 2 1 1 此时-b=-2,∴f(-b)=f(-2)=- <- =- ,符合题意,∴存在 a=2,b=2 满足条件, 3 2 b x2 此时 f(x)= .第 2 课时 函数的定义域和值域 2x-2 1

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? ?0,x>c.

y= 1. 设集合 A=x

1,则 A=________. 1+ x 答案:{x|x≠-1 且 x≠0} 1 解析:由 x≠0,且 1+ ≠0 可得答案. x 1 2. 函数 f(x)= 的定义域是_______________. log2(x-2) 答案:(2,3)∪(3,+∞) ? ?x-2>0 解析:? ? x>2 且 x≠3,所以所求函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞). ?log2(x-2)≠0 ?
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3. 若集合 M={y|y=2 x},N={y|y= x-1},则 M∩N=_______________. 答案:{y|y>0} ? 1 x? 解析:M=?y|y=?2? ?={y|y>0},N={y|y≥0},∴M∩N={y|y>0}∩{y|y≥0}={y|y>0}. ? ?? ?


x2-1 4. 函数 y= 2 的值域是________. x +1 答案:[-1,1) x2-1 1+y 解析:由 y= 2 ,得 x2= ≥0,∴y∈[-1,1). x +1 1-y 1 5. 若函数 y= x2-2x+4 的定义域、值域都是闭区间[2,2b],则 b=________. 2 答案:2 1 1 解析:y= x2-2x+4= (x-2)2+2,显然 f(2b)=2b,结合 b>1,得 b=2. 2 2 2 2 6. 已知 x +y =4,则 x2+2y 的最小值是________. 答案:-4 解析:x2+2y=-y2+2y+4=-(y-1)2+5.又 4-y2≥0,即-2≤y≤2,∴x2+2y 的最 小值为-4.

7. 若函数 f(x)= 2x2-2ax+a-1的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是________. 答案:0≤a≤1 解析:2x2-2ax+a-1≥0,即 x2-2ax+a≥0 恒成立,∴ Δ≤0,∴ 0≤a≤1. ax+1 8. 已知 a>1,函数 f(x)= ,x∈[1,4],则 f(x)的最小值是________. x+1 1 答案: (a+1) 2 a(x+1)+(1-a) 1-a 解析:f(x)= =a+ .∵a>1,∴f(x)在[1,4]上是增函数.∴f(x) x+1 1+x 1 的最小值是 f(1)= (a+1). 2 9. (1) 求函数 f(x)= ln(x+1) -x -3x+4
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+(5x-4)0 的定义域.

4? (2) 已知函数 f(x)的定义域是[0,1],求函数 y=f(x2)+f? ?x+3?的定义域. 4? ?4 ? 解:(1) ? ?-1,5?∪?5,1?. 0≤x ≤1, -1≤x≤1, ? ? ? ? (2) 由? 得? 4 4 1 0≤x+ ≤1, ?- ≤x≤- , ? 3 3 ? ? 3 1? 1 所以-1≤x≤- ,即函数 f(x)的定义域是? ?-1,-3?. 3 10. 已知函数 f(x)= ax2+bx+c(a<0)的定义域为 D,若所有的点(s,f(t))(s,t∈D)构成 一个正方形区域,求实数 a 的值. 解:由题意:D={x|ax2+bx+c≥0}.设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2 且 x1<x2. 4ac-b2? ? ∵ a<0, ∴ D={x|x1≤x≤x2}. 又值域为?0, ∴ |x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2 ?, 4a ? ?
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= 4ac-b2 ,∴ a=-4. 4a 11. 设函数 f(x)= 1-x2+ 1+x+ 1-x.

(1) 设 t= 1+x+ 1-x,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 h(t); (2) 求函数 f(x)的最值. ?1+x≥0, ? 解: (1) ∵? ∴- 1≤x≤1,∴t2 = ( 1+x+ 1-x)2 = 2 + 2 1-x2 ∈ [2 , 4] , ?1-x≥0, ? 1 ∴t∈[ 2,2].由 1-x2= t2-1, 2 12 ∴h(t)= t +t-1,t∈[ 2,2]. 2 1 1 3 (2) 由 h(t)= t2+t-1= (t+1)2- ∈[ 2,3],∴f(x)的最大值为 3,最小值为 2. 2 2 2 第 3 课时 函数的单调性 1. 下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是________.(填序号) 1 ①y= x;②y= ;③y=2x-1;④y=|x|. x 答案:①③④ 1 2. 函数 y= 的单调减区间为___________________. x-1 答案:(-∞,1),(1,+∞) 1 1 解析:函数 y= 图象由 y= 的图象向右平移 1 个单位得到. x x-1 1 2 ? 3. 已知 f(x)=x2+x,则 f? ?a +a2?________f(2)(填“≤”或“≥”). 答案:≥ 1 1 1 2 ? 解析:∵f(x)的对称轴方程为 x=- ,∴f(x)在? ?-2,+∞?上为增函数.又 a +a2≥2, 2 1? 2 ∴f? ?a +a2?≥f(2). 4. 已知函数 y=|x-a|在区间[3,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是_____________. 答案:a≤3 解析:函数 y=|x-a|在[a,+∞)上为增函数,故[3,+∞)?[a,+∞),故 a≤3. 5. 已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的取值范围是 ________. 1 2 - , ? 答案:? ? 2 3? -1<m<3 -2<m-1<2 ? 1 3 ? 1 2 - <m< 2 2?- <m< . - 2<1 - 2m<2 解析:依题意,原不等式等价于? ? 2 3 ? 2 ?m-1<1-2m m< 3 6. 函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是_________. 3 ? 答案:? ?2,4? 3 2 25 x- ? + 的减区间为 解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4).令 u(x)=-x2+3x+4=-? ? 2? 4

? ? ? ? ?

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?3,4?.∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为?3,4?. ?2 ? ?2 ?
ax+1 7. 若函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是_________. x+2 1 ? 答案:? ?2,+∞? ax+1 1-2a 解析:f(x)= =a+ .由条件,得 1-2a<0, x+2 x+2 1 ∴a> . 2

? ?(3a-1)x+4a,x≤1, 8. 若 f(x)=? 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是________. log x , x>1 ? ? a 1 1 ? 答案:? ?7,3? 0<a<1, ? ? 1 1? 解析:由 f(x)图象可知?3a-1<0, 解得 a∈? ?7,3?. ? 1+4a≥0, ?(3a-1)· 1 ? 9. 若二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间? ?2,1?上是增函数,求 f(2)的取值范围. a-1 解:∵二次函数 f(x)= x2- (a -1)x+ 5 开口向上,对称轴方程为 x= , ∴函数在 2 ?a-1,+∞?上为增函数.要使 f(x)在?1,1?上是增函数,∴a-1≤1,∴a≤2.又 f(2)=22- ?2 ? 2 2 ? 2 ? (a-1)· 2+5=-2a+11,∴f(2)≥7.
设函数 f(x)= x2+1-ax. 当 a≥1 时,证明函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调减函数; 当 x∈[0,2]时,f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 证明:设 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,由 f(x1)-f(x2)=( x1 +1-ax1)-( x2 2+1- 2 2 x1-x2 ax2)= 2 -a(x1-x2) x1+1+ x2 2+1 x1+x2 ? -a? =(x1-x2)? 2 ?. ? x1+1+ x2 ? 2+1 x1+x2 ∵ 0≤x1<x2,∴ ∈(0,1).而 a≥1, 2 x2 1+1+ x2+1 x1+x2 ∴ -a<0. 2 x1+1+ x2 2+1 又 x1-x2<0,∴ f(x1)>f(x2), ∴ f(x)在[0,+∞)上是单调减函数. x2+1 (2) 解: 当 x=0 时, f(x)=1>0, 此时 a∈R.当 x∈(0, 2]时, 由 f(x)≥0 恒成立, 得 a≤ . x x2+1 1 5 而 = 1+ 2≥ , x x 2 5 ∴ a≤ . 2 10. (1) (2) (1)

10

课时训练部分
综上,满足条件的实数 a 的范围是 a≤ 5 . 2

x? 11. 已知函数 f(x)的定义域是(0, +∞), 且对一切 x>0, y>0 都有 f? 当 x>1 ?y?=f(x)-f(y), 时,有 f(x)>0. (1) 求 f(1)的值; (2) 判断 f(x)的单调性并证明; 1? (3) 若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f? ?x?<2. 解:(1) 令 x=y,则 f(1)=f(x)-f(x)=0. x2? x2 ?x2? (2) 设 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=f? ?x1?.∵0<x1<x2,∴x1>1,∴f?x1?>0,即 f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数. 36? 2 (3) ∵f(6)=f? ? 6 ?=f(36)-f(6),∴f(36)=2,原不等式等价于 f(x +3x)<f(36).由(2)知 x+3>0,

? ?1 3 解得 0<x< ?x>0, ?x +3x<36, ?
2

17-3 .第 4 课时 函数的奇偶性及周期性 2

1. 已知奇函数 f(x)的定义域为(-2a,a2-3),则 a=________. 答案:3 解析:(-2a)+(a2-3)=0,且-2a<0. - 2. 设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a=________. 答案:-1 - 解析:g(x)=ex+ae x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1. 3. 对于定义在 R 上的函数 f(x),给出下列三个命题: ①若 f(-2)=f(2),则 f(x)为偶函数; ②若 f(-2)≠f(2),则 f(x)不是偶函数; ③若 f(-2)=f(2),则 f(x)一定不是奇函数. 其中正确的命题有________.(填序号) 答案:② 解析:利用奇偶函数的定义进行判断. 4. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 解析:画出 f(x)图象,看图可知.
2 ? ?x +x,x≤0, 5. 已知函数 f(x)=? 为奇函数,则 a+b=________. ?ax2+bx,x>0 ?

答案:0 解析:解法 1:当 x<0 时,-x>0,∴f(x)=x2+x,f(-x)=ax2-bx,而 f(-x)=-f(x), 即-x2-x=ax2-bx, ∴a=-1,b=1,故 a+b=0. 解法 2:∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1).又 f(-1)=0,f(1) =a+b, ∴a+b=0. 6. 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为________. 答案:7 解析: 当 0≤x<2 时, f(x)=x(x+1)(x-1), 方程 f(x)=0 有两根 0, 1.由周期性, 当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两根 2,3;当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两根 4,5,而 6 也是 f(x)=0 的根,∴ y
11

课时训练部分
=f(x)图象在[0,6]上与 x 轴有 7 个交点. f(x)-f(-x) 7. 设奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(1)=0,则不等式 <0 的解 x 集是________________. 答案:(-1,0)∪(0,1) f(x)-f(-x) f(x) 解析:不等式 <0 即为 2 <0.根据条件,画出 f(x)的草图,由图知 x x x∈(-1,0)∪(0,1). - 8. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0 且 a≠1), 若 g(2)=a,则 f(2)=________. 15 答案: 4 - - 解析:由 f(x)+g(x)=ax-a x+2,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,知-f(x)+g(x)=a x- 15 - - ax+2,两式相加,得 g(x)=2.∴ f(x)=ax-a x,∴ f(2)=22-2 2= . 4 1 1 ? ? 9. 已知函数 f(x)=x? x +2?,求函数 f(x)的定义域,并判断其奇偶性. 2 - 1 ? ? 1 1 解:由 2x-1≠0,得 x≠0,∴f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).又 f(x)=x x + 2 -1 2 - x(2x+1) (-x)(2 x+1) (-x)(1+2x) x(2x+1) = , 由 f(-x)= = = =f(x), ∴f(x) -x x 2(2 -1) 2(2 -1) 2(1-2x) 2(2x-1) 是偶函数. - 10. 设函数 f(x)=ax-(k-1)a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1) 求 k 的值; (2) 若 f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式 f(x2+tx)+f(4-x)<0 对任意实数 x 恒成 立的 t 的取值范围. 解:(1) ∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数. ∴ f(0)=0,∴ 1-(k-1)=0,∴ k=2. 1 - (2) f(x)=ax-a x(a>0 且 a≠1),由于 f(1)<0,∴ a- <0.∴ 0<a<1. a ∴ f(x)在 R 上是减函数.不等式 f(x2+tx)+f(4-x)<0 等价于 f(x2+tx)<f(x-4). ∴ x2+tx>x-4,即 x2+(t-1)x+4>0 恒成立.∴ Δ=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5. 11. 设 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x)=2x-x2. (1) 求当 x<0 时,f(x)的解析式; 1 1? (2) 问是否存在这样的正数 a,b,当 x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且 g(x)的值域为? ?b, a?? 若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1) 当 x<0 时,-x>0,于是 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.因为 y=f(x)是定义 在 R 上的奇函数, 所以 f(x)=-f(-x)=-(-2x-x2)=2x+x2,即 f(x)=2x+x2(x<0). 1 (2) 假设存在,则由题意知 g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,x∈[a,b],a>0, 所以 ≤1,a a 1 2a-a2= , a 1 ≥1, 从而函数 g(x)在[a,b]上单调递减.于是 所以 a,b 是方程 2x-x2= 的两 x 1 2b-b2= , b 1± 5 不等正根, 方程变形为 x3-2x2+1=0, 即(x-1)(x2-x-1)=0, 方程的根为 x=1 或 x= . 2

? ? ?

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课时训练部分
1+ 5 因 0<a<b, 所以 a=1,b= .第 5 课时 函数的图象 2 2x+1 1. 函数 f(x)= 图象的对称中心的坐标是________. x-1 答案:(1,2) 3 解析:f(x)=2- . x-1 2. 如图,函数 f(x)的图象是曲线段 OAB,其中 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2), ? 1 ? (3,1),则 f? ?=________. ?f(3) ?

(第 2 题图)

答案:2 1 解析:f(3)=1,∴ f?f(3)?=f(1)=2.

?

?

? ?4x-5,x≤1, 3. 函数 f(x)=? 的图象和函数 g(x)=log2x 的图象的交点个数是________. ?x2-4x+3,x>1 ? 答案:2 解析:在同一直角坐标系下画出 f(x)、g(x)图象可知. 4. 函数 f(x)=|x|(x-a)(a>0)的单调递减区间是________. a 0, ? 答案:? ? 2? ?x(x-a),x≥0 ? 解析:f(x)=? 由图可知. ? ?-x(x-a),x<0
5. 任取 x1,x2∈(a,b),且 x1≠x2,若 f?

?x1+x2? 1 ?> [f(x1)+f(x2)],则称 f(x)是(a,b)上的 ? 2 ? 2

凸函数.在下列图象中,是凸函数图象的是_____________.(填序号)

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课时训练部分

(第 5 题图)

答案:④ 6. 用 min{a,b}表示 a,b 两数中的最小值.若函数 min{|x|,|x+t|}的图象关于直线 x= 1 - 对称,则 t=________. 2 答案:1 7. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(其中 a<b),且 α、β 是方程 f(x)=0 的两根(α<β),则实数 a、b、α、β 的大小关系为__________. 答案:α<a<b<β 解析:令 g(x)= (x-a)(x-b),则其图象与 x 轴交于两点 A(a,0),B(b,0),而 f(x)= (x -a)(x-b)-2=g(x)-2,其图象是由 g(x)的图象向下平移 2 个单位而得到的,画出它们的图 象,如下图所示.由图易得答案.

(第 7 题图) 8. 当 x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤logax 恒成立,则 a 的取值范围是________. 答案:1<a≤2 解析:在同一坐标系内作出函数 y=(x-1)2 和 y=logax 的图象,数形结合可得. 9. 作出下列函数的图象,并根据图象说出函数的单调区间. (1) y=|3x-1|; (2) y=x2-2|x|-3. x ? ?3 -1,x≥0, x ? 解:(1) y=|3 -1|= 的图象如下,其单调增区间是(0,+∞),单调减区 x ?1-3 ,x<0 ? 间是(-∞,0).

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课时训练部分

(第 9 题图(1))

2 ? ?x -2x-3,x≥0 (2) y=? 图象如下,其单调增区间是(-1,0)和(1,+∞),单调减区间 ?x2+2x-3,x<0 ?

是(-∞,-1)和(0,1).

(第 9 题图(2)) 10. 已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,求 k 的取值范围. 解:由题意作出 f(x)在[-1,3]上的图象如右图.记 y=k(x+1)+1,∴ y=k(x+1)+1 图象过定点(-1,1).由图知,方程有四个根,即函数 y=f(x)与 y=kx+k+1 有四个交点, 1 必须- <k<0. 3

(第 10 题图)

11. 已知定理:“若 a,b 为常数,g(x)满足 g(a+x)+g(a-x)=2b,则函数 y=g(x)的图 1 象关于点(a,b)中心对称”.已知函数 f(x)=-1+ . a-x (1) 试证明函数 f(x)的图象关于点(a,-1)中心对称; 1 ? (2) 当 x∈[a-2,a-1]时,求证:f(x)∈? ?-2,0?. 1 1 证明:(1) ∵f(a+x)+f(a-x)=?-1+a-(a+x)?+?-1+a-(a-x)?=-2,∴函数 ? ? ? ? f(x)的图象关于点(a,-1)中心对称. (2) 略.第 6 课时 二 次 函 数 1. 函数 y=2x2-8x+2 在区间[-1,3]上的值域为________. 答案:[-6,12] 解析:y=2(x-2)2-6.x=2 时,y 最小为-6;x=-1 时,y 最大为 12. 2. 设 f(x)= x2+ax+3, 不等式 f(x)≥a 对 x∈R 恒成立, 则实数 a 的取值范围为________.
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课时训练部分
答案:-6≤a≤2 解析:依题意,x2+ax+3-a≥0 对 x∈R 恒成立,故函数的图象恒在 x 轴的上方或与 x 轴最多只有一个公共点,从而 Δ=a2-4(3-a)≤0. 3. 设二次函数 f(x)= ax2+bx,若 f(x1)=f(x2),其中 x1≠x2,则 f(x1+x2)= __________. 答案:0 b 解析:由图象的对称性知,x1+x2=- . a 4. 已知函数 f(x)=ax2+(1-3a)x+a 在区间[1,+∞)上递增,则实数 a 的取值范围是 ________. 答案:[0,1] 1-3a 解析:若 a=0,满足题意;若 a≠0,则 a>0 且- ≤1. 2a

?x2+bx+c,x≤0, ? 5. 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x) ?2,x>0, ?
=x 的解的个数为________. 答案:3 解析:由 f(-4)=f(0),得 16-4b+c=c. 由 f(-2)= -2,得 4-2b+c= -2. 联立两方程解得 b=4,c=2. 2 ? ?x +4x+2,x≤0, ? 于是,f(x)= 在同一直角坐标系内,作出函数 f(x)与函数 y=x 的图 ?2,x>0. ? 象(如图),易知它们有 3 个交点.

(第 5 题图)

6. 若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数 的解析式 f(x)=________. 答案:-2x2+4 解析:f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2.∵ f(x)是偶函数,∴ ab+2a=0,∴ a=0 或 b=-2. 当 a=0 时,f(x)=bx2 不符. 当 b=-2 时,f(x)=-2x2+2a2.∵ 值域为(-∞,4],∴ 2a2=4.∴ f(x)=-2x2+4. 7. 已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在[-3,2]上有最大值 4,则实数 a=________. 3 答案: 或-3 8 解析:函数 f(x)=ax2+2ax+1=a(x+1)2+1-a,图象的对称轴为直线 x=-1.若 a>0, 3 则当 x=2 时函数取最大值 4,即 8a+1=4,∴a= ,符合;若 a<0,则当 x=-1 时函数取 8 3 得最大值 4,即 1-a=4,∴a=-3,符合.∴a= 或-3. 8 8. 设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①当 c=0 时,y=f(x)是奇函数;
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课时训练部分
②当 b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根; ③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述命题中正确的是________.(填序号) 答案:①②③ 解析:①由 c=0,得 f(x)=x|x|+bx 为奇函数;②当 b=0,c>0 时,f(x)=x|x|+c,此时 方程 f(x)=0 有唯一一个实数根- c; ③在函数 y=f(x)的图象上任取一点(x, y), 其关于点(0, c)的对称点为(-x,2c-y),可判断该点仍在 y=f(x)的图象上;④当 c=0,b<0 时,方程 f(x) =0 有三个实数根.故①②③正确,④错误. 9. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1) 若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实数根,求 f(x)的解析式; (2) 若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解:(1) ∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0,∴f(x)=a(x -1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a①. 由方程 f(x)+6a=0 得 ax2-(2+4a)x+9a=0②. 1 因为方程②有两个相等的实根,所以 Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0,解得 a=1(舍)或- , 5 1 2 6 3 代入①得 f(x)=- x - x- . 5 5 5 1+2a?2 a2+4a+1 (2) 由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a?x- - 及 a<0,可得 f(x)的最大值为 a a ? ? 2 ? a +4a+1>0, a2+4a+1 ?- a - .由? 解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0,故当 f(x)的最大值为正数 a ?a<0, ? 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0). 10. 设 a 为实数,函数 f(x)=x|x-a|,其中 x∈R. (1) 判断函数 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2) 写出函数 f(x)的单调区间. 解:(1) 当 a=0 时,f(x)=x|x|. 因为定义域为 R,它关于原点对称,且 f(-x)=-x|-x| =-f(x),所以 f(x)为奇函数.当 a≠0 时,因 f(a)=0,f(-a)=-a|2a|,所以 f(-a)≠f(a),f(- a)≠-f(a),所以 f(x)是非奇非偶函数. ?x2,x≥0, ? (2) 当 a=0 时,f(x)=? 2 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).当 a>0 时,f(x) ? ?-x ,x<0, ?x2-ax,x≥a, ? a -∞, ? 和 (a ,+ ∞) , f(x) 的单调递减区间为 =? 2 f(x) 的单调递增区间为 ? 2 ? ? ?-x +ax,x<a, ? 2 ?x -ax,x≥a, a ?a,a?.当 a<0 时,f(x)=? ? ,+∞?,f(x) f(x)的单调递增区间为(-∞,a)和? 2 2 ?2 ? ? ? ?-x +ax,x<a, ? a? 的单调递减区间为? ?a,2?. 11. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,c>0)的图象与 x 轴有两个不同的公共点,且有 f(c)=0,当 0<x<c 时,恒有 f(x)>0. 1 (1) 当 a=1,c= 时,解不等式 f(x)<0; 2 (2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 8, 求 a 的取值范 围; (3) 若 f(0)=1,且 f(x)≤m2-2km+1 对所有 x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围. 1? 1 1 解:(1) 当 a=1,c= 时,f(x)=x2+bx+ .f(x)的图象与 x 轴有两个不同交点,因 f? ?2?= 2 2
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课时训练部分
1 ? 1 1 0,设另一个根为 x2,则 x2= ,所以 x2=1,于是 f(x)<0 的解集为? ?2,1?. (2) f(x)的图象与 2 2 c 1 x 轴有两个交点,因 f(c)=0,设另一个根为 x2,则 cx2= ,故 x2= .所以三交点的坐标分别 a a 1 1 ? 为(c,0),? ?a,0?,(0,c).又当 0<x<c 时,恒有 f(x)>0,则a>c,于是,以这三交点为顶点的 1? 1 1 ? c c 1 -c c=8,故 a= 三角形的面积为 S= ? ≤ = ,于是 a∈? ?0,8?. 2?a ? 16+c2 2 16c 8 (3) 由题意,当 0<x<c 时,恒有 f(x)>0,所以 f(x)在[0,c]上是单调递减的,且在 x=0 处取到最大值 1.要使 f(x)≤m2-2km+1 对所有 x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,必须 f(x)max =1≤m2-2km+1 成立,即 m2-2km≥0.令 g(k)=-2km+m2,对所有 k∈[-1,1],g(k)≥0 2 ? ? ?g(1)≥0, ?m -2m≥0, ? ? 恒成立,只要 即 2 解得实数 m 的取值范围为 m≤-2 或 m=0 或 ?g(-1)≥0, ? ?m +2m≥0, ? m≥2.第 7 课时 指数函数、对数函数及幂函数(1)

1. 化简

3b 3 a2 · (a>0,b>0)=________. a 3b

6 答案: 3ab 1 - 2. 已知 3a=2,3b= ,则 32a b=________. 5 答案:20 32a 4 - 解析:32a b= b = =20. 3 1 5 3. 比较 log25 与 log58 的大小为________. 答案:log25>log58 解析:log25>log24=2,log58<log525=2. 1 1 3 2 1 2 ?2-?3 ?- + 4. ? ? 4? ? 8? 3 5+2- 9-4 5=________. 19 答案: 18 5. 设 lg2=a,lg3=b,则 log512 用 a,b 可表示为________. 2a+b 答案: 1-a lg12 2lg2+lg3 解析:log512= = . lg5 1-lg2 6. lg25+lg2·lg50+(lg2)2=________. 答案:2 解析:原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2(1+lg5+lg2)=2lg5+2lg2=2. 1? ? ?? 2? ,x≥2, ? 7. 已知函数 f(x)=? 则 f(log23)=________. ? ?f(x+1),x<2, 1 答案: 6 1?log 6 1 1 解析:f(log23)=f(log23+1)=? ?2? =2log26=6.
2

x

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课时训练部分
8. 设集合 A={n|n∈N,1≤n≤500},在集合 A 上定义关于 n 的函数 f(n)=logn+1(n+2), 则集合 M={k|k=f(1)f(2)?f(n)∈N }用列举法可表示为________________. 答案:{2,3,4,5,6,7,8} lg(n+2) lg(n+2) lg3 lg4 解析:k=f(1)f(2)?f(n)= · ·?· = ∈N,故 n+2=2k.由于 lg2 lg3 lg2 lg(n+1) 1≤n≤500,故 k 可取 2,3,4,5,6,7,8. 10 9. (1) 已知 a>b>1,且 logab+logba= ,求 logab-logba 的值; 3 (2) 求(log23+log89)(log34+log98+log32)的值. 解:(1) ∵ a>b>1,∴ 0<logab<1<logba.设 logab=t, 1 10 1 1 8 ∴ t+ = ,解得 t= .∴ logab-logba= -3=- . t 3 3 3 3 2 ? (2) 原式=? ?log23+3log23? 3 ? ·? ?2log32+2log32+log32? 5 ? ?9 ? 15 =? ?3log23?·?2log32?= 2 . - 10. 已知 a>1,且 a+a 1=3,求下列各式的值. 1 1 (1) a2-a- ; 2 - (2) a-a 1; 1 ?a2-a-1?(a2+a-2-4) 2? ? (3) . a4-a-4
1 1 2 - 解:(1) ?a2-a- ? =a+a 1-2=1. 2? ? 1 1 ∵a>1,∴a2-a- =1. 2 - - - - - (2) 由 a+a 1=3,得 a2+a 2+2=9,即 a2+a 2=7,∴(a-a 1)2=a2+a 2-2=5. - ∵a>1,∴a-a 1= 5. 1 ?a2-a-1?(a2+a-2-4) 2? ? (3) - a4-a 4 1 ?a2-a-1?(a2+a-2-4) 2? 1×(7-4) ? 5 = = = . - - - 35 (a-a 1)(a+a 1)(a2+a 2) 7×3× 5

x-y x 11. 已知 2lg =lgx+lgy,求 的值. 2 y x-y?2 x ?x-y?2 2 2 ?x?2 解:由已知得 lg? + y ? 2 ? =lg(xy),故? 2 ? =xy,即 x -6xy+y =0,所以?y? -6· x-y x x x x 1=0,所以 =3± 2 2.因 >0 及 x、y>0,故 x>y>0,即 >1,从而 =3+2 2,故 = y 2 y y y 1+ 2.第 8 课时 指数函数、对数函数及幂函数(2) 5-1 ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系为 2

1. 已知 a= ________. 答案:m<n

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课时训练部分
解析:∵a= 2. 函数 y= 5-1 ∈(0,1),函数 f(x)=ax 在 R 上递减.由 f(m)>f(n),得 m<n. 2

xax (0<a<1)的值域为________. |x| 答案:(-∞,-1)∪(0,1) x ? ?a ,x>0, 解析:y=? x ?-a ,x<0, ? 由 0<a<1 画图可知. + 3. 要使 g(x)=3x 1+t 的图象不经过第二象限,则实数 t 的取值范围为_________. 答案:t≤-3 + 解析:要使 g(x)=3x 1+t 的图象不经过第二象限,只要 g(0)=31+t≤0,即 t≤-3. 1?1-2x 4. 函数 y= ? ?3? -27的定义域是________. 答案:[2,+∞) 1?1-2x 2x-1 解析:由? ?3? -27≥0,得 3 ≥27,即 2x-1≥3. - 5. 已知函数 f(x)=2x-2 x,有下列结论: ①f(x)的图象关于原点对称; ②f(x)在 R 上是增函数; ③f(0)=0; ④f(|x|)的最小值为 0. 其中正确的是__________.(填序号) 答案:①②③④ - 解析:f(x)为 R 上的奇函数,故①③正确.又 2x 与-2 x 均为增函数,故②④正确. x x+1 6. 若不等式 4 -2 -a≥0 在[1,2]上恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案:(-∞,0] + + + 解析: 由 4x-2x 1-a≥0, 得 a≤4x-2x 1 在[1, 2]上恒成立. ∵4x-2x 1=(2x-1)2-1∈[0, 8],∴ a≤0. 7. 若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 围是________. 答案:(0,1]
-x

在区间[1,2]上都是减函数,则实数 a 的取值范

解析:f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1

-x

? ?a≤1, 在区间[1,2]上都是减函数,即? 故 ?a+1>1, ?

0<a≤1. 8. 设函数 f(x)=|3x-1|的定义域为[a,b],值域为[2a,2b](b>a),则 a+b=________. 答案:1 解析:经分析,a>0 或 b<0 均不符合,结合图象,知 a=0,b=1,∴a+b=1. 9. 求下列函数的值域. (1) y=2-x2+2x+2; 1?x ?1?x (2) y=? ?4? -?2? +1,x∈[-3,2] . 解:(1) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, ∴0<y≤8,即值域是(0,8]. 1?x ?1 ? (2) 设? ?2? =t,因 x∈[-3,2],故 t∈?4,8?. 1 2 3 t- ? + , 因 y=t2-t+1=? ? 2? 4

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课时训练部分
1 3 故当 t= 时,ymin= ;当 t=8 时,ymax=57, 2 4 3 ? 故函数的值域为? ?4,57?. 2x a 10. 已知函数 f(x)=- x ,g(x)= +f(x),当 x∈[1,2]时,g(x)≥0 恒成立,求实数 a 2 2 +1 的取值范围. a 2x a 2x 2x 1 解:g(x)≥0 即 - x ≥0,∴ ≥ x .设 t(x)= x ,x∈[1,2].由 t(x)=1- x 2 2 +1 2 2 +1 2 +1 2 +1 2 4? 4 a 4 8 ∈? ?3,5?,∴ t(x)最大值为5.从而2≥5,∴ a≥5. 11. 已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1) 若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2) 若 ab<0,求满足 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解:(1) 当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1- 3x2). ∵ 2x1<2x2,a>0 ? a(2x1-2x2)<0,3x1<3x2,b>0 ? b(3x1-3x2)<0,∴ f(x1)-f(x2)<0, ∴ 函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2) f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0. x 3? a ?- a ?; 当 a<0,b>0 时,? > - ,则 x>log 1.5 ?2? ? 2b? 2b x 3 a ? ? a? 当 a>0,b<0 时,? ?2? <-2b,则 x<log1.5?-2b?.第 9 课时 指数函数、对数函数及幂函数 (3) 1. 函数 f(x)=log2(1-x2)的定义域为______________. 答案:(-1,1) 2. 函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过的一个定点是________. 答案:(2,2) 1? 3. 已知幂函数 y=f(x)的图象过点? ?2,4?, 则函数 y=f(x)是________(填“奇”或“偶”) 函数. 答案:偶 1? -2 a 1 解析:设 f(x)=xa,∵ f(x)的图象经过点? ?2,4?,即 2 =4,∴a=-2,∴f(x)=x 是偶 函数. 4. 函数 y=log1(x2-6x+17)的值域是__________.
2

答案:(-∞,-3] 解析:令 t=x2-6x+17∈[8,+∞). 5. 已知 0<a<1,0<b<1,若 alogb(x-2)<1,则 x 的取值范围是__________. 答案:2<x<3 解析:由 alogb(x-2)<1,0<a<1,知 logb(x-2)>0.又 0<b<1,∴ 0<x-2<1. 6. 如图,三个对数函数的图象,若 ax1 = bx2 = cx3 > 1 ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系是 ______________.

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课时训练部分

(第 6 题图)

答案:x1>x2>x3 解析:由对数函数图象可知 a>1,1>c>b>0.又 ax1=bx2=cx3>1,∴x1>0,x3<x2< 0.∴x1>x2>x3. 7. 已知函数 f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 答案:(-4,4] a 解析:由题意,知 ≤2 且 22-2a+3a>0. 2

? ?|lgx|,0<x≤10, 8. 已知函数 f(x)=? 1 若 a、b、c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc - x+6,x>10, ? ? 2
的取值范围是________. 答案:(10,12) 解析:不妨设 a<b<c,则由 f(a)=f(b)? ab=1,再根据图象易得 10<c<12. 9. 已知函数 f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)是偶函数,且 f(3)<f(5),求 m 的值,并确定 f(x) 的函数解析式. 3? 2 ?3?0 解:由 f(3)<f(5),得 3-2m2+m+3<5-2m2+m+3,∴? ?5?-2m +m+3<1=?5? .∵y= ?3?x 是减函数,∴-2m2+m+3>0.解得-1<m<3.又 m∈Z,∴m=0 或 1.当 m=0 时,f(x)=x ?5? 2 -2m2+m+3=x3 为奇函数, ∴ m=0 舍去. 当 m=1 时, f(x)=x-2m2+m+3=x2 为偶函数, 2 ∴ m=1,此时 f(x)=x . x 1 1 log3 ?(log33x),x∈? , ?,求函数 f(x)的最大值和最小值. 10. 已知函数 f(x)=? ? 27? ?27 9? 1 1? 2 解: f(x)=(log3x-3)(log3x+1)=(log3x) -2log3x-3.令 log3x=t, ∵x∈? ?27,9?,∴t∈[- 3,-2],∴g(t)=t2-2t-3=(t-1)2-4 在 t∈[-3,-2]上是减函数,∴fmax(x)=g(-3)=12, fmin(x)=g(-2)=5. 11. 已知函数 f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1) 求 f(x)的定义域; (2) 在函数 y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于 x 轴? (3) 当 a,b 满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值? a? x a 解:(1) 由 ax-bx>0,得? ?b? >1.∵a>1>b>0,∴b>1,∴x>0,即 f(x)的定义域是(0,+∞). (2) 设 t=ax-bx,则 y=lgt.∵ t(x)在(0,+∞)上是增函数,y=lgt 是增函数,∴ f(x)在 (0,+∞)上也是增函数.假设存在不同两点 A(x1,y1),B(x2,y2),使 AB∥x 轴,则 x1≠x2, y1=y2,这与 f(x)是增函数矛盾,∴ 不存在. (3) 由(2)知,f(x)>f(1),若要 f(x)在(1,+∞)上恒取正值,只需 f(1)≥0,即 lg(a-b)≥0, ∴ a-b≥1.第 10 课时 函数与方程

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课时训练部分

1. 如果函数 y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是________. 答案:(-∞,-2)∪(6,+∞) 解析:方程 x2+mx+(m+3)=0 有两个不同的根?Δ=m2-4(m+3)>0,∴m>6 或 m< -2. 2. 用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]上的近似解,取区间中点 x0=2.5,那么 下一个有解区间为________. 答案:[2,2.5] 解析:令 f(x)=x3-2x-5,则 f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,可知下一个有解区间为[2,2.5]. 1?x 2 3. 函数 y=? ?3? +x -2 的零点个数是________. 答案:2 1?x 2 解析:同一坐标系内作出函数 f(x)=? ?3? 与 g(x)=2-x 的图象,两图象有两个交点. 3 4. 关于 x 的方程 x2-(2m-8)x+m2-16=0 的两个实数根 x1、x2 满足 x1< <x2,则实 2 数 m 的取值范围是________. 1 7? 答案:? ?-2,2? 3? 解析:令 f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,则 f? ?2?<0. 5. 若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则实数 a 的取值范围为________. 答案:(1,+∞) 解析:令 f(x)=2ax2-x-1,由 f(0)f(1)<0,得 a>1. 6. 若 x0 是方程 ax=logax(0<a<1)的解, 则 x0, 1, a 这三个数的大小关系是_____________. 答案:a<x0<1 解析:在同一坐标系中画出函数 y=ax 与 y=logax 的图象,由图象知 x0<1.又 logax0<1= logaa,∴x0>a. 7. 函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内零点的个数为________. 答案:1 解析: 令 f(x)= x-cosx=0, 则 x=cosx.设 y= x和 y=cosx, 在同一坐标下作出图象, 显然只有一个交点. 8. 已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0 且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n, n+1),n∈N*,则 n=________. 答案:2 解析:由 f(x)=logax+x-b 在(0,+∞)上是增函数,且 f(2)=loga2+2-b<logaa+2-b =3-b<0,f(3)=loga3+3-b>logaa+3-b=4-b>0.∴ x0∈(2,3),即 n=2. + 9. 已知关于 x 的方程 32x-m· (3x 1-1)+2m· 3x+m-1=0 有两个不同的正实根, 求m的 取值范围. 解:设 3x=t(t>0),原方程化为 t2-mt+2m-1=0 ①,原问题等价于方程①有两个不同 m >1, 2 的根,且两根均大于 1,∴ 1-m+2m-1>0,

? ? ? ?Δ=m -4(2m-1)>0, ?
2

解得 m>4+2 3. 1 10. 已知函数 f(x)= lg(kx),g(x)=lg(x+1). 2 (1) 求 f(x)-g(x)的定义域;
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课时训练部分
(2) 若方程 f(x)=g(x)有且仅有一个实数根,求实数 k 的取值范围. ? ?kx>0, 解:(1) 由? 若 k>0,则定义域为(0,+∞);若 k<0,则定义域为(-1,0). ?x+1>0, ? (2) 由 f(x)=g(x),得 kx=x+1,此方程在定义域内有且仅有一个解,考查 y= kx与 y =x+1 的图象, 当 k>0 时, 解得 k=4; 当 k<0 时, 恒成立, 从而 k 的取值范围是 k=4 或 k<0. 11. 已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1) 若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2) 是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时, f(x)的值域为区间 D,且 D 的长度为 12- t. 解: (1) ∵函数 f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1, 1]上是减函数. ∵ ?f(1)≤0, ?1-16+q+3≤0, ? ? 函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有? 即? ? ?f(-1)≥0, ? ?1+16+q+3≥0, ∴-20≤q≤12. (2) 0≤t<10, f(x)在区间[0, 8]上是减函数, 在区间[8, 10]上是增函数且对称轴是 x=8. ① 当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,∴f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0, 15+ 17 15- 17 15± 17 解得 t= ,但 t= >6,舍去,故 t= .②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上, 2 2 2 f(10)最大,f(8)最小,∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8.③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10) 最大,f(t)最小,∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0,解得 t=8 或 9,∴t=9.综上,存 15- 17 在常数 t= 或 t=8 或 t=9 满足条件.第 11 课时 导数的概念与运算 2 Δy Δx

1. 在曲线 y= x2 + 1 的图象上取一点 (1 , 2) ,及附近一点 (1 + Δ x , 2 + Δ y) ,则



________. 答案:2+Δx Δy (1+Δx)2+1-(12+1) 解析: = =2+Δx. Δx Δx 2. 某汽车启动阶段的路程函数为 s(t)=2t3-5t2(s 的单位为 m, t 的单位为 s), 则 t=2s 时, 汽车的瞬时速度为________. 答案:4m/s 解析:注意带单位.利用导数可求. 3. 若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集是________. 答案:(2,+∞) 4 解析:x>0,f′(x)=2x-2- >0,解得 x>2. x 4. 曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为________. 1 答案: e2 2 解析:y′=ex,则切线斜率为 e2.∴ 切线方程为 y-e2=e2(x-2),即 y=e2x-e2.易得与坐 1 标轴围成的三角形面积 S= e2. 2

?π? sinx 1 5. 已知 f(x)= - ,则 f′? ?=________. 2 ?4? sinx+cosx 1 答案: 2 1 解析:f′(x)= , (sinx+cosx)2
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π 1 ∴ f′? ?= . ?4? 2 6. 已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(-1)=________. 答案:-6 解析:f′(x)=2x+2f′(1),f′(1)=2+2f′(1),∴f′(1)=-2,∴f′(x)=2x-4, f′(-1)=-6.

7. 若直线 y=kx-3 与曲线 y=2lnx 相切,则实数 k=_______________. 答案:2 e 2 解析:对 y=2lnx 求导,得 y′= , x 2lnx = kx - 3 , k = 2 e , ? ? ? ? ∴? 2 ?? 1 即实数 k=2 e. k= x = e - , ? ? ? x 2 ? 4 8. 已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 e +1 ________. 答案:? 3π ? ? 4 ,π? -4ex -4 3π ? 解析:y′= x = ∈[-1,0),即 tanα∈[-1,0),∴α∈? ? 4 ,π?. (e +1)2 x 1 e + x+2 e 3 9. 设 y=2x -x-1. Δy (1) 当 x=1,Δ x=0.1 时,求 ; Δx (2) 用定义求函数在 x=1 处的导数. Δy Δy 解:(1) =6x2+6xΔx+2(Δx)2-1,当 x=1,Δx=0.1 时, =6+6×1×0.1+ Δx Δx 2×(0.1)2-1=5.62. Δy Δy (2) =6x2+6xΔx+2(Δx)2-1,当 x=1,Δx→0, →5,即 x=1 处的导数为 5. Δx Δx 10. 求下列函数的导数. (1) y=(x+1)(x+2)(x+3); x-x3+x2lnx (2) y= x2 解:(1) y′=3x2+12x+11. 3 (2) y=x- -x+lnx, 2 3 5 1 ∴ y′=- x- -1+ . 2 2 x - 11. 设曲线 y=(ax-1)ex 在点 A(x0,y1)处的切线为 l1,曲线 y=(1-x)e x 在点 B(x0,y2) 3? 处的切线为 l2.若存在 x0∈? ?0,2?,使得 l1⊥l2,求实数 a 的取值范围. 1-x 解: 由 y = (ax - 1)ex , 得 y′ = aex + (ax - 1)ex = (ax + a - 1)ex. 由 y = x , 得 y′ = e x x -e -(1-x)e x-2 x0-2 = x .由题意(ax0+a-1)· ex0· =-1,即(ax0+a-1)(x0-2)=-1 在 e ex0 (ex)2
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?0,3?上有解.方程可化为 ax0+a-1=- 1 .设 f(x0)=ax0+a-1,g(x0)=- 1 ,作图 ? 2? x0-2 x0-2
3 可知 1≤a≤ . 2 x0-3 x0-3 3 0, ?上的值域即可.第 另法:方程可化为 a= 2 .求函数 t(x0)= 2 在 x0∈? 2? ? x0-x0-2 x0-x0-2 12 课时 导数在研究函数中的应用 1. 函数 y=3x2-6lnx 的单调减区间是__________. 答案:(0,1) 2. 函数 y=x+2sinx 在区间(0,2π )上的极大值是________. 2π 答案: 3+ 3 2π 4π 解析:y′=1+2cosx.然后判断 为极大值点, 为极小值点. 3 3 3. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则高为________cm. 20 3 答案: 3 1 解析: 设圆锥的高为 x, 则底面半径为 202-x2, 其体积为 V= πx(202-x2)(0<x<20), 3 1 20 3 20 3 20 3 V′= π(400-3x2).令 V′=0,解得 x1= ,x2=- (舍).当 0<x< 时,V′>0; 3 3 3 3 20 3 20 3 当 <x<20 时,V′<0.∴当 x= 时,V 取最大值. 3 3 3 2 4. 已知函数 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围 是________. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0. 1 5. 设函数 f(x)= x4-2x3+3m,x∈R.若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 2 ________. 3 答案:m≥ 2 解析:f′(x)=2x3-6x2=2x2(x-3),所以 f(x)在 x=3 处取最小值.要使 f(x)+9≥0 恒成 3 立,只需 f(3)+9≥0,解得 m≥ . 2 lna+lnx 6. 已知函数 f(x)= 在[1,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是________. x 答案:[e,+∞) 1-(lna+lnx) 解析:f′(x)= .题意即为 f′(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 lna≥1-lnx 在 x2 [1,+∞)上恒成立.设 φ(x)=1-lnx, ∴ φ(x)max=1.∴ lna≥1,∴ a≥e.

7. 已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则实数 a 的取值范围是________. 答案:a≤2ln2-2 解析:f′(x)=ex-2.令 f′(x)=0,则 x=ln2.所以函数在 x=ln2 处取得最小值.当 f(ln2)≤0 时,f(x)有零点,所以 a≤2ln2-2.
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8. 若对任意的 x∈D,均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x) 在区间 D 上的“折中函数”.已知函数 f(x)=(k-1)x-1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且 f(x) 是 g(x)到 h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”,则实数 k 的取值范围为________. 答案:k=2 ? ?(k-1)x-1≥0, 解析:题中条件等价于? 对? x∈[1,2e]恒成立,∴k≥2 ?(k-1)x-1≤(x+1)lnx, ? x-lnx 1 (x+1) 1 1 ? +1 lnx,y′= 2 >0,在 x ①,且 k-1≤ + lnx 在[1,2e]上恒成立,令 y= +? x ? x x x ? x ∈[1,2e]上恒成立,即 y 在[1,2e]上递增,∴ymin=1,∴k-1≤1,∴k≤2 ②,由①②知 k =2. 9. 已知函数 f(x)=x3-3ax2-bx,其中 a、b 为实数. (1) 若 f(x)在 x=1 处取得的极值为 2,求 a、b 的值; (2) 若 f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且 b=9a,求 a 的取值范围. ? ?3-6a-b=0, 解:(1) 由题意知:f′(1)=0 且 f(1)=2,即? ? ?1-3a-b=2, 4 解得 a= ,b=-5. 3 (2) ∵f′(x)=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a,又 f(x)在[-1,2]上为减函数,∴f′(x)≤0 对 x ∈[-1,2]恒成立,即 3x2-6ax-9a≤0 对 x∈[-1,2]恒成立.∴f′(-1)≤0 且 f′(2)≤0,即 ?a≥1, ? ?3+6a-9a≤0, ? ? ?? 4 ? a≥1,∴a 的取值范围是 a≥1. ?12-12a-9a≤0 ?a≥ ? ? 7 10. 工厂生产某种零件,每天需要固定成本 100 元,每生产 1 件,还需再投入资金 2 元, 若每天生产的零件能全部售出,每件的销售收入 P(x)(元)与当天生产的件数 x(件)之间的关系 1 83- x2,0<x≤10, 3 为 P(x)= 设当天利润为 y 元. 520 1331 - 3 ,x>10, x x (1) 写出 y 关于 x 的函数关系式; (2) 要使当天利润最大,当天应生产多少件零件?(注:利润等于销售收入减去总成本) 1 2? 1 3 解:(1) 当 0<x≤10 时,y=x? ?83-3x ?-100-2x=-3x +81x-100;当 x>10 时,y= 1 - x3+81x-100,0<x≤10,x∈N*, 3 520 1331? 1331 x? ? x - x3 ?-2x-100=-2x- x2 +420.∴ y= 1331 -2x- 2 +420,x>10,x∈N*. x 13 - t +81t-100,0<t≤10, 3 (2) 设 y=h(t)= 1 331 -2t- 2 +420,t>10. t ①当 0<t≤10 时,y′=81-t2.令 y′=0,得 t=9.当 0<t<9 时,y′>0;当 9<t<10 时,y′<0. -2×1331 当 t=9 时,ymax=386;②当 t>10 时,y′=- -2.令 y′=0,得 t=11.当 10<t<11 时, t3 y′>0;当 t>11 时,y′<0.当 t=11 时,ymax=387.∵x∈N*,∴综合①②知,当 x=11 时,y 取 得最大值. 故要使当天利润最大,当天应生产 11 件零件. 1 11. (文)已知函数 f(x)= ax2-2x+2+lnx,a∈R. 2 (1) 当 a=0 时,求 f(x)的单调增区间; (2) 若 f(x)在(1,+∞)上只有一个极值点,求实数 a 的取值范围.

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1-2x 1 1 解:(1) 当 a=0 时,f(x)=-2x+2+lnx.令 f′(x)= -2= >0,解得 0<x< , x x 2 1 1 ? ? ? 所以 f(x)的单调增区间为? ?0,2?或?0,2?. 2 1 ax -2x+1 (2) 令 f′(x)=ax-2+ = =0,f(x)在(1,+∞)上只有一个极值点? f′(x)=0 x x 在(1,+∞)上只有一个根且不是重根.令 g(x)=ax2-2x+1,x∈(1,+∞).①当 a=0 时, g(x)=-2x+1,不符合在(1,+∞)上有一个根的条件,舍去;②当 a>0 时,g(x)=ax2-2x +1,在(1,+∞)上只有一个根且不是重根? g(1)<0 ? 0<a<1;③ 当 a<0 时,g(x)=ax2 -2x+1,在(1,+∞)上只有一个根且不是重根? g(1)>0 ? a>1,矛盾.综上所述,实数 a 的取值范围是 0<a<1.(注:②③可以合并为 ag(1)<0 ? 0<a<1) (理)已知函数 f(x)=x-ln(x+a)的最小值为 0,其中 a>0. (1) 求实数 a 的值; (2) 若对任意 x∈[0,+∞),有 f(x)≤kx2 成立,求实数 k 的最小值. x+a-1 1 解:(1) f(x)的定义域为(-a,+∞).f′(x)=1- = .由 f′(x)=0,得 x=1-a> x+a x+ a -a. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)变化情况如下表. x (-a,1-a) 1-a (1-a,+∞) f′(x) 0 - + f(x) ? 极小值 ? 因此,f(x)在 x=1-a 处取得最小值,由题意得 f(1-a)=1-a=0,∴ a=1. (2) 当 k≤0 时,取 x=1,有 f(1)=1-ln2>0,故 k≤0 不合题意. x 当 k>0 时,令 g(x) = f(x) - kx2 ,即 g(x) = x - ln(x + 1) - kx2.g ′ (x) = - 2kx = x+1 -x[2kx-(1-2k)] 1-2k .令 g′(x)=0,得 x1=0,x2= >-1. 2k x+1 1-2k 1 ① 当 k≥ 时, ≤0,g′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,因此 g(x)在[0,+∞)上单调递 2 2k 1 减,∴ g(x)≤g(0)=0,即 f(x)≤kx2 在[0,+∞)上恒成立,故 k≥ 符合题意; 2 1-2k 1-2k? 1-2k? 1 ② 当 0<k< 时, >0,对于 x∈?0, ,g′(x)>0,故 g(x)在?0, 内单调递 2 2k 2k ? 2k ? ? ? 1-2k? 1 增.因此取 x0∈?0, 时,g(x0)>g(0)=0,即 f(x0)≤kx2 0不成立,故 0<k< 不合题意. 2 2k ? ? 1 综上,kmin= .第 13 课时 函数模型及其应用 2 1. 某商人将彩电先按原价提高 40%,然后“八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚 144 元,那么每台彩电原价是________元. 答案:1200 解析:1.4×0.8x-x=144,x=1200. 2. 今年年初小王到银行存入现金 m 万元,计划存储 5 年后取出留给儿子上大学用.如 果银行年利率为 a,且以复利方式计息,则到期后得到的利息为________. 答案:m(1+a)5-m 万元 3. 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 vm/s 和燃料的质量 Mkg、火箭(除燃料 外)的质量 mkg 的函数关系是 v=2000· ln(1+M/m). 当燃料质量是火箭质量的________倍时, 火箭的最大速度可达 12km/s. 答案:e6-1

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M? M 6 解析:由题意得 2000ln? ?1+ m ?≤12000,∴ m ≤e -1. 4. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利 润为________万元. 答案:45.6 3.06 解析:L=5.06x-0.15x2+2(15-x)= -0.15x2+3.06x+30,对称轴方程为 x= ,故 0.3 取 x=10. 5. 某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表 ,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关 系用取整函数 y=[x]( [x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为__________. x+3? 答案:y=? ? 10 ? 6. 如图,A,B,C,D 是某煤矿的四个采煤点,l 是公路,图中所标线段为道路,ABQP, BCRQ , CDSR 均近似于正方形.已知 A , B , C , D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从 P,Q,R,S 四个 点中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选 在________点.

(第 6 题图)

答案:Q 解析:设线段 AP=1,B 处的采煤量为 1,比例系数为 1,运煤的费用为 y.① 当中转站 设在 P 点时,y=1· 5+2· 1+3· 2+4· 3=25(单位);② 当中转站设在 Q 点时,y=2· 5+1· 1+2· 2 +3· 3=24(单位);③ 当中转站设在 R 点时, y=3· 5+2· 1+1· 2+2· 3=25(单位);④ 当中转 站设在 S 点时, y=4·5+3· 1+2· 2+1· 3=30(单位). 7. 为了稳定市场,确保农民增收,某农产品每月的市场收购价格 a 与其在该月之前三个 月的市场收购价格有关,且使 a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列 出的是该产品前 6 个月的市场收购价格: 1 2 3 4 5 6 7 月份 98 108 97 101 102 100 价格(元/担) 则 7 月份该产品的市场收购价格应为 ________元. 答案:101 解析:设连续三个月的价格分别为 m,n,p,则依题设必有 a 为 m,n,p 的平均.事实 m+n+p?2 上,s=(m-a)2+(n-a)2+(p-a)2=3a2-2(m+n+p)a+(m2+n2+p2)=3?a- 3 ? ? +?, m+n+p 当 a= 时,s 最小. 3 8. 将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块, 其中一块是梯形, (梯形的周长)2 记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 32 3 答案: 3
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2 (3-x)2 4 (3-x) 解析: 设剪成的小正三角形的边长为 x, 则 S= = · 2 1-x 1 3 3 ·(x+1)· · (1-x) 2 2 (0<x<1). (3-x)2 4 解 法 1 : 利 用 导 数 求 函 数 最 小 值 . S(x) = · , S′(x) = 1-x2 3 (1-x2)-(3-x)2·(-2x) 4 -2(3x-1)(x-3) 4 (2x-6)· · = · ,令 S′(x)= (1-x2)2 (1-x2)2 3 3 1? 1 ?1 ? 0,又 0<x<1,得 x= ,当 x∈? ?0,3?时,S′(x)<0,S(x)递减;当 x∈?3,1?时,S′(x)>0,S(x) 3 1 32 3 递增;故当 x= 时,S 取最小值是 . 3 3 1 1 1? 4 t2 , , 解法 2: 利用函数的方法求最小值. 令 3-x=t, t∈(2, 3),∈? 则 S = · 2 t ?3 2? 3 -t +6t-8 4 1 1 3 1 32 3 = · ,故当 = ,即 x= 时,S 取最小值是 . 8 6 t 8 3 3 3 - 2+ -1 t t 9. 某分公司经销某种产品,每件产品的成本为 6 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (2≤a≤6)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(13≤x≤14)时,一年的销售量为 16-x 万 件. (1) 求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 元的函数关系式; (2) 当每件产品的售价为多少元时, 分公司一年的利润 L 最大, 并求出 L 的最大值 Q(a). 解:(1) 分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 元的函数关系为 L= (x-a-6)(16-x)=- x2+(a+22)x-16a-96,x∈[13,14]. a+22 a+22??2 ?a+22?2 (2) L=-?x-? ? ? 2 ?? +? 2 ? -16a-96,x∈[13,14].因 2≤a≤6,故 12≤ 2 ≤ a+22 a+22??2 a2 14.当 12≤ <13,即 2≤a<4 时,x=13 时有最大值 Q(a)=-?13- ? 2 ? ? 2 ?? + 4 -5a a+22 a+22 a2 +25=-3a+21;当 13≤ ≤14,即 4≤a≤6 时,x= 时有最大值 Q(a)= -5a+ 2 2 4 - 3a + 21 , 2 ≤ a<4 , ? ? 25.所以,Q(a)=?a2 ? ? 4 -5a+25,4≤a≤6. 10. 诺贝尔奖发放方式:每年一次,把奖金总金额平均分成 6 份,奖励在 6 项(物理、化 学、文学、经济学、生理学和医学、和平)领域为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金 的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数 逐年递增.假设基金平均年利率为 r=6.24%.资料显示:2002 年诺贝尔奖发奖后基金总额约 为 19800 万美元.设 f(x)表示为第 x(x∈N*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002 年记为 f(1)). (1) 用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2) 试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻 “2012 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美 元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.062410≈1.83,1.031210≈1.36) 1 解:(1) 由题意知:f(2)=f(1)· (1+6.24%)- ·f(1)· 6.24%=f(1)· (1+3.12%),f(3)=f(2)· (1 2 1 - +6.24%)- ·f(2)· 6.24%=f(1)· (1+3.12%)2, ∴一般地:f(x)=19800·(1+3.12%)x 1(x∈N*). 2 (2) 2011 年诺贝尔奖发奖后基金总额为 f(10)=19800·(1+3.12%)9≈26100,2012 年度诺 1 1 贝尔奖各项奖金额为 × ×f(10)×6.24%≈136 万美元,与 150 万美元相比少了约 14 万美 6 2 元.所以新闻 “2012 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元”是假新闻. 11. 经销商用一辆 J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距 400km 的水果批发市

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场. 据测算, J 型卡车满载行驶时, 每 100km 所消耗的燃油量 u(单位: L)与速度 v(单位: km/h) 100 +23,0<v≤50, v 的关系近似地满足 u= 除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均 v2 +20,v>50. 500 每小时 300 元.已知燃油价格为每升(L)7.5 元. (1) 设运送这车水果的费用为 y(元)(不计返程费用),将 y 表示成速度 v 的函数关系式; (2) 卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少? 解:(1) 由题意,当 0<v≤50 时, 400 400 400 123000 ?100+23?+300· y=7.5· u+300· =30· = +690; v ? ? 100 v v v 当 v>50 时, 2 400 400 400 3v2 120000 ? v +20?+300· y=7.5· u+300· =30· = + +600, ?500 ? 100 v v 50 v 123000 +690,0<v≤50, v 所以 y= 3v2 120000 + +600,v>50. 50 v 123000 (2) 当 0<v≤50 时,y= +690 是单调减函数, v 123000 故 v=50 时,y 取得最小值 ymin= +690=3150; 50 2 3v 120000 当 v>50 时,y= + +600(v>50), 50 v 3 6 3v 120000 3(v -10 ) 由 y′= - = =0,得 v=100, 2 2 25 v 25v 3v2 120000 当 50<v<100 时,y′<0,函数 y= + +600 单调递减. 50 v 3×1002 120000 所以当 v=100 时,y 取得最小值 ymin= + +600=2400. 50 100 由于 3150>2400,所以当 v=100 时,y 取得最小值. 故当卡车以 100km/h 的速度行驶时,运送这车水果的费用最少.

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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形

第 1 课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1. 角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sinα =________. 2 5 答案: 5 y 2 2 5 解析:sinα= = = . r 5 5 3 2. 已知点 P(3,y)在角 α 的终边上,且满足 y<0,cosα = ,则 tanα =________. 5 4 答案:- 3 3 3 4 解析:∵cosα= 2=5,且 y<0,∴y=-4,∴tanα=-3. 9+y 3. 已知点 P?sin 7π 答案: 4 3π 3π 解析:由 sin >0,cos <0 知角 θ 在第四象限.∵tanθ= 4 4 3π cos 4 =-1,θ∈[0,2π), 3π sin 4

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3π 3π? ,cos ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π ),则 θ=________. 4 4?

7π ∴θ= . 4 4. 已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm2,则扇形的中心角的弧度数是________. 答案:1 或 4 2r+l=6, ? ? ? ?r=1, ? ?r=2, l 4 解析:设此扇形的半径为 r,弧长是 l,则?1 解得? 或? 从而 α= = r 1 ?l=4 ?l=2, ? ? ? ?2rl=2, l 2 =4 或 α= = =1. r 2 4 5. 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin30°),且 cosα =- ,则 m=________. 5 1 答案: 2 -8m 4 4m2 1 解析: 因为 r= 64 m2+9, 所以 cosα= =- , 所以 m>0, 所以 = , 2 2 5 25 64m + 9 64 m +9 1 1 即 m=± .又 m>0,故 m= . 2 2 37 37 sin4 6. 有下列各式:①sin1125°;②tan π ·sin π ;③ ;④sin|-1|.其中为负值的个 12 12 tan4 数是________. 答案:2 解析: 对于①, 因为 1125°=1080°+45°, 所以 1125°是第一象限角, 所以 sin1125°>0; 37 13 37 37 37 37 对于②,因为 π=2π+ π,则 π是第三象限角,所以 tan π>0,sin π<0,故 tan 12 12 12 12 12 12 37 sin4 π·sin π<0;对于③,因 4 弧度的角在第三象限,则 sin4<0,tan4>0,故 <0;对于④, 12 tan4
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π π 因 <1< ,则 sin|-1|>0.综上,②③为负数. 4 2 3 ,则 a=________. 4

7. 若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα ·cosα = 4 3 答案:-4 3或- 3

3 >0,∴sinα、cosα同号,∴角 α 在第三象限,即 P(-4,a) 4 -4 a 3 4 3 在第三象限,∴a<0.根据三角函数的定义 2· 2= 4 ,解得 a=-4 3或- 3 . 16+a 16+a θ θ θ 8. 如果 θ 是第二象限角,且 cos -sin = 1-sinθ,那么 所在象限为第________象限. 2 2 2 答案:三 3π θ θ θ θ θ θ θ 解析:∵cos -sin = 1-sinθ=?cos -sin ?,∴cos ≥sin ,∴2kπ- ≤ ≤2k 2 2 2 2 4 2 2? ? 2 π π π θ π 5π π+ ,k∈Z.又 2kπ+ <θ<2kπ+π,k∈Z,∴kπ+ < <kπ+ ,∴2kπ+ < 4 2 4 2 2 4 3π θ θ <2kπ+ ,故 为第三象限角. 2 2 2 9. (改编题)若 α 的终边落在 x+y=0 上,求出在[-360°,360°]之间的所有角 α. 3π 解:若角 α 的终边落在第二象限,则 αα= +2kπ,k∈Z;若角 α 的终边落在第四象 4 7π 3π 限, 则αα= +2kπ, k∈Z, ∴α 终边落在 x+y=0 上角的集合为 αα= +2kπ, k∈Z∪ 4 4 7π 3π 3π αα= +2kπ,k∈Z=αα= +kπ,k∈Z.令-2π≤ +kπ≤2π,∴k∈{-2,-1, 4 4 4 5π π 3π 7 π 0,1},∴所求 α∈{- ,- , , }. 4 4 4 4 10. 已知角 α 终边上一点 P 的坐标为(-15a,8a)(a≠0),求角 α 的正弦、余弦、正切函 数值. 解:设点 P 到原点 O 的距离为 r,则 r= (-15a)2+(8a)2=17|a|. -15a 8a 8 15 8a 8 ① 当 a>0 时,r=17a,∴ sinα= = ,cosα= =- ,tanα= =- . 17a 17 17a 17 15 -15a -15a 15 8a 8 8a ② 当 a<0 时,r=-17a,∴ sinα= =- ,cosα= = ,tanα= = 17 -17a -17a 17 -15a 8 - . 15 11. 如图, 单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点, 单位圆与 y 轴的正半轴交于点 A, 与钝角 α 的终边 OB 交于点 B(xB,yB),设∠BAO=β. (1) 用 β 表示 α; 4 (2) 如果 sinβ = ,求点 B(xB,yB)的坐标; 5 (3) 求 xB-yB 的最小值. 解析:∵sinα·cosα=

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(第 11 题图) π 3π 解:(1) ∠AOB=α- =π-2β,所以 α= -2β. 2 2 4?2 3 π yB (2) 由 sinα= ,r=1,得 yB=sinα=sin? -2β?=-cos2β=2sin2β-1=2×? ?5? - r ? 2 ? 24 7 ? 7 24 1= .由 α 为钝角,知 xB=cosα=- 1-sin2α=- .所以 B? ?-25,25?. 25 25 π (3) xB-yB=cosα-sinα= 2cos?α+ ?. 4? ? π 3π 5π π 又 α∈? ,π?,则 α+ ∈? , ?, 4 ? 4 4 ? ?2 ? π 2 cos?α+ ?∈?-1,- ?.所以 xB-yB 的最小值为- 2.第 2 课时 同角三角函数的基本 4? ? ? 2? 关系式与诱导公式 1. sin930°=________. 1 答案:- 2 1 解析:sin930°=sin210°=-sin30°=- . 2 4 2. 已知 α 是第二象限角,且 cosα =- ,得 tanα=________. 5 3 答案:- 4 sinα 4 3 3 解析:∵α 为第二象限角且 cosα=- ,∴sinα= ,∴tanα= =- . 5 5 4 cosα 3. 化简:cosα 1-sinα 1+sinα +sinα 1-cosα? 3π? ?π<α< ?=________. 2? 1+cosα?

答案:sinα+cosα-2 (1-sinα)2 (1-cosα)2 3 解析: 原式=cosα +sinα .∵π<α< π, ∴cosα<0, 2 2 cos α sin2α sinα<0,∴原式=-(1-sinα)-(1-cosα)=sinα+cosα-2.

?π ? 2 ? 2π? 4. 已知 cos? -α?= ,则 sin?α- ?=________. 3 3? ?6 ? ? 2 答案:- 3 2π π π 解析:sin?α- ?=sin?- -? -α?? 3 ? ? ?? ? 2 ?6 π π π 2 =-sin? +? -α??=-cos? -α?=- . 3 2 6 6 ? ? ? ?? ?

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课时训练部分
sin(α-3π)+cos(π-α) 5. tan(5π +α)=m,则 =________. sin(-α)-cos(π+α) m+1 答案: m-1 -sinα-cosα sinα+cosα m+1 解析:由 tan(5π+α)=m,得 tanα=m.原式= = = . -sinα+cosα sinα-cosα m-1 5 ?π ? 3 ? π? π+α?-sin2?α- ?=________. 6. 已知 cos? -α?= ,则 cos? 6 ? ? 3 ?6 ? ? 6? 2+ 3 答案:- 3 5 π π π 3 π+α?=cos?π-? -α??=-cos? -α?=- ,而 sin2?α- ?=1- 解析:∵ cos? ?6 ? 3 6? ? ?6 ?? ?6 ? ? 2 + 3 π 1 2 3 2 cos2?α- ?=1- = ,∴ 原式=- - =- . 3 3 3 3 3 6? ? 1 =3,则 sinα cosα =________,tan2α + 2 =________. tanα tan α 1

7. 若 tanα + 1 答案: 7 3

sinα cosα sin2α+cos2α 1 1 解析: ∵tanα+ =3, ∴ + =3, 即 =3, ∴sinαcosα= .tan2 3 tanα cosα sinα sinαcosα 2 1 1 1 α+ 2 =?tanα+tanα? -2tanα =9-2=7. ? tan α ? tanα 8. 若 tanα =3,则 sin2α -2sinα cosα +3cos2α =________. 3 答案: 5 sin2α-2sinαcosα+3cos2α tan2α-2tanα+3 9-6+3 3 解析:原式= = = = . 5 sin2α+cos2α tan2α+1 9+1 sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+π) 9. 已知 α 为第三象限角,且 f(α)= . sin(π+α)tan(2π-α) (1) 化简 f(α);

? 3π? 1 (2) 若 cos?α- ?= ,求 f(α)的值; 2? 5 ?
32π (3) 若 α=- ,求 f(α)的值. 3 sinαcosα(-tanα) 解:(1) f(α)= =-cosα. (-sinα)(-tanα) 1 2 6 2 6 (2) 由已知得 sinα=- ,则 cosα=± .又 α 为第三象限角,所以 cosα=- . 5 5 5 2 6 所以 f(α)=-cosα= . 5 32π 32π 2π 1 (3) f(α)=-cos(- )=-cos =-cos = . 3 3 3 2 1 10. 已知 sin π+α =- .求: 3

(

)

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课时训练部分
? 3π? (1) cos?α- ?; 2? ? ?π ? (2) sin? +α?; ?2 ? (3) tan(5π -α).
1 1 解:sin(π+α)=-sinα=- ,∴sinα= . 3 3 3 π 3 π 1 (1) cos?α- ?=cos? -α?=-sinα=- . 3 2 ? ? ? 2 ? π 1 8 1 (2) sin? +α?=cosα,cos2α=1-sin2α=1- = .∵sinα= ,∴α 为第一或第二象限 9 9 3 ?2 ? π π 2 2 角.①当 α 为第一象限角时,sin? +α?=cosα= .②当 α 为第二象限角时,sin? +α?= 3 ?2 ? ?2 ? 2 2 cosα=- . 3 (3) tan(5π-α)=tan(π-α)=-tanα. 1 ∵sinα= ,∴α 为第一或第二象限角. 3 2 2 2 2 ①当 α 为第一象限角时,cosα= ,∴tanα= ,∴tan(5π-α)=-tanα=- . 3 4 4 2 2 2 2 ②当 α 为第二象限角时,cosα=- ,tanα=- ,∴tan(5π-α)=-tanα= . 3 4 4 π 2sinαcosα-cosα+1 5 11. (2012· 苏州模拟)已知 0<α< , 若 cosα -sinα =- , 试求 的值. 2 5 1-tanα 5 1 4 ,∴ 1-2sinα·cosα= .∴ 2sinα·cosα= .∴ (sinα+ 5 5 5 π 4 9 3 5 cosα)2=1+2sinαcosα=1+ = .∵ 0<α< .∴ sinα+cosα= .由 cosα-sinα=- 5 5 2 5 5 3 5 2 5 5 ,sinα+cosα= ,得 sinα= ,cosα= ,∴ tanα=2, 5 5 5 5 4 5 - +1 2sinαcosα-cosα+1 5 5 5 9 ∴ = = - .第 3 课时 三角函数的图象和性质 5 5 1-tanα 1- 2 解:∵ cosα-sinα=- π ?π ? |φ|< ?的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正 1. 已知简谐运动 f(x)=2sin? x+φ?? 2? ? ?3 ? 周期 T 和初相 φ 分别为________. π 答案:6, 6 π π 2π 1 解析:∵图象过点(0,1),∴2sinφ=1,∴sinφ= .∵|φ|< ,∴φ= ,T= =6. 2 2 6 π 3 π 2. 将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐 10 标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是________________. 1 π 答案:y=sin? x- ? ?2 10?

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课时训练部分
π π 解析:将 y=sinx 的图象向右平移 个单位得到 y=sin?x- ?的图象,再将图象上各点 10 ? 10? 1 π 的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=sin? x- ?的图象. ?2 10? 3. 若函数 f(x)= 2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是π ,则 ω 的值为 ________. 答案:1 T 解析:函数 y=f(x)的图象的相邻两条对称轴的距离是π,所以 =π,即 T=2π,所以 2 2π =2π,解得 ω=1. ω 4π ? π? 4. 设 ω>0,函数 y=sin?ωx+ ?+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的 3 3? ? 最小值是________. 3 答案: 2 4π π 解析: 解法 1 :函数 y= sin ?ωx+ ? + 2 的图象向右平移 个单位后得到函数 y= 3 3? ? 4π π π 4π π sin?ω?x- ?+ ?+2=sin?ωx- ω+ ?+2 的图象. ∵ 两图象重合, ∴ sin?ωx+ ?+ 3 3 3 3? 3 ? ? ? ? ? ? ? π 4π π 4π π 3 2=sin?ωx- ω+ ?+2,∴ωx+ =ωx- ω+ +2kπ,k∈Z.∴ω= k,k∈Z.当 k 3 3 3 2 3 3? ? 3 =1 时,ω的最小值是 . 2 4π π 解法 2:本题的实质是已知函数 y=sin?ωx+ ?+2(ω>0)的最小正周期是 ,求 ω 的 3 3? ? 2π 4π 3 值.由 T= = ,∴ω= . 3 2 ω π 5. 电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,0<φ< 的图象如右图 2 1 所示,则当 t= s 时,电流强度是________. 100

(第 5 题图)

答案:-5A 2π T 4 1 1 解析:由图象知 A=10, = - = ,∴ω= =100π.∴I=10sin(100πt+φ). 2 300 300 100 T 1 π π π? 1 ? ? 图象最高点? ?300,10?,∴100π×300+φ= 2 .∴φ= 6 .∴I=10sin?100πt+ 6 ?,当 t= 1 s 时,I=-5A. 100

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课时训练部分
? π? 6. 已知 f(x)=cos?ωx+ ?的图象与 y=1 的图象的两相邻交点间的距离为π ,要得到 y 3? ? =f(x)的图象,只需把 y=sinω x 的图象向左平移________个单位. 5π 答案: 12 π π 解析:依题意得 y=f(x)的最小正周期为π,故 ω=2.因为 y=cos?2x+ ?=sin2x+ + 3 3? ? π 5π 5π 5π =sin?2x+ ?=sin?2?x+ ??,所以把 y=sin2x 的图象向左平移 个单位即可得到 y 2 12 6 ? 12 ?? ? ? ? π =cos?2x+ ?的图象. 3? ?
7. (2012· 无锡市期末)函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π )的周期为π ,且函数图象关于

? π ? 点?- ,0?对称,则函数解析式为________________. ? 3 ? 2π 答案:y=sin?2x+ ? 3 ? ? 2π 解析:T= ,∴ ω=2. ω π 又图象关于?- ,0?对称, ? 3 ? π 2 2 2 ∴ sin?2?- ?+φ?=0,φ- π=kπ(k∈Z),φ= π+kπ(0<φ<π),∴ k=0,φ= π. 3 3 3 ? ? 3? ? 2 π ∴ y=sin?2x+ ?. 3 ? ?
π 8. 函数 y=sin2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于直线 x= 对称, 6 则 φ 的最小值是________. 5π 答案: 12 解析:y=sin2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,得 y=sin2(x-φ)=sin(2x-2φ).因其中 π π π 5π 一条对称轴方程为 x= ,则 2· -2φ=kπ+ (k∈Z).因为 φ>0,所以 φ 的最小值为 . 6 6 2 12

? ? π 9. 已知函数 y=Asin(ωx+φ)?A>0,|φ|< ,ω>0?的图象的一部分如图所示. 2 ? ? (1) 求 f(x)的表达式; (2) 试写出 f(x)的对称轴方程.

(第 9 题图)

1 解:(1) 观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上,所以 1=2sin(ω·0+φ),即 sinφ= . 2

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课时训练部分
π π 11 ,所以 φ= .又 π是函数的一个零点,且是图象上升穿过 x 轴形成的零点,所 2 6 12 11π π π 以 ω+ =2π,所以 ω=2.故 f(x)=2sin?2x+ ?. 12 6 6? ? π π π π (2) 设 2x+ =B, 则函数 y=2sinB 的对称轴方程为 B= +kπ, k∈Z, 即 2x+ = 6 2 6 2 kπ π kπ π +kπ(k∈Z), 解上式得 x= + (k∈Z), 所以 f(x)=2sin?2x+ ?的对称轴方程为 x= + 2 6 2 6? ? π (k∈Z). 6 因为|φ|<

(第 9 题图)

π 10. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)其中 A>0,ω>0,0<φ< ,x∈R 的图象与 x 轴的交点中, 2 π ? 2π ? 相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M? ,-2?. 2 ?3 ? (1) 求 f(x)的解析式;

? π π? (2) 当 x∈? , ?,求 f(x)的值域. ?12 2 ? π 2π 解:(1) 由最低点为 M? ,-2?,得 A=2.由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 , 2 ? 3 ? 2π 2π 2 π 2 π T π ? ? ? 得 = ,即 T=π,ω= = =2.由点 M? 2 2 T ? 3 ,-2?在图象上得 2sin?2·3 +φ?=-2, π 4π π 11π 4π π 即 sin? +φ?=-1,故 +φ=2kπ- ,k∈Z,∴φ=2kπ- .又 φ∈?0, ?, 3 2 6 2? ? 3 ? ? π π ∴φ= ,故 f(x)=2sin?2x+ ?. 6 6? ? π π 7π π π π π π (2) ∵x∈? , ?,∴2x+ ∈? , ?.当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 6 ?3 6 2 6 6 ? ?12 2 ? π 7π π 2;当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1,故 f(x)的值域为[-1,2]. 6 6 2
π 11. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R 的图象的一部分如下图所示. 2 (1) 求函数 f(x)的解析式; 2? (2) 当 x∈? ?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值.

(第 11 题图)
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课时训练部分

2π π = 8 ,∴ω= . 又图象经过点 ( - 1 , 0) ,∴ 4 ω π π π π π 2sin?- +φ?=0.∵|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=2sin? x+ ?. 2 4 4? ? 4 ? ?4 π π π π π π π? ?π π? (2) y=f(x)+f(x+2)=2sin x+ +2sin x+ + =2sin? ?4x+4?+2cos? 4 x+ 4 ?= 4 4 4 2 4 π 2? 3π π π π π π π 2 2sin? x+ ?=2 2cos x.∵x∈? ?-6,-3?,∴- 2 ≤ 4 x≤- 6 ,∴当 4 x=- 6 ,即 4 2? ?4 π 2 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取最大值为 6;当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2) 3 4 取最小值为-2 2.第 4 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 解: (1) 由图象知 A = 2 , T = 8.∵T = 1. 计算:sin43°cos13°+sin47°cos103°=________. 1 答案: 2 1 解析:原式=sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°= . 2 12 4 2. 已知 sinα = ,cosβ = ,且 α 是第二象限角,β 是第四象限角,那么 sin(α-β)= 13 5 ________. 33 答案: 65 12 144 5 解析:因为 α 是第二象限角,且 sinα= ,所以 cosα=- 1- =- .又 β 是第 13 169 13 4 16 3 12 四象限角, cosβ= , 所以 sinβ=- 1- =- .sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= × 5 25 5 13 4 ? 5 ? ? 3? 48-15 33 - - × - = = . 5 ? 13? ? 5? 65 65

? π? 3. 已知锐角?α+ ?的终边经过点 P(1,4 3),则 cosα =________. ? 3? 13 答案: 14
解析:OP= 12+(4 3)2=7, π 4 3 π 1 sin?α+ ?= ,cos?α+ ?= .cosα= 7 3? 3? 7 ? ? π π π π cos??α+ ?- ?=cos?α+ ?cos + 3 3? 3? 3? ? ?? π π 1 1 4 3 3 13 sin?α+ ?sin = × + × = . 7 2 14 3? 3 7 2 ? 4. 设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c= 是________. 答案:b>c>a 解析:a= 2sin(45°+14°)= 2sin59°,b= 2sin(45°+16°)= 2sin61°,c= 2sin60°,∴b>c>a. 6 = 2 6 ,则 a、b、c 从大到小的顺序 2

40

课时训练部分
? π? ? 7π? 4 5. 已知 cos?α- ?+sinα = 3,则 sin?α+ ?=________. 5 6? ? 6? ? 4 答案:- 5 π 4 解析:∵ cos?α- ?+sinα= 3, 5 6? ? 3 3 4 ∴ cosα+ sinα= 3, 2 2 5 4 1 3 3? cosα+ sinα?= 3, 2 ?2 ? 5 7 π π π 4 4 4 α+ π?=-sin? +α?=- . 3?sin? +α??= 3,∴ sin? +α?= ,∴ sin? 6 ? ? 5 ? ?6 ?? 5 ?6 ? 5 ?6 ? ? π? 1 ? π? 2 6. 已知 tan(α+β )= ,tan?β- ?= ,那么 tan?α+ ?=________. 5 4 4 ? ? ? 4? 3 答案: 22 π π π π π 解析: 因为 α+ +β- =α+β, 所以 α+ =(α+β)-?β- ?, 所以 tan?α+ ?=tanα 4 4 4 4 4? ? ? ? π tan(α+β)-tan?β- ? 4? 3 ? π +β-?β- ?= = . 4 ? ? π 22 1+tan(α+β)tan?β- ? 4? ?
π 7. (2012· 扬州市三模)若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx, 0≤x< , 则 f(x)的最大值为________. 2 答案:2 π 解析:f(x)=(1+ 3tanx)cosx=cosx+ 3sinx=2cos?x- ?, 3? ? π ∴ 当 x= 时,f(x)取得最大值为 2. 3 8. (1+ 3tan10°)· cos40°=________. 答案:1 3sin10°+cos10° 3sin10°? ? 解析:(1+ 3tan10°)cos40°=?1+ cos40°= ·cos40° ? cos10° cos10° ? ? 2sin(10°+30°) 2sin40°cos40° = ·cos40°= cos10° cos10° sin80° = =1. cos10° cos10° 9. 求(tan10°- 3)· 的值. sin50° cos10° cos10° 解:(tan10°- 3)· =(tan10°-tan60°)· sin50° sin50° ? sin10° - sin60° ?·cos10° =? ? ?cos10° cos60°? sin50° sin10°cos60°-sin60°cos10° cos10° = · cos10°cos60° sin50°

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课时训练部分
= -sin(60°-10°) cos10° 1 · =- =-2. cos10°cos60° sin50° cos60°

π 3π ? π? 4 10. 已知 sin?α+ ?= ,且 <α < .求 cosα 的值. 5 4 4 ? 4? 3π π π π 4 π π π 解: sin?α+ ?= 且 <α< , ∴ <α+ <π, ∴cos?α+ ?=- 1-sin2?α+ ? 4 2 4 4? 5 4 4? 4? ? ? ? π π π π π π 3 3 2 4 2 =- ,∴cosα=cos?α+ ?- =cosα+ cos +sin?α+ ?sin =- × + × = 5 4 4 5 2 5 2 4? 4 4? 4 ? ? 2 . 10

? π? 11. (2012· 广东)已知函数 f(x)=2cos?ωx+ ?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π . 6? ? (1) 求 ω 的值; 5 5 ? π? 6 16 5α+ π?=- ,f?5β- π?= ,求 cos(α+β)的值. (2) 设 α、β∈?0, ?,f? 3 6 ? ? ? ? 5 17 ? 2? 2π 1 解:(1) T= =10π,所以 ω= . 5 ω 5 5 π π 6 3 1 5α+ π?=2cos? ?5α+ π?+ ?=2cos?α+ ?=-2sinα=- ,所以 sinα= . (2) f? 3 ? 3 ? 6? ? 5 5 2? ?5? ? 5 5 π π 16 8 1 ? ? ? ? ? ? ? f? ?5β-6π?=2cos?5?5β-6π?+ 6 ?=2cosβ=17,所以 cosβ=17.因为 α、β∈?0, 2 ?, 4 15 所以 cosα= 1-sin2α= ,sinβ= 1-cos2β= ,所以 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsin 5 17 4 8 3 15 13 β= × - × =- .第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式 5 17 5 17 85
4 1. 已知 sinα = ,且 α 是第二象限角,则 tan2α =________. 5 24 答案: 7 sinα 2tanα 4 3 4 解析: sinα= , 且 α 是第二象限角, ∴ cosα=- .tanα= =- .tan2α= 5 5 3 cosα 1-tan2α 4? 2? ?-3? 24 = = . 4?2 7 ? 1-?-3? 2. 已知 450°<α <540°,则 α 答案:-sin 2 1+cos2α = 2 α α ∴225°< <270°.∴原式=-sin . 2 2 解析:原式= 1 1 + 2 2 π π +log2cos =________. 12 12 答案:-2 3. log2sin α 1 1 - cosα = ?sin ? . ∵ 450 ° < α <540 ° , 2 2 ? 2? 1 1 + 2 2 1 1 + cos2α=________. 2 2

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课时训练部分
π π +log2cos 12 12 1 1 π =log2? sin ?=log2 =-2. 4 ?2 6 ? 解析:log2sin 4. 若 cos2α

? π? sin?α- ? ? 4?

=-

2 ,则 sinα +cosα =________. 2

1 答案: 2 π sin? -2α? cos2α ?2 ? 解析: = π π sin?α- ? sin?α- ? 4? 4? ? ? π π 2sin? -α?cos? -α? ?4 ? ?4 ? π = =-2cos? -α? ?4 ? π sin?α- ? 4? ? 2 2 =-2 sinα+ cosα=- 2(sinα+cosα) 2 2 2 1 =- .所以 sinα+cosα= . 2 2

? π? 1 ?2π ? 5. 已知 sin?α+ ?= ,则 cos? -2α?=________. 3 6 3 ? ? ? ? 7 答案:- 9 π π 解析:由题意知 sin?α+ ?=cos? -α? 6? ? ?3 ? 2π π π 1 7 = ,cos? -2α?=cos2? -α?=2cos2? -α?-1=- . 3 9 ? 3 ? ?3 ? ?3 ? 3 6. (2012· 全国改编)已知 α 为第二象限角,sinα +cosα = ,则 cos2α =________. 3 5 答案:- 3 3 1 2 解析:sinα+cosα= ,两边平方可得 1+sin2α= ? sin2α=- .∵ α是第二象限 3 3 3 2 15 角, 因此 sinα>0, cosα<0, 所以 cosα-sinα=- (cosα-sinα)2=- 1+ =- , 3 3 5 ∴ cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=- . 3 ? π? tanx 7. (2011· 江苏卷)已知 tan?x+ ?=2,则 =________. tan2x ? 4? 4 答案: 9 π π tan?x+ ?-tan 4 1 4 ? ? π π 2tanx 3 解析:∵ tanx=tan??x+ ?- ?= = ,∴ tan2x= = ,∴ 4? 4? π ? π? 3 1-tan2x 4 ?? 1+tan tan x+ 4 ? 4?
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课时训练部分
tanx 4 tanx = .也可以利用二倍角公式先化简 ,再求值. tan2x 9 tan2x cos2α ?π ? 12 ? π? 8. 已知 cos? -α?= ,α ∈?0, ?,则 =________. ? 4 ? 13 ? 4? ?π ? sin? +α? ?4 ? 10 答案: 13 cos2α cos2α-sin2α 解析: = π 2 sin? +α? ?4 ? 2 (sinα+cosα) (cosα-sinα)(cosα+sinα) π π = = 2(cosα-sinα)=2sin? -α?.又 α∈?0, ?, 4? ?4 ? ? 2 (sinα+cosα) 2 π π π π 12 5 10 则 -α∈?0, ?.由 cos? -α?= ,得 sin? -α?= .∴ 原式= . 4 13 4? ? ?4 ? 13 ?4 ? 13 1 2cos4x-2cos2x+ 2 9. 化简: . ?π ? 2?π ? 2tan? -x?· sin ? +x? ?4 ? ?4 ? 1 2 2 2cos x(cos x-1)+ 2 解:原式= π π 2tan? -x?sin2? +x? ?4 ? ?4 ? 1 2 2 -2cos xsin x 2 = π 2sin? -x? ?4 ? 2?π ? · sin ? 4 +x? π cos? -x? ?4 ? 1 1 2 - sin 2x 2 2 = π 2cos? +x? ?4 ? 2?π ? · sin ? 4 +x? π sin? +x? ?4 ? 1 2 cos 2x 2 1 = = cos2x. 2 π sin? +2x? ?2 ? 10. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边分 2 2 5 别与单位圆相交于 A、B 两点.已知 A、B 的横坐标分别为 , . 10 5 (1) 求 tan(α+β)的值; (2) 求 α+2β 的值.

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课时训练部分

(第 10 题图)

解:由已知得 cosα=

2 2 5 ,cosβ= . 10 5

7 2 ∵ α、β 为锐角,∴ sinα= 1-cos2α= , 10 5 1 sinβ= 1-cos2β= .∴ tanα=7,tanβ= . 5 2 1 7+ 2 tanα+tanβ (1) tan(α+β)= = =-3. 1 1-tanα·tanβ 1-7× 2 1 2× 2 2tanβ 4 (2) ∵ tan2β= = 2 2= , 1 1-tan β ? 3 1-? ?2? 4 7+ 3 tanα+tan2β 3π ∴ tan(α+2β)= = =-1.∵ α、β 为锐角,∴ 0<α+2β< ,∴ 4 2 1-tanα·tan2β 1-7× 3 3π α+2β= . 4

? π? 11. 已知函数 f(x)=sin2ω x+ 3sinω xsin?ωx+ ?(ω>0)的最小正周期为π . 2? ? (1) 求 f(x)的解析式; ? π π? (2) 当 x∈?- , ?时,求函数 f(x)的值域. ? 12 2 ? 1-cos2ωx 解:(1) f(x)= + 3sinωxcosωx 2 3 1 1 = sin2ωx- cos2ωx+ 2 2 2 π 1 =sin?2ωx- ?+ . 6? 2 ? ∵ 函数 f(x)的最小正周期为π,且 ω>0, 2π ∴ =π,解得 ω=1. 2ω π 1 ∴ f(x)=sin?2x- ?+ . 6? 2 ? π π π π 5π (2) ∵ x∈?- , ?,∴ 2x- ∈?- , ?.根据正弦函数的图象可得: 6 ? 3 6 ? ? 12 2 ? π π π π π π π 当 2x- = , 即 x= 时, g(x)=sin?2x- ?取最大值 1.当 2x- =- , 即 x=- 6 2 3 6 3 12 6? ?

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课时训练部分
π π 1 3 3 1 3 时,g(x)=sin?2x- ?取最小值- .∴ - ≤sin?2x- ?+ ≤ ,即 f(x)的值域为 2 2 2 6? 6? 2 2 ? ? ?1- 3 3?.第 6 课时 简单的三角恒等变换 ? 2 ,2? ? ? 1. 函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx 的最小正周期为________. 答案:2π π 解析:由 f(x)=(1+ 3tanx)cosx=cosx+ 3sinx=2sin?x+ ?,可得最小正周期为 2π. 6? ? 2. 函数 f(x)=2cos2x+sin2x 的最小值是________. 答案:1- 2 π 解析:f(x)=cos2x+sin2x+1= 2sin2x+ +1,所以最小值为 1- 2. 4 1 3. 若 3sinα +cosα =0,则 2 =________. cos α+sin2α 10 答案: 3 cos2α+sin2α 1 1 解析: 3sinα+cosα=0 ? cosα≠0 ? tanα=- , 2 = 2 3 cos α+sin2α cos α+2sinαcosα 2 1+tan α 10 = = . 1+2tanα 3 π cos2x 4. 当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值是________. 4 cosxsinx-sin2x 答案:4 1 解析:f(x)= = -tan2x+tanx 1 1 ,当 tanx= 时,f(x)的最小值为 4. 2 2 1 1 tanx- ? + -? 2? 4 ? cos2θ θ 5. 若 tan =2,则 =________. 2 1+sin2θ 答案:-7 θ 2tan 2 2×2 4 解析:∵ tanθ= = =- , 3 θ 1 - 4 1-tan2 2 4 - ? 1-? ? 3? cos2θ cos θ-sin θ cosθ-sinθ 1-tanθ ∴ = = = = =-7. 4 1+sin2θ sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ cosθ+sinθ 1+tanθ - ? 1+? ? 3?
2 2

? π? 6. 函数 f(x)=sinx+ 3cosx 在区间?0, ?上的最小值为________. ? 2? 答案:1 π π 5π π π 解析:f(x)=sinx+ 3cosx=2sin?x+ ?.∵ x∈?0, ?,∴x+ ∈? , ?, 3 ?3 3? 2? 6 ? ? ? 5π ∴ymin=2sin =1. 6
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课时训练部分

1 2 7. 函数 f(x)= 2 + 2 的最小值是________. sin x cos x 答案:3+2 2 sin2x+cos2x 2sin2x+2cos2x 1 2 cos2x 2sin2x 解析:f(x)= 2 + 2 = + =3+ 2 + ≥3+2 2 , 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos2x ∴ymin=3+2 2. 8. [2sin50°+sin10°(1+ 3tan10°)]· 1+cos20°=________. 答案: 6 解析:原式= sin10° ?? ?2sin50°+sin10°?1+ 3· ? ? ?· 2cos210° cos10°? ? ? ?? cos10°+ 3sin10°? ? =?2sin50°+sin10°· ?· 2·cos10° cos10° ? ? =2 2sin50°cos10°+sin10°·2sin40°· 2 =2 2sin50°cos10°+2 2sin10°cos50° =2 2sin60°= 6. 9. (2011· 烟台质检)设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1) 求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π ]上的单调递增区间;

? π? (2) 当 x∈?0, ?时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. ? 6? π 解:(1) f(x)=2cos2x+ 3sin2x+m=2sin?2x+ ?+m+1,∴函数 f(x)的最小正周期 T= 6? ? 2π π 2 π =π.在[0,π]上的单调递增区间为?0, ?,? ,π?. 2 6? ? 3 ? ? π π (2) 当 x∈?0, ?时,∵f(x)单调递增,∴当 x= 时,f(x)取得最大值为 m+3,即 m+ 6 6? ? 3=4,解之得 m=1,∴m 的值为 1. ? π? ? π? 10. (2012· 苏北四市三模)已知函数 f(x)=sin2?x- ?+cos2?x- ?+sinx·cosx,x∈R. ? 6? ? 3? (1) 求 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的值; (2) 求 f(x)在[0,π ]上的单调增区间. π 2π 1-cos?2x- ? 1+cos?2x- ? 3? 3 ? 1 ? ? 解:(1) f(x)= + + sin2x 2 2 2 1 =1+ (sin2x-cos2x) 2 π 2 ? = sin 2x- ?+1. 2 4? ? π π 3π 2 当 2x- =2kπ+ ,即 x=kπ+ ,k∈Z 时,f(x)的最大值为 +1. 4 2 8 2 π π π π 3π (2) 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,即 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.又 0≤x≤π, 2 4 2 8 8 3 π 7 π 故所求 f(x)的增区间为?0, ?,? ,π?. 8 ? ? 8 ? ? ?π ? ?π ? 1 1 11. 已知函数 f(x)=cos? +x?cos? -x?,g(x)= sin2x- . 2 4 3 3 ? ? ? ? (1) 求函数 f(x)的最小正周期;
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课时训练部分
(2) 求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合. π π 解:(1) f(x)=cos? +x?cos? -x? ?3 ? ?3 ? 1 3 1 3 =? cosx- sinx?? cosx+ sinx? 2 2 ?2 ?? 2 ? 1+cos2x 3-3cos2x 1 3 = cos2x- sin2x= - 4 4 8 8 2π 1 1 1 1 2 = cos2x- ,f(x)的最小正周期为 =π. (2) h(x)=f(x)-g(x)= cos2x- sin2x= 2 4 2 2 2 2 π π 2 cos?2x+ ?,当 2x+ =2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值 .h(x)取得最大值时,对应的 x 的 4 2 4? ? π 集合为 xx=kπ- ,k∈Z.第 7 课时 正弦定理和余弦定理 8 1. 在△ABC 中,a2=b2+c2+bc,则∠A=________. 答案:120° b2+c2-a2 -bc 1 解析:∵ cosA= = =- ,∴∠A=120°. 2bc 2bc 2 π 2. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,已知∠A= ,a= 3,b=1, 3 则 c=________. 答案:2 a b 3 1 1 解析:由正弦定理 = ,可得 = ,∴sinB= ,故∠B=30°或 150°.由 sinA sinB 2 π sinB sin 3 a>b,得∠A>∠B,∴∠B=30°.故∠C=90°,由勾股定理得 c=2. 4 3. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 分别对应三边 a、b、c,tanC= ,c=8,则△ABC 外 3 接圆半径 R 为________. 答案:5 4 4 c 8 解析:由 tanC= 得 sinC= ,则 2R= = =10,故外接圆半径为 5. 3 5 sinC 4 5 4. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,acosB=5,bsinA=12,则 a=________. 答案:13 asinB 12 解析:由正弦定理得 asinB=bsinA=12 ①,acosB=5 ②,由①②得 tanB= = , acosB 5 5 5 ∴ cosB= ,acosB=a× =5,∴ a=13. 13 13 5. (2011· 苏北四市期末卷)在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 sinA = 3sinC,∠B=30°,b=2,则△ABC 的面积是________. 答案: 3 a c 解析:由正弦定理 = ,∵ 3sinC=sinA,∴ a= 3c.由余弦定理 b2=a2+c2- sinA sinC 1 2accosB,∴ a=2 3,∴ S△ABC= ac·sinB= 3. 2 6. 在△ABC 中, ∠A、 ∠B、 ∠C 的对边分别是 a、 b、 c.若 a2-b2= 3bc, sinC=2 3sinB, 则∠A=________. 答案:30°
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课时训练部分
b2+c2-a2 - 3bc+c2 解析: 由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b, 由余弦定理得 cosA= = = 2bc 2bc 3 ,于是∠A=30°. 2 π 7. 已知△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C,∠B= 且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的 3 中线 AD 的长为________. 答案: 3 π π 解析:在△ABD 中,∠B= ,BD=2,AB=1,则 AD2=AB2+BD2-2AB· BD· cos = 3 3 3.所以 AD= 3. 1 8. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若其面积 S= (b2+c2-a2), 4 则∠A=________. π 答案: 4 π 1 1 解析: bcsinA= (b2+c2-a2)? a2=b2+c2-2bcsinA ? sinA=cosA,则∠A= . 2 4 4 9. 在△ABC 中,已知∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,且(a+b+c)(b+c-a)= 3bc. (1) 求∠A 的大小; (2) 若∠B-∠C=90°,c=4,求 b.(结果用根式表示) b2+c2-a2 1 解:(1) 由条件,得(b+c)2-a2=3bc,即 b2+c2-a2=bc,∴ cosA= = .∵ ∠ 2bc 2 A 是三角形内角,∴ ∠A=60°. ?∠B+∠C=120°, ? b 4 (2) 由? 得∠B=105°, ∠C=15°.由正弦定理得 = , sin105 ° sin15 ° ? ∠ B - ∠ C = 90 °, ? 4sin105° 1+tan30° 即 b= .∴ b=4tan75°.∵ tan75°=tan(45°+30°)= =2+ 3, ∴ b=8 sin15° 1-tan30° +4 3. 10. (2012· 苏北四市三模)在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a -c)cosB=bcosC. (1) 求∠B 的大小; 3 3 (2) 若△ABC 的面积为 ,且 b= 3,求 a+c 的值. 4 解: (1) 因为 (2a - c)cosB = bcosC ,由正弦定理,得 (2sinA - sinC)cosB = sinBcosC ,即 2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA.在△ABC 中, 0<A<π, sinA>0, 所以 cosB 1 = . 2 π 又 0<B<π,故∠B= . 3 3 3 1 3 3 (2) 因为△ABC 的面积为 ,所以 acsinB= ,所以 ac=3.因为 b= 3,b2=a2+c2 4 2 4 -2accosB,所以 a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3.所以(a+c)2=12,所以 a+c=2 3. 11. 在△ABC 中, 已知∠A、 ∠B、 ∠C 所对的边分别为 a、 b、 c, 向量 m=(2sinB, - 3), B 2 ? n=? ?cos2B,2cos 2 -1?,且 m∥n. (1) 求锐角∠B 的大小;
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课时训练部分
(2) 若 b=2,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值. 2B ? 解: (1) 由 m∥n, 得 2sinB? ∴2sinBcosB=- 3cos2B, ∴tan2B ?2cos 2 -1?=- 3cos2B, 2π π =- 3.∵0<2B<π,∴2B= ,∴∠B= . 3 3 (2) 已知 b=2,由余弦定理得 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成 1 3 立).∵△ABC 的面积 S△ABC= acsinB= ac≤ 3,∴当且仅当 a=c=2 时,△ABC 的面积 2 4 S△ABC 取最大值 3. 第 8 课时 解三角形应用举例 1. 在某次测量中, 在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°, C 点的俯角是 70°, 则∠BAC=________. 答案:130° 解析: 假设同一半平面在 A 处平放后向上任取一点为 D, 由题意知∠BAD=60°, ∠CAD =70°,∴∠BAC=60°+70°=130°. 2. 在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45°,再向塔底方向前进 100m,又测得塔 尖的仰角为 60°,则此电视塔高约为________m.(精确到 1 m) 答案:237 DC· sin45° 解析: 如图, ∠D=45°, ∠ACB=60°, DC=100, ∠DAC=15°, ∵AC= , sin15° 2 3 100× × 2 2 100· sin45°sin60° ∴AB=AC· sin60°= = ≈237. sin15° 6- 2 4

(第 2 题图)

3. 在△ABC 中,已知∠A=60°,b=2,S△ABC=2 3,则 答案:4

=________. sinA+sinB+sinC

a+b+c

1 解析: 由 S△ABC= bcsinA=2 3, ∠A=60°, b=2, 得 c=4, 从而 a= b2+c2-2bccosA 2 a+b+c 1 a b c a 2 3 = 4+16-2×2×4× =2 3.由 = = ,得 = = =4. 2 sinA sinB sinC sinA sinA+sinB+sinC 3 2 4. 如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A、B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海 上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75°方向,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙船 位于灯塔 B 的北偏西 60°方向, 与 B 相距 5 海里的 C 处. 则两艘轮船之间的距离为________ 海里.

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课时训练部分

(第 4 题图)

答案: 13 解析:如图可知,∠ABC=60°,AB=BC,∴AC=5,∠BAC=60°,从而∠DAC= 45°,又 AD=3 2,∴由余弦定理得 CD= AD2+AC2-2AD· AC· cos45°= 13.

a b c 5. 在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 的形状是________________. cosA cosB cosC 答案:等边三角形 a b c a b c sinA sinB sinC 解析:由正弦定理得 = = ,又 = = ,所以 = = , sinA sinB sinC cosA cosB cosC cosA cosB cosC 即 tanA=tanB=tanC,所以∠A=∠B=∠C,故△ABC 为等边三角形. 6. 甲船在岛 A 的正南 B 处,以 4km/h 的速度向正北航行,AB=10km,同时乙船自岛 A 出发以 6km/h 的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时 间为________. 150 答案: min 7 解析:如下图,设 t h 甲行驶到 D 处,AD=10-4t,乙行驶到 C 处,AC=6t,∵∠BAC =120°,DC2=AD2+AC2-2AD· AC·cos120°=(10-4t)2+(6t)2-2· (10-4t)· 6t· cos120°= 2 5 ? 675 5 5 2 28t2-20t+100=28? 即 DC 最小, 此时 t= ×60 min ?t-14? +196.∴当 t=14 h 时 DC 最小, 14 150 = min. 7

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课时训练部分

(第 6 题图)

7. 已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为________. 答案:15 3 解 析 : 不 妨 设 ∠A = 120 ° , c<b , 则 a = b + 4 , c = b - 4 , 于 是 由 cos120 ° = b2+(b-4)2-(b+4)2 1 1 =- ,解得 b=10,S= bcsin120°=15 3. 2 2 2b(b-4) b a tanC 8. 在锐角△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC,则 + a b tanA tanC =________. tanB 答案:4 1 4 解析:解法 1:取 a=b=1,则 cosC= ,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC= ,∴ c 3 3 2 3 2 2 = .在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, 又 sinC= , tanC=2 2, 3 3 tanC tanC ∴ + =4. tanA tanB a2+b2 a2+b2-c2 b a 3 tanC tanC 解法 2:由 + = 6cosC ,得 = 6· ,即 a2 +b2 = c2 , ∴ + = a b ab 2ab 2 tanA tanB cosA cosB? sin2C 2c2 + tanC? = = 2 ? sinA sinB ? cosCsinAsinB a +b2-c2=4.

(第 8 题图)

9. 如图, 某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向, 从城 A 出发有一条走向为南偏东 40° 的公路,在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去, 行驶了 20 km 后到达 D 处,测得 C、D 两处的距离为 21 km,这时此车距离 A 城多少 km?

(第 9 题图)

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课时训练部分

DB2+DC2-BC2 解: 在△BCD 中, BC=31, BD=20, CD=21, 由余弦定理 cos∠BDC= 2DB·DC 2 2 2 20 +21 -31 1 1 4 3 = =- ,所以 cos∠ADC= ,sin∠ADC= ,在△ACD 中,由条件知 CD 7 7 7 2×20×21 3 1 1 4 3 5 3 =21,∠A=60°,所以 sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)= × + × = ,由正弦定 2 7 2 7 14 AD CD 21 5 3 理 = ,所以 AD= × =15,故这时车距离 A 城 15 km. sin∠ACD sinA 3 14 2 10. (2011· 宿迁市一模卷)如图, 在△ABC 中, 已知 AB=3, AC=6, BC=7, AD 是∠BAC 的角平分线. (1) 求证:DC=2BD; → → (2) 求AB·DC的值.

(第 10 题图)

(1) 证明:在△ABD 中,由正弦定理得

AB BD = ①,在△ACD 中,由正弦 sin∠ADB sin∠BAD

AC DC 定理得 = ②, 又 AD 平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD, sin∠BAD=sin sin∠ADC sin∠CAD BD AB 3 ∠CAD,sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC,由①②得 = = ,所以 DC=2BD. DC AC 6 AB2+BC2-AC2 → 2→ (2) 解:因为 DC=2BD,所以DC= BC.在△ABC 中,因为 cosB= = 3 2AB·BC 32+72-62 11 2→? 2 → 11 2 → → → → BC = |AB|·|BC|cos(π-B)= ×3×7×?- ?=- = ,所以AB·DC=AB·? 3 21? ? ? ? 21 3 3 2×3×7 22 . 3 11. 某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规划建筑 用地区域可近似为半径是 R 的圆面. 该圆的内接四边形 ABCD 是原棚户建筑用地, 测量可知 边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米. (1) 请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值; (2) 因地理条件的限制,边界 AD、CD 不能变更,而边界 AB、BC 可以调整.为了提高 棚户区改造建筑用地的利用率, 请在 ABC 上设计一点 P, 使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大,并求出其最大值.

(第 11 题图)

解:(1) 因为四边形 ABCD 内接于圆,所以∠ABC+∠ADC=π,连结 AC,由余弦定 1 理: AC2 = 42 +62 - 2×4×6cos ∠ABC = 42 +22 - 2×2×4cos∠ ADC , ∴cos ∠ABC = . ∵∠ 2
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课时训练部分
π π 1 2 1 2 , ∠ADC= π.则 S 四边形 ABCD= ×4×6×sin + ×2×4×sin 3 3 2 3 2 3 2 2 2 π=8 3万平方米.在△ABC 中,由余弦定理:AC =AB +BC -2AB· BC· cos∠ABC=16 1 AC 2 7 4 21 2 21 +36-2×4×6× =28, 故 AC=2 7.由正弦定理得 2R= = = , ∴R= 2 3 3 sin∠ABC 3 2 万米. 1 2 (2) S 四边形 APCD=S△ADC+S△APC,S△ADC= AD·CD·sin π=2 3.设 AP=x,CP=y,则 2 3 π π 1 3 S△APC= xy·sin = xy.又由余弦定理:AC2=x2+y2-2xycos =x2+y2-xy=28.∵x2+y2 2 3 4 3 3 -xy≥2xy-xy=xy, ∴xy≤28, 当且仅当 x=y 时取等号. ∴S 四边形 APCD=2 3+ xy≤2 3+ 4 3 ×28=9 3万平方米,即当 x=y 时面积最大,其最大面积为 9 3万平方米. 4 ABC∈(0, π), ∴∠ABC=

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第四章 平面向量与复数

第 1 课时 平面向量的概念与线性运算 1. 下面有 5 个命题: ① 单位向量的模都相等; ② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量; ③ 若 a,b 满足|a|>|b|且 a 与 b 同向,则 a>b; ④ 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ⑤ 对任意非零向量 a,b 必有|a+b|≤|a|+|b|. 其中正确的是________.(填序号) 答案:①④⑤ 解析:①单位向量的模均为 1,故①正确;②共线包括同向和反向,故②不正确;③向 量不能比较大小,③不正确;④根据向量的表示,④正确;⑤由向量加法的三角形法则知⑤ 正确. → 1→ → → 2. 设四边形 ABCD 中,有DC= AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是________. 2 答案:等腰梯形 → 1→ → → → 1→ → → 解析:AB= DC?AB∥DC,且|AB|= |DC|,∴ ABCD 为梯形,又|AD|=|BC|,∴ 四边 2 2 形 ABCD 的形状为等腰梯形. → → → → 3. 设 P 是△ABC 所在平面上一点, 且CA-CP=CP-CB, 若△ABC 的面积为 2, 则△PBC 面积为________. 答案:1 → → → → → → → 解析:因为CA-CP=CP-CB,即CA+CB=2CP,所以点 P 为线段 AB 的中点,△PBC 面积为△ABC 的面积的一半,所以△PBC 面积为 1. → → → 4. 在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点.若AC=λAE+μAF,其 中 λ、μ∈R,则 λ+μ=________. 4 答案: 3 1 λ+μ=1, 2 → → → → 1→ → → → 1→ 解析:AC=AB+AD,AE= AB+AD,AF=AB+ AD,于是得 2 2 1 λ+ μ=1, 2 4 所以 λ+μ= . 3 → → 5. (2011· 苏北四市调研)已知 a、b 是不共线的向量,若AB=λ1a+b,AC=a+λ2b(λ1、λ2 ∈R),则 A、B、C 三点共线的充要条件为________. 答案:λ1λ2-1=0 → → 解析:A、B、C 三点共线?AB∥AC?λ1λ2-1×1=0 ?λ1λ2=1. → → → → → 6. 设 e 是与向量AB共线的单位向量,AB=3e,又向量BC=-5e,若AB=λAC,则λ = ________. 3 答案:- 2 3 → → → → → 解析:AC=AB+BC=3e-5e=-2e,由AB=λ·AC,得 3e=λ·(-2)· e,∴λ=- . 2

? ? ?

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课时训练部分

→ 1→ 2→ → → 7. 已知平面内不共线的四点 O、 A、 B、 C 满足OB= OA+ OC, 则|AB|∶|BC|=________. 3 3 答案:2∶1 2→ → → 1→ 2→ → 2→ 2→ 2 → → → → 解析:由OA+AB= OA+ OC,AB= OC- OA= (AO+OC)= AC,|AB|∶|BC|= 3 3 3 3 3 3 2∶1. → → → → 8. 设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|, → 则|AM|=________. 答案:2 → → → → → → 解析:由|AB+AC|=|AB-AC|可知AB⊥AC,则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线, → 1→ 所以|AM|= |BC|=2. 2 9. 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值.

(第 9 题图)

→ → → → → → 解:设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=2e1+e2,因为 A、P、M → → → → 和 B、 P、 N 分别共线, 所以存在 λ、 μ∈R, 使AP=λAM=-λe1-3λe2, BP=μBN=2μe1+μe2. ? ?λ+2μ=2, → → → → → → 故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,而BA=BC+CA=2e1+3e2,所以? ?3λ+μ=3, ? 4 λ= , 5 所以 3 μ= , 5 4 → → → 1→ 所以AP= AM,所以PM= AM. 5 5 所以 AP∶PM=4∶1. → 4→ → 1→ → → → 10. 如图所示,已知AP= AB,AQ= AB,用OA、OB表示OP. 3 3

? ? ?

(第 10 题图)

4→ 1→ → → → → 4→ → 4 → → 解:OP=OA+AP=OA+ AB=OA+ (OB-OA)= OB- OA. 3 3 3 3 11. 设 a、b 是不共线的两个非零向量, → → → (1) 若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2) 若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.
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课时训练部分
→ → (1) 证明:∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=- → → → 2AB,∴AB与BC共线,且有公共端点 B,∴A、B、C 三点共线. (2) 解:∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ 使得(8a+kb)=λ(ka+2b),即(8-λk)a +(k-2λ)b=0,∵a 与 b 不共线, ? ?8-λk=0, ∴? ? 8=2λ2 ?λ=± 2, ∴k=2λ=± 4.第 2 课时 平面向量的基本定理及坐标 ?k-2λ=0 ? 表示 1. 已知向量 a=(1, 2), b=(1, 0), c=(3, 4), (a+λb)∥c, 若 λ 为实数, 则 λ=________. 1 答案: 2 1 解析:a+λb=(1+λ,2),又(a+λb)∥c,得(1+λ)×4-3×2=0,解得 λ= . 2 → → → 2. 设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若 A、 B、D 三点共线,则 p=________. 答案:-1 → → → → → → 解析:BD=BC+CD=2a-b,AB=2a+pb,由 A、B、D 三点共线得AB=λBD,即 2a ?2λ=2 ? +pb=2λa-λb,则有? ,即 p=-1. ? ?p=-λ → → → → 3. 在平行四边形 ABCD 中, 若AB=(1, 3), AC=(2, 5), 则AD=________, BD=________. 答案:(1,2) (0,-1) → → → → → → → 解析:AD=BC=AC-AB=(1,2),BD=AD-AB=(0,-1). → → → 4. 已知 AD 是△ABC 的中线,AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),那么 λ+μ=________. 答案:1 → → → → 1→ 1→ → → 解析:AD 是△ABC 的中线,所以 2AD=AB+AC,即AD= AB+ AC,又AD=λAB+ 2 2 1 1 → → → μAC(λ,μ∈R),AB、AC不共线,由平面向量基本定理,得 λ= ,μ= ,即 λ+μ=1. 2 2 5. 已知向量 a=(2, -1), b=(-1, m), c=(-1, 2), 若(a+b)∥c, 则实数 m=________. 答案:-1 解析:a+b=(1,m-1),c=(-1,2),又(a+b)∥c,则 1×2-(m-1)×(-1)=m+1 =0,即 m=-1. 6. 如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同 → → → → 的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n=________.

(第 6 题图)

答案:2 m → n→ m n → 1 → → 解析:AO= (AB+AC)= AM+ AN,∵ M、O、N 三点共线,∴ + =1,∴ m+n 2 2 2 2 2
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课时训练部分
=2. m 7. 已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则 =________. n 1 答案:- 2 解析:ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-(-2,4) 2m-n 3m+2n m =(4,-1).又 ma+nb 与 a-2b 共线,则有 = ,∴n-2m=12m+8n,∴ = 4 n -1 1 - . 2 → → → 8. (2011· 常州期末)设 e1、 e2 是夹角为 60°的两个单位向量. 已知OM=e1, ON=e2, OP= → → x· OM+y· ON(x、y 为实数).若△PMN 是以 M 为直角顶点的直角三角形,则 x-y 取值的集 合为________. 答案:{1} 1 3 解析:由题意可建立如图所示的直角坐标系,则 M(1,0),N? , ?, ?2 2 ? 3x0 3? 设 P?x0, , - 3 3? ? → 2x0 1 → 2x0 2 ∴ MN: 3x+y- 3=0,MP:x- 3y-1=0,∴ OM′= + ,ON′= - ,∴ x 3 3 3 3 -y=1,即所求集合为{1}.

(第 8 题图)

→ → → 9. 已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB.试问: (1) t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第二象限? (2) 四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → → → → → 解:(1) ∵ O(0,0),A(1,2),B(4,5),∴ OA=(1,2),AB=(3,3),OP=OA+tAB= (1+3t,2+3t). 2 若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3 ?1+3t<0, ? 2 1 若 P 在第二象限,则? 解得- <t<- . 3 3 ? ?2+3t>0, → → → → (2) ∵ OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),若四边形 OABP 为平行四边形,则 ?3-3t=1 ? → → OA=PB,而? 无解,∴ 四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?3-3t=2 ? 10. 已知 a=ksinθ ·e1+(2-cosθ )· e2,b=e1+e2,且 a∥b,e1、e2 分别是 x 轴与 y 轴 上的单位向量,θ∈(0,π ).求: (1) k 与 θ 的关系式; (2) k=f(θ)的最小值.
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课时训练部分
解:(1) 由 a∥b,得 a=λb,即 ksinθ·e1+(2-cosθ)· e2=λ(e1+e2).因为 e1=(1,0), ? ksin θ= λ , ? 2-cosθ e2=(0,1),所以? 即 ksinθ=2-cosθ,所以 k= ,θ∈(0,π). sinθ ?2-cosθ=λ, ? θ 2-?1-2sin2 ? 2? 2-cosθ ? (2) k= = sinθ θ θ 2sin cos 2 2 θ θ θ 3sin2 +cos2 1+3tan2 2 2 2 = = θ θ θ 2sin cos 2tan 2 2 2 3 θ 1 = tan + ≥ 3, 2 2 θ 2tan 2 π θ 3 当且仅当 tan = ,即 θ= 时等号成立,所以 k 的最小值为 3. 2 3 3 → → 11. 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 120°.如图所示,点 C 在以 → → → O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R,求 x+y 的最大值.

(第 11 题图)

1 3 解:以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴建立平面直角坐标系,则可知 A(1,0),B?- , ?, ? 2 2? 2 π 3 2 3 设 C(cosα,sinα)?α∈?0, ??,则有 x=cosα+ sinα,y= sinα,所以 x+y=cos 3 3 3 ?? ? ? π π α+ 3sinα=2sin?α+ ?,所以当 α= 时,x+y 取得最大值 2. 3 6? ? 第 3 课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例 1. 若 a=(2,3),b=(-4,7),若|c|= 26,且 a· b=a· c,则向量 c=________. 答案:(5,1)或(-1,5) 解析:设 c=(x,y),|c|= 26,∴x2+y2=26 ①,∵a· b=a·c,∴2×(-4)+3×7=2x ? ? x = 5 , x =- 1 , ? ? +3y ②,联立①②,解之得? 或? ?y=1 ?y=5. ? ? 2. 已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),则实数 m= ________. 29 答案: 42 解析: 由已知可得(3a+5b)· (ma-b)=0, 即 3ma2+(5m-3)a· b-5b2=0, 即 3m×32+(5m 29 -3)×3×2×cos60°-5×22=0,解得 m= . 42 3. 若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m=________. 答案:6 解析:依题意得 6-m=0,即 m=6.
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课时训练部分
3 4. 设向量 a,b 满足:|a|=1,a· b= ,|a+b|=2 2,则|b|=________. 2 答案:2 3 解析:由|a+b|=2 2,得|a+b|2=a2+2a· b+b2=8,又|a|=1,a· b= ,所以|b|2=4,即|b| 2 =2. 5. (2011· 苏北四市期末)设 a、b、c 是单位向量,且 a=b+c,则向量 a、b 的夹角等于 ________. π 答案: 3 π 1 解析:∵ a-b=c,∴ (a-b)2=c2,∴ cos〈a,b〉= ,∴ 〈a,b〉= . 2 3 → → → → → 6. (2012· 南京市三模)已知正△ABC 的边长为 1, CP=7CA+3CB, 则CP· AB=________. 答案:-2 π → → → → → → → → → → 解析: CP· AB=(7CA+3CB)· (CB-CA)=4CA· CB-7|CA|2+3|CB|2=4×1×1×cos - 3 7+3=-2. 7. (2011· 南京市三模)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,D 在斜边 BC 上,且 → → CD=2DB,则AB·AD=________.

(第 7 题图)

答案:24 2→ 1→ → → → → 1→ → 1 → → → → 解析:∵ AD=AB+BD=AB+ BC=AB+ (AC-AB)= AB+ AC,∴ AB·AD= 3 3 3 3 2→ 1→? 2 → 2 1→ → 2 → 2 2 → AB·? ?3AB+3AC?=3|AB| +3AB·AC=3|AB| =3×36=24. 8. (2012· 苏北四市三模)如图,△ABC 是边长为 2 3的等边三角形,P 是以 C 为圆心,1 → → 为半径的圆上的任意一点,则AP·BP的最小值为________.

(第 8 题图)

答案:1 → → → → → → → → → 解析:取 AB 中点 D,连结 CD,则CA+CB=2CD,∴ AP·BP=(AC+CP)· (BC+CP) π → → → → → →2 → → → → → =AC· BC+(AC+BC)· CP+|CP| =CA· CB-2CD· CP+1=(2 3)2cos -2×3×1×cos 〈CD, 3 → → → → → → → CP〉+1=7-6cos〈CD,CP〉 ,∴ 当〈CD,CP〉=0 时,AP·BP取得最小值为 7-6=1.
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课时训练部分
→ → 9. (2012· 苏州期中)如图所示,在平行四边形 OADB 中,向量OA=a,OB=b,两条对角 → 2→ → 2→ 线交点为 C,又BM= BC,CN= CD. 3 3 → (1) 试用 a、b 表示MN; → (2) 若|MN|= 3,|a|=2,|b|=6,求平行四边形 OADB 的面积.

(第 9 题图) → → → → 2→ → 2→ 解:(1) ∵ MN=MC+CN,而BM= BC,CN= CD, 3 3 1 1 1 1 1→ 1→ 1 1 → → → → → → → ∴ MN= BA+ OD= (OA-OB)+ (OA+OB)= OA+ OB= a+ b. 6 3 6 3 2 6 2 6 1 1 2? 1 2 1 2 1 → → 2 (2) 由(1)|MN|2=? ?2a+6b ?=4a +36b +6ab.∵ |a|=2,|b|=6,记∠AOB=θ,则|MN| 1 3 =2+2cosθ=3,即 cosθ= ,∴ 平行四边形 OADB 的面积为 2×6× =6 3. 2 2 → → → → 10. 在△ABC 中,AB⊥AC,|AB|=|AC|,M 是 BC 中点. → → → → (1) 求向量AB+2AC与向量 2AB+AC的夹角的余弦值; → → → → → (2) 若|BC|=2,O 是线段 AM 上任意一点,求OA·OB+OC·OA的最小值. → → → → 解 : (1) 设 向 量 AB + 2 AC 与 向 量 2 AB + AC 的 夹 角 为 θ , 则 cos θ = → → → → (AB+2AC)· (2AB+AC) 2a2+2a2 4 → → ,令|AB|=|AC|=a,则 cosθ= = . → → → → 5a· 5a 5 |AB+2AC|· |2AB+AC| → → → → → → → → (2) 由|BC|=2,得 |AB|=|AC|= 2,∴ |AM|=1,设|OA|=x 则|OM|=1-x,而OB+OC 2 1? 1 → → → → → → → → =2OM,所以OA·(OB+OC)=2OA·OM=2|OA|·|OM|cosπ=2x2-2x=2? ?x-2? -2,当 1 1 → → → 且仅且 x= 时,OA·(OB+OC)的最小值是- . 2 2 11. (2012· 南京市二模)设向量 a=(2,sinθ ),b=(1,cosθ ),θ 为锐角. 13 (1) 若 a· b= ,求 sinθ +cosθ 的值; 6

? π? (2) 若 a∥b,求 sin?2θ+ ?的值. 3? ? 13 1 解:(1) ∵ a· b=2+sinθcosθ= ,∴ sinθcosθ= .∴ (sinθ+cosθ)2=1+2sinθcos 6 6 4 2 3 θ= .又 θ 为锐角,∴ sinθ+cosθ= . 3 3 2sinθcosθ (2) ∵ a∥b,∴ 2cosθ=sinθ,∴ tanθ=2.∴ sin2θ=2sinθcosθ= 2 = sin θ+cos2θ 2tanθ cos2θ-sin2θ 1-tan2θ π 1 4 3 = ,cos2θ=cos2θ-sin2θ= 2 =- .∴ sin?2θ+ ?= 2 2 = 2 5 3? 2 ? tan θ+1 5 sin θ+cos θ tan θ+1 3 4-3 3 3 1 4 3 - ?= sin2θ+ cos2θ= × + ×? .第 4 课时 复 数 2 2 5 2 ? 5? 10

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课时训练部分
1. (2012· 无锡市期末)已知复数 z=i(3-i)(i 是虚数单位),则复数 z 的虚部为________. 答案:3 解析:z=1+3i,复数 z 的虚部为 3. i 2. 复数 (i 是虚数单位)的实部是________. 1+2i 2 答案: 5 2+i i 2 解析: = ,实部为 . 5 5 1+2i 3. (2012· 苏州市期末)若复数(a+i)2 对应点在 y 轴的负半轴上(其中 i 是虚数单位), 则实数 a=________. 答案:-1 2 ? ?a -1=0, 2 2 解析:(a+i) =(a -1)+2ai,由题意? ∴ a=-1. ?2a<0, ? z2-2z 4. 已知复数 z=1+i,则 =________. z-1 答案:2i z2-2z (1+i)2-2(1+i) 2i-2-2i 解析: = = =2i. i z-1 1+i-1 5. 设 i 是虚数单位,复数 z=tan45°-i·sin60°,则 z2=________. 1 答案: - 3i 4 3 1 解析:z=1- i,z2= - 3i. 2 4 a+3i 6. 若复数 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a=________. 1-2i 答案:6 a-6 =0, ? 5 a+3i a-6 3+2a 解析: = + i,由? 得 a=6. 5 5 1-2i 3+2a ? 5 ≠0, 15 - 7. (2012· 常州市期末)若 z ·z+z= +2i(i 为虚数单位),则复数 z=________. 4 1 答案:- +2i 2 15 1 - 解析:由 z ·z 为实数,设 z=a+2i(a∈R),则 a2+4+a+2i= +2i,∴ a2+a+ =0, 4 4 1 1 ∴ a=- ,∴ z=- +2i. 2 2 8. 复数 z1=3+4i, z2=0, z3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为 A、 B、 C, 若∠BAC 是钝角,则实数 c 的取值范围为________. 49 答案:c> 且 c≠9 11 解析:在复平面内三点坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得 49 → → AB·AC<0 且 B、A、C 三点不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0 解得 c> ,其中当 c 11

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课时训练部分
→ → =9 时,AC=(6,8)=-2AB,A、B、C 三点共线,故 c≠9. a2-7a+6 9. 已知复数 z= +(a2-5a-6)i(a∈R).试求当实数 a 为什么值时,z 分别为: a+1 (1) 实数;(2) 虚数;(3) 纯虚数. ?a2-5a-6=0, ? 解:(1) 当 z 为实数时,? ∴a=6,∴当 a=6 时,z 为实数. ?a+1≠0, ? 2 ? ?a -5a-6≠0, (2) 当 z 为虚数时,? ∴a≠-1 且 a≠6,故当 a∈R,a≠-1 且 a≠6 时, ?a+1≠0, ? z 为虚数. 2 ?a -5a-6≠0,
2 (3) 当 z 为纯虚数时,?a -7a+6=0 ,∴a=1,故 a=1 时,z 为纯虚数.

?

? ?a+1≠0,

→ 10. 已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为 A、B、C.若OC → → =xOA+yOB,求 x+y 的值. → → → 解:由题意得 A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2).又OC=xOA+yOB=x(-1,2)+y(1, -1)=(-x+y,2x-y)=(3,-2), ?-x+y=3, ?x=1, ? ? ∴? 解得? 故 x+y=5. ? ? ?2x-y=-2, ?y=4,

?z+1? 2 ?=1 且 z+z∈R 的复数 z. ?z-1? ?z+1?=1 得|z+1|=|z-1|,即|(a+1)+bi|=|(a-1)+bi|, 解:设 z=a+bi(a、b∈R),由? ? ?z-1?
11. 求满足? 2 2 ∴(a+1)2+b2=(a-1)2+b2,得 a=0,∴z=bi,又由 bi+ ∈R 得 b- =0,∴b=± 2,∴z bi b =± 2i.

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课时训练部分
第五章 数 列

第 1 课时 数列的概念及其简单表示法 1. (必修 5P32 习题 1(1)改编)数列 1,3,7,15,31,?的通项公式 an=________. 答案:an=2n-1 解析:联想到数列 2,4,8,16,32,64,?,∴1,3,7,15,31,63,?的各项分别 加上 1 就是上面数列,∴an=2n-1. 2. 已知数列{an}的第一项是 1,第二项是 1,以后各项由 an+2=an+1+an 给出,则这个数 列的前 6 项是________________. 答案:1,1,2,3,5,8 解析:列举 a3=a1+a2=2,a4=a3+a2=3,a5=a4+a3=5,a6=a5+a4=8. 3. 若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n,则 a6+a7+a8=________. 答案:45 解析:a6+a7+a8=S8-S5=80-35=45. 4. 数列 7,9,11,?,2n-1 的项数是_________. 答案:n-3 解析:易知 a1=7,d=2,设项数为 m,则 2n-1=7+(m-1)×2,m=n-3. 5. 已知数列{an}的首项 a1=1,且 an+1=2an+1,则 a5=_________. 答案:31 解析:解法 1:a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31. 解法 2:{an+1}是公比为 2 的等比数列,an=2n-1,∴a5=25-1=31. 1 6. 已知数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21= 2 ________. 7 答案: 2 1 1 1 解析:由 a1= -a2= -2,a2=2,a3= -2,a4=2,?,知数列为周期数列,周期 T 2 2 2 1 1 1 7 =2,a1+a2= ,∴S21=10× +a1=5+ -2= . 2 2 2 2 7. 若 an=p2n+r(其中 p, r 为实常数), a2=3, a5=31, 则数列{an}的通项公式为________. 答案:an=2n-1 ? ? ?4p+r=3, ?p=1, 解析:由已知得? 解得? 故 an=2n-1. ?32p+r=31, ?r=-1, ? ? an ? ? 2 ,an为偶数, 8. 已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=? 若 a4=4,则 m 所 ? 3a + 1 , a 为奇数 . n ? n 有可能的取值为________. 答案:4,5,32 7 解析:本题可以逆向推导.由 a4=4 可得 a3=8 或 1.(ⅰ) 若 a3=8,则 a2=16 或 (舍), 3 则 a1=32 或 5;(ⅱ) 若 a3=1,则 a2=2 或 0(舍),则 a1=4. 9. 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N*都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m 2 -n) .求 a3,a5. 解:令 m=1,n=2,得 a1+a3=2a2+2×(1-2)2,故 a3=6;令 m=3,n=1,得 a5+a1 =2a3+2(3-1)2,故 a5=20.
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课时训练部分
10. 已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n+4. (1) 数列中有多少项是负数? (2) n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 解:(1) 由 n2-5n+4<0,可知 1<n<4,又 n∈N*,∴n=2 或 n=3,所以数列中有两项是 负数. 5?2 9 5 * (2) 由 an=n2-5n+4=? ?n-2? -4,可知对称轴方程为 n=2.又 n∈N ,故 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,且最小值为-2. + 11. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 1-2. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn=an+an+1,求数列{bn}的通项公式. + 解:(1) 当 n=1 时,a1=S1=22-2=2;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1-2-(2n-2)= n+1 n n n 2 -2 =2 ;所以 an=2 . + + (2) 因为 bn=an+an+1,且 an=2n,an+1=2n 1,所以 bn=2n+2n 1=3·2n. 第 2 课时 等 差 数 列 1 1. 在等差数列{an}中,a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n=________. 3 答案:50 1 2 1 2 解析:∵ a1= ,a2+a5=4,∴d= ,an= +(n-1)× =33,∴n=50. 3 3 3 3 2. 已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则 a5=________. 答案:15 解析:∵a3+a8=a6+a5,∴22=7+a5,∴a5=15. 3. 在等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9=________. 答案:27 解析:∵a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,两式相减得 d=-2,∴a3+a6+a9=a2+a5+ a8+3d=33-6=27. 4. 在数 7 和-3 之间插入 6 个数后构成等差数列,则插入的 6 个数之和为________. 答案:12 10 解析:设公差为 d,-3=7+(8-1)· d,d=- ,∴插入 6 个数的和=S7-a1=12. 7 5. 若 lgx+lgx2+lgx3+?+lgx10=110,则 lgx+lg2x+lg3x+?+lg10x=________. 答案:211-2 2(1-210) 11 解析:由已知 lgx=2,∴lgx+lg2x+lg3x+?+lg10x=2+22+?+210= =2 1-2 -2. 6. 在递减的等差数列{an}中,若 a10+a11+a12=-3,a10a11a12=3,则数列的通项公式为 ________. 答案:an=21-2n 解析: 由 a10+a11+a12=-3 得 a11=-1, 又 a10a11a12=3, ∴(-1-d)· (-1)· (-1+d)=3, 又{an}递减,∴d=-2,∴an=21-2n. Sn 7n+45 an 7. 已知等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 = ,且 是整数,则 Tn n+3 b2n n=________. 答案:15 解析:设 Sn=An(7n+45),Tn=An(n+3),则可求得,an=A(14n+38),bn=A(2n+2),
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课时训练部分
n+16 an A(14n+38) an = =3+ ,∴ 当 n=15 时, 是整数. b2n A(4n+2) b2n 2n+1 ? 1 ? ? ? ?是等差数列,则 a8=________. 8. 在数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列? ? ?an+1? ? 11 答案: 13 ? 1 ? ? 1 1 1 1 解析:设? a +1?的公差为 d,由已知得 = +(7-3)×d,即 d= ,则 = 24 a7+1 a3+1 a8+1 ? ? n ? 1 1 1 13 11 +d= + = ,即 a8= . 2 24 24 13 a7+1 9. (2012· 山东)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 对任意 m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求数列{bm} 的前 m 项和 Sm. a9-a4 解:(1) 在等差数列{an}中,a3+a5=2a4,所以 a4=28,所以数列{an}的公差 d= = 9-4 73-28 =9,所以 an=a4+(n-4)d=28+9(n-4)=9n-8(n∈N*). 5 - - (2) 对 m∈N*, 若 9m<an<92m.则 9m+8<9n<92m+8, 因此 9m 1+1≤n≤92m 1.故得 bm=92m -1 - - - -9m 1,于是 Sm=b1+b2+b3+?+bm=(9+93+95+?+92m 1)-(1+9+92+?+9m 1)= 2m+1 m 9 -10×9 +1 . 80 10. 在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0. (1) 求数列的通项公式; (2) 设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn. 解:(1) ∵ an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an, ∴{an+1-an}为常数数列,∴{an}是以 a1 为首项的等差数列,设 an=a1+(n-1)d,a4=a1 2-8 +3d,∴d= =-2,∴an=10-2n. 3 (2) ∵an=10-2n,令 an=0,得 n=5.当 n>5 时,an<0;当 n=5 时,an=0;当 n<5 时, an>0.Tn=a1+a2+?+an,∴当 n>5 时,Sn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+a5-(a6+a7+? +an)=T5-(Tn-T5)=2T5-Tn;当 n≤5 时,Sn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+an=Tn. ?9n-n2,n≤5, ? ∴Sn=? 2 ? ?n -9n+40,n>5. 11. 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项和,且满足 a2 n= 1 * S2n-1,n∈N .数列{bn}满足 bn= ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和. an·an+1 ∴ (1) 求数列{an}的通项公式 an 和数列{bn}的前 n 项和 Tn; (2) 若对任意的 n∈N*,不等式 λTn<n+8· (-1)n 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 解:(1) 解法 1:在 a2 n=S2n-1 中,令 n=1,n=2, 2 2 ? ? a = S , a = a , ? 1 1 ? 1 1 得? 2 即? 解得 a1=1,d=2,∴ an=2n-1.又 an=2n-1 时, 2 ?a2=S3, ? ?(a1+d) =3a1+3d, ? 1 ? 1 1 1 1 - Sn=n2 满足 a2 ∴ an=2n-1.∵ bn= = = ? , n=S2n-1, anan+1 (2n-1)(2n+1) 2?2n-1 2n+1? 1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn= ?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1?= 2? ? 2n+1. a1+a2n-1 a1+a2n-1 解法 2∵ {an}是等差数列,∴ =an,∴ S2n-1= (2n-1)=(2n-1)an.由 a2 n 2 2 2 =S2n-1,得 an=(2n-1)an,∵ an≠0,∴ an=2n-1,则 a1=1,d=2.(Tn 求法同解法 1)
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课时训练部分
(2) ① 当 n 为 偶 数 时 , 要 使 不 等 式 λTn<n + 8 · ( - 1)n 恒 成 立 , 即 需 不 等 式 (n+8)(2n+1) 8 8 λ< =2n+ +17 恒成立.∵ 2n+ ≥8,等号在 n=2 时取得.∴ 此时 λ n n n 需满足λ<25. (n-8)(2n+1) ② 当 n 为奇数时, 要使不等式 λTn<n+8· (-1)n 恒成立, 即需不等式 λ< n 8 8 8 =2n- -15 恒成立.∵ 2n- 是随 n 的增大而增大,∴ n=1 时 2n- 取得最小值-6.∴ 此 n n n 时 λ 需满足 λ<-21.综合①②可得 λ 的取值范围是 λ<-21. 第 3 课时 等 比 数 列 1. 在等比数列{an}中,若 a2=2,a6=32,则 a4=________. 答案:8 解析:a6=a2·q4,∴q2=4,∴a4=a2q2=8. 2. 已知等比数列{an}的前三项依次为 a-2,a+2,a+8,则 an=________. 3?n-1 答案:8? ?2? 3?n-1 12 3 解析:(a+2)2=(a-2)(a+8),∴a=10,q= = ,an=8? ?2? . 8 2 3. 设在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9=________. 1 答案: 8 1 解析:∵S3,S6-S3,S9-S6 成等比,∴(S6-S3)2=(S9-S6)· S3,∴S9-S6= ,∴a7+a8 8 1 +a9=S9-S6= . 8 4. 已知正项等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 = 7a1 ,则等比数列 {an} 的公比为 ________. 答案:2 解析:a1+a2+a3=7a1,∴a1+a1q+a1q2=7a1,又 q>0,∴q=2. 5. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则等比数列{an}的公 比为________. 1 答案: 3 解析:设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),由 4S2=S1+3S3,得 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q +a1q2),即 3q2-q=0, 1 ∴ q= . 3 S10 6. 记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 =________. S5 答案:33 S6 解析:∵S3=2,S6=18,∴q≠1.∴ =1+q3=9,∴q=2, S3 S10 ∴ =1+q5=33. S5 7. 等比数列 {an} 的公比 q>0, 已知 a2 = 1 , an+ 2 + an + 1 = 6an,则 {an} 的前 4 项和 S4 = ________. 15 答案: 2
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课时训练部分
解析:由 an+2+an+1=6an,得 qn 1+qn=6qn 1,即 q2+q-6=0,q>0,解得 q=2.又 a2 1 ×(1-24) 2 1 15 =1,所以 a1= ,S4= = . 2 2 1-2 1 4 8. 已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am、an 使得 aman=4a1,则 + m n 的最小值为________. 3 答案: 2 - 2 解析:设公比为 q(q>0)由 a7=a6+2a5 得 q=2,∴an=a1·2n 1,又 aman=16a1 ,∴m+n n 4m? 1 1 4 1? 1 4? 1? 3 =6,∴ + = ?m+n?(m+n)= ?1+4+m+ n ?≥ ×(1+4+4)= . m n 6 6 6 2 9. 已知{an}是首项为 a1、 公比 q 为正数(q≠1)的等比数列, 其前 n 项和为 Sn, 且 5S2=4S4. (1) 求 q 的值; (2) 设 bn=q+Sn,请判断数列{bn}能否为等比数列?若能,请求出 a1 的值,若不能,请 说明理由. 5a1(1-q2) 4a1(1-q4) 解: (1) 由题意知 5S2=4S4, ∴ = , ∵a1≠0, q>0 且 q≠1, ∴4q4 1-q 1-q 1 -5q2+1=0,解得 q= . 2 n-1 a1(1-qn) 1? n-1 1 ?1? .要使{bn}为等比 (2) ∵Sn= =2a1-a1? , ∴ b = q + S = + 2a - a n n 1 1 ?2? ?2? 2 1-q n+1 1? 1 1 数列,当且仅当 +2a1=0,即 a1=- 时,bn=? ?2? 为等比数列,∴{bn}能为等比数列,此 2 4 1 时 a1=- . 4 10. (2011· 肇庆市质检)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=8,a1+a2+a3=38. (1) 求数列{an}的通项 an; (2) 设 Sn 为数列{an}前 n 项的和, 求满足 Sn>64 成立的最小的正整数 n. 3 5 解:(1) 设数列的公比为 q, 由 a1+a2+a3=38 得 8(1+q+q2)=38,得 q1= ,q2=- (舍 2 2 3 ?? ?n-1? 8· ??2? ? 3?n-1 3?n * ? ? 去),所以数列的通项为 an=8· (n ∈ N ) . (2) 因为 S = = 16· n ?2? ?2? -1, 解不 3 -1 2 ??3?n-1?>64, 得 n>3, 所以满足条件的最小正整数 n=4. 等式 16· ??2? ? 11. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1) 求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2) 设 bn= ,求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n (1) 解:∵S3=9+3 2,∴a2=3+ 2,∴d=2,∴an=1+ 2+(n-1)· 2=2n+ 2-1, n· (1+ 2+2n+ 2-1) 2 ∴Sn= =n + 2n. 2 Sn (2) 证明:∵bn= =n+ 2,假设数列{bn}存在不同的三项 bp,bq,bm 成等比数列,∴b2 q n 2 ? ?q =pm, =bp·bm,∴(q+ 2)2=(p+ 2)· (m+ 2),∴q2+2 2q=pm+ 2·(p+m),∴? ?2q=p+m, ? ∴(p-m)2=0,得 p=m,与 p≠m 矛盾,∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等 比数列.
+ -

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第 4 课时 数列的求和 1. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n =________. 答案:6 解析:由 a1=-11,a4+a6=-6,得 d=2,∴Sn=n2-12n=(n-6)2-36,∴n=6 时, Sn 最小. 2. 若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7=________. 答案:13 解析:由 S5=25 且 a2=3,得 a1=1,d=2,故 a7=a1+6d=13. 3. 设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an= ________. n(n+1) 答案: +1 2 解析:∵a1=2,an+1=an+n+1,∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,an-2 =an-3+(n-3)+1,?,a3=a2+2+1,a2=a1+1+1,a1=2=1+1,将以上各式相加得 an (n-1)[(n-1)+1] (n-1)n =[(n-1)+(n-2)+(n-3)+?+2+1]+n+1= + n+ 1 = 2 2 n(n+1) +n+1= +1. 2 4. (2012· 泰兴)已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数 n>1 时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1) 都成立,则 S5=________. 答案:21 解析: 由 Sn + 1 + Sn - 1 = 2(Sn + S1) 可得 (Sn + 1 - Sn) - (Sn - Sn - 1) = 2S1 = 2 ,即 an + 1 - an = 2(n≥2),即数列{an}从第二项起构成等差数列,则 S5=1+2+4+6+8=21.

? ?n-1,n为奇数, 5. 已知数列 an=? 则 S100=________. ?n,n为偶数, ? 答案:5000 解析:由题意得 S100=a1+a2+?+a99+a100=(a1+a3+a5+?+a99)+(a2+a4+?+a100) =(0+2+4+?+98)+(2+4+6+?+100)=5000. 6. 数列{an}为正项等比数列,若 a2=1,且 an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前 4 项和 S4=________. 15 答案: 2 - - 解析:设 an=a1qn 1=a2qn 2(q>0),又 an+an+1=6an-1,∴q2+q-6=0,∴q=2,∴S4 1 15 = +1+2+4= . 2 2
2 1 7. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 Sn= an- .若 1<Sk<9(k∈N*),则 k 3 3 =________. 答案:4 1? 2 1 1 1 n-1 解析:Sn= (Sn-Sn-1)- (n≥2),∴Sn+ =-2? ?Sn-1+3?,∴Sn=-(-2) -3.∵1<Sk 3 3 3 <9,k∈N*, ∴k=4. 8. 各项都为正数的数列{an},其前 n 项的和为 Sn,且 Sn=( Sn-1+ a1)2(n≥2),若 bn

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课时训练部分
an+1 an + ,且数列{bn}的前 n 项的和为 Tn,则 Tn=________. an an+1 4n2+6n 答案: 2n+1 解析:因 Sn- Sn-1= S1,叠加可得 Sn=n S1,即 Sn=n2a1,所以 an=Sn-Sn-1=(2n 2n+1 2n-1 2 2 -1)a1,bn= + =2+ - , 2n-1 2n+1 2n-1 2n+1 2 2 ? 2 2 2 2 4n2+6n 2 - 2+ - ?+?2+ - ?+?+?2+ Tn=? = 2n + 2 - = . ? 1 3? ? 3 5? ? 2n-1 2n+1? 2n+1 2n+1 9. 已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0. (1) 求{an}的通项公式; (2) 若等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前 n 项和公式. ?a1+2d=-6 ? 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d.因为 a3=-6,a6=0,所以? ,解得 a1=- ?a1+5d=0 ? 10,d=2,所以 an=-10+(n-1)· 2=2n-12. (2) 设等比数列{bn}的公比为 q,因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24, b1(1-qn) 即 q=3,所以{bn}的前 n 项和公式为 Sn= =4(1-3n). 1-q ? 10. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点 Pn(n, Sn)(n∈N )在函数 f(x)=-x2+7x 的图象上. (1) 求数列{an}的通项公式及 Sn 的最大值; ? (2) 令 bn= 2an,其中 n∈N ,求{nbn}的前 n 项和. ? 解:(1) 因为点 Pn(n,Sn)(n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上,所以有 Sn=-n2+7n,当 n ? =1 时,a1=S1=6,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,∴an=-2n+8(n∈N ).令 an=- ? 2n+8≥0 得 n≤4,∴当 n=3 或 n=4 时,Sn 取得最大值 12,综上,an=-2n+8(n∈N ), 当 n=3 或 n=4 时,Sn 取得最大值 12. bn+1 1 - + - + (2) 由题意得 b1= 26=8,bn= 2 2n 8=2 n 4,所以 = ,即数列{bn}是首项为 8、 bn 2 1?n-1 1 4-n 3 2 公比为 的等比数列,即 bn=8? ?2? =2 ,故{nbn}的前 n 项和 Tn=1×2 +2×2 +?+n× 2 1 1 - + - + - + 2 n 4 ①, Tn=1×22+2×2+?+(n-1)×2 n 4+n×2 n 3 ②,所以①-②得 Tn=23+ 2 2 n 1 ?1-? ? ? 16· ? ? 2? ? -n+4 -n+3 - - 2 2 +?+2 -n×2 ,∴Tn= -n· 24 n=32-(2+n)24 n. 1 1- 2 f(x) , 3(x≥0)成等差数列,又在数列{an}(an>0)中 a1=3,此数列的前 2 * n 项的和 Sn(n∈N )对所有大于 1 的正整数 n 都有 Sn=f(Sn-1). (1) 求数列{an}的第 n+1 项; 1 1 (2) 若 bn是 , 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. a an+1 n 11. 已知 x, f(x) f(x) , 3(x≥0)成等差数列, ∴ ×2= x+ 3, ∴ f(x)=( x 2 2 + 3)2,∴ Sn=f(Sn-1)=( Sn-1+ 3)2,∴ Sn= Sn-1+ 3,即 Sn- Sn-1= 3, ∴ { Sn}是以 3为公差的等差数列. ∵ a1=3, ∴ S1=a1=3, ∴ Sn= S1+(n-1) 3= 3+ 3n- 3= 3n,∴ Sn=3n2(n∈N+).∴ an+1=Sn+1-Sn=3(n+1)2-3n2=6n+3. 1 1 (2) ∵ 数列 bn是 , 的等比中项, an+1 an 解: (1) ∵ x,
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课时训练部分
∴ ( bn)2= 1 1 ? 1 1 1 1 1 - · , ∴ bn= = = ? .∴ T n an+1 an an+1an 3(2n+1)×3(2n-1) 18?2n-1 2n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 =b1+b2+?+bn= 1- + - +?+ - = ?1-2n+1?. 18 3 3 5 ? 2n-1 2n+1 18?

第 5 课时 数列的综合应用 1. 已知等差数列{an}的公差为 2,且 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=________. 答案:-6 2 解析:a3 =a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8,所以 a2=-6. 2. 已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中 5 项为 ,则 S5=________. 4 答案:31 解析:设{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,a2·a3=a1·a4=2a1,即 a4=2.由 a4 5 5 5 1 1 a 1 1 2× -a4?= .∴q3= 7= ,即 q= .a4= 与 2a7 的等差中项为 ,得 a4+2a7=2× ,∴a7= ? 4 ? 4 4 4 2? a4 8 2 1 3 a1q =a1× =2,∴a1=16, 8 1? 16? ?1-25? S5= =31. 1 1- 2 3. 已知{an}是公比为 q 的等比数列,若 a4,a5+a7,a6 成等差数列,则 q=________. 1 答案: 2 解析:a4,a5+a7,a6 成等差数列,∴2(a5+a7)=a4+a6, 1 ∴ 2(a4q+a6q)=a4+a6,∴q= . 2 4. 已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则这个等比数 列的公比是________. 答案:3 a5 2 解析:a5 =a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d),即 a1d-2d2=0.又 d≠0,∴a1=2d.公比 q= a1 6d = =3. 2d a3+a4 1 5. 已知数列{an}是各项都是正数的等比数列,若 a2, a3,2a1 成等差数列,则 = 2 a4+a5 ________. 1 答案: 2 1 解析:2× a3=2a1+a2, 即 a1q2=2a1+a1q,q2-q-2=0,解得 q=-1 或 2.∵an>0,q>0, 2 a3+a4 a3+a4 1 1 ∴q=2. = = = . a4+a5 (a3+a4)q q 2 ? 6. 已知等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项的和为 Sn(n∈N ).若 a1>1, a4>3,S3≤9,则通项公式 an= ________. 答案:n+1

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课时训练部分

? a1>1, ? ?a1+3d>3, ? 解析:由?a4>3, 得? a1+d≤3, ? ?S3≤9, ?
a1>1,
1

?a ,d∈Z,

∴a1=2,d=1,∴an=a1+(n-1)d=n+1. 7. 如图,将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的 第一列 a1,a2,a5,?构成一个公比为 2 的等比数列,从第 2 行起,每一行都是一个公差为 d 的等差数列.若 a4=5,a86=518,则 d=________. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ? (第 7 题图) 答案:1.5 解析:第 2 行成公差为 d 的等差数列,可得:a2=a4-2d=5-2d,第 n 行的数的个数为 n(1+2n-1) 2 2n-1,从第 1 行到第 n 行的所有数的个数总和为 =n ,86=92+5,第 10 行 2 的前几个数为:a82,a83,a84,a85,a86,?,所以 a86 是第 10 行第 5 个数,所以 a82=a86-4d =518-4d.第一列 a1,a2,a5,a10,a17,a26,a37,a50,a65,a82,?构成一个公比为 2 的等比 数列,故有 a82=a2·28 ? 518-4d=(5-2d)· 28,解得 d=1.5. 8. 各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d>0)的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列,若 a4-a1=88,则 q 的所有可能的值构成的集合为 ________. ?5 8? 答案:?3,7? ? ? 解析:设这四个数为 a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中 a1,d 均为正偶数,则(a1+2d)2 4d(22-d) =(a1+d)(a1+88),整理得 a1= >0(注意体会这里用“a1>0”而不用“a1≥2”的好 3d-88 88 处, 实际是一种估算能力), 所以(d-22)(3d-88)<0, 即 22<d< , 所以 d 的所有可能值为 24, 3 5 208 26,28.当 d=24 时,a1=12,q= ;当 d=26 时,a1= (舍去);当 d=28 时,a1=168,q 3 5 8 ?5 8? = ,所以 q 的所有可能值构成的集合为?3,7?. 7 ? ? 9. 已知等差数列{an}中,首项 a1=1,公差 d 为整数,且满足 a1+3<a3,a2+5>a4;数列 1 {bn}满足 bn= ,其前 n 项和为 Sn. an·an+1 (1) 求数列{an}的通项公式 an; (2) 若 S2 为 S1、Sm(m∈N*)的等比中项,求正整数 m 的值. ? ?a1+3<a1+2d, 3 5 解:(1) 由题意,得? 解得 <d< .又 d∈Z,∴d=2. 2 2 ?a1+d+5>a1+3d, ? ∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. 1 1 (2) ∵bn= = an·an+1 (2n-1)(2n+1) 1 1 1 ? 1? 1 1 1 1 1? 1 1 - 1- ? + ? - ? + ? + ? = 2n-1-2n+1? , ∴Sn = ? = 1-2n+1? = 3 3 5 2n - 1 2n + 1 ? ? ? ? 2? 2 2 ? ? ? ? ? n 1 2 m ? .∵S1= ,S2= ,Sm= ,S2 为 S1、Sm(m∈N )的等比中项, 3 5 2n+1 2m+1
72

课时训练部分
2 m ?2? 1 ∴S2 2=SmS1,即 5 = · ? ? 3 2m+1,解得 m=12. 10. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a5+a13=34,S3=9. (1) 求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式; an (2) 设数列{bn}的通项公式为 bn= ,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm(m≥3, an+t

m∈N*)成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由. ?a5+a13=34, ? ?a1+8d=17, ? 解 : (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d. 由 已 知 得 ? 即? 解得 ? ? ?3a2=9, ?a1+d=3, ?a1=1, ?
? ?d=2. ?

故 an=2n-1,Sn=n2. 2n-1 3 (2) 由(1)知 bn= .要使 b1,b2,bm 成等差数列,必须 2b2=b1+bm,即 2× = 2n-1+t 3 +t 2m-1 1 4 + ,整理得 m=3+ .因为 m,t 为正整数,所以 t 只能取 2,3,5.当 t=2 时, 1+t 2m-1+t t-1 m=7;当 t=3 时,m=5;当 t=5 时,m=4.故存在正整数 t,使得 b1,b2,bm 成等差数列. 11. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*). (1) 若 bn=an+1-2an,求 bn; 1 (2) 若 cn= ,求{cn}的前 6 项和 T6; an+1-2an an (3) 若 dn= n,证明{dn}是等差数列. 2 解:(1) ∵ a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),∴ Sn+2=4an+1+2,∴ an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+ 1-an),∴ an+2-2an+1=2(an+1-2an),即 bn+1=2bn,∴ {bn}是公比为 2 的等比数列,且 b1= a2-2a1.∵ a1=1,a2+a1=S2,即 a2+a1=4a1+2,∴ a2=3a1+2=5,∴ b1=5-2=3, - ∴ bn=3· 2n 1. 1 1 1 1 1 1 1?n-1 1 (2) cn= = = n-1,c1= 1-1= ,∴ cn= ·? ,∴ {cn}是首项为 ,公 2 ? ? b 3 3 3 an+1-2an 3· 2 3· 2 n 1 比为 的等比数列, 2 6 1? ?1? ? 1 - 3? ?2? ? 2? 1 21 ∴ T6= = ?1-64? ?=32. 1 3 1- 2 an+1 an an+1-2an bn an - (3) 证明:∵ dn= n,bn=3· 2n 1,∴ dn+1-dn= n 1- n= = n 1,即 dn+1-dn 2 2+ 2 2n+1 2+ 3· 2n-1 3 = n 1 = ,∴ {dn}是等差数列. 4 2+

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课时训练部分
第六章 不 等 式

第 1 课时 一元二次不等式及其解法 1. 不等式 x2>x 的解集是________ . 答案:(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:∵x2-x>0,∴x(x-1)>0,∴解集为{x|x>1 或 x<0}. 1 2. 不等式 x> 的解集为 ________. x 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 1 解析:∵x- >0, x 2 2 2 ?x -1>0, ? ?x -1<0, ? x -1 ∴ >0,∴? 或? x ?x>0 ?x<0, ? ? ∴解集为{x|x>1 或-1<x<0}. 3. 若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集为(1,m),则实数 m=________ . 答案:2 解析:由题意易知 1、m 为 ax2-6x+a2=0 的根且 a>0,m>1,∴a=2,m=2. 4. 已知集合 A={x|x2-3x-4>0},B={x||x-3|>4},则 A∩(?RB)为________. 答案:(4,7] 解析:A={x|x<-1 或 x>4},B={x|x<-1 或 x>7},?RB={x|-1≤x≤7},A∩(?RB) =(4,7]. 5. 当 x∈(1,3)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 答案:(-∞,-5] 解析:解法 1:设 f(x)=x2+mx+4 或不等式 x2+mx+4<0 在 x∈(1,3)时恒成立,则 ?f(1)≤0, ? 4 ? x+ ?在 x∈(1,3)恒成立,故 m≤-5. 解得 m≤-5.解法 2:m<-? ? x? ?f(3)≤0, ? 6. (2011· 菏泽市质检)不等式 x(x-a+1)>a 的解集是{x|x<-1 或 x>a},则实数 a 的取值范 围是________. 答案:a≥-1 解析:由 x(x-a+1)>a,得(x+1)(x-a)>0.∵不等式 x(x-a+1)>a 的解集为{x|x<-1 或 x>a},∴a>-1. 又 a=-1 也成立. 7. 在△ABC 中,三内角∠A、∠B、∠C 所对边的长分别为 a、b、c.已知 B=60°,不 等式-x2+6x-8>0 的解集为{x|a<x<c},则 b=________. 答案:2 3 1 解析:易知 a=2,c=4,b2=a2+c2-2accosB=42+22-2×4×2× =12,故 b=2 3. 2 8. (2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的值域为[0,+∞).若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. 答案:9 解析:根据函数 f(x)=x2+ax+b≥0,得到 a2-4b=0,因为关于 x 的不等式 f(x)<c,可 化为:x2+ax+b-c<0,它的解集为(m,m+6),设函数 f(x)=x2+ax+b-c 图象与 x 轴的交 点的横坐标分别为 x1, x2, 则|x2-x1|=m+6-m=6, 从而, (x2-x1)2=36, 即(x1+x2)2-4x1x2 =36.又 x1x2=b-c,x1+x2=-a,代入得 c=9. 9. 已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集为 B. (1) 求 A∩B; (2) 若不等式 x2+ax+b<0 的解集为 A∩B,求不等式 ax2+x+b<0 的解集.
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课时训练部分
解:(1) 由 x2-2x-3<0,得-1<x<3,所以 A=(-1,3).由 x2+x-6<0,得-3<x<2, 所以 B=(-3,2).∴A∩B=(-1,2). ?1-a+b=0, ?a=-1, ? ? (2) 由不等式 x2+ax+b<0 的解集为(-1,2),所以? 解得? ?4+2a+b=0, ?b=-2, ? ? 2 ∴-x +x-2<0,解得解集为 R. 10. 已知 a∈R,解关于 x 的不等式 ax2-2(a+1)x+4>0. 2? 解:原不等式等价于(ax-2)(x-2)>0,当 a=0 时,x<2;当 a<0 时,? ?x-a?(x-2)<0,由 2? 1-a 2 2 2 2 <0<2 知 <x<2;当 a>0 时,? ?x-a?(x-2)>0,考虑a-2=2· a ;当 0<a<1 时,a>2,故 x<2 a a 2 2 2 2 或 x> ;当 a=1 时, =2,故 x≠2;当 a>1 时, <2,故 x< 或 x>2.综上所述:当 a<0 时, a a a a 2 ? 该不等式的解集为? ?a,2?;当 a=0 时,该不等式的解集为(-∞,2);当 0<a<1 时,该不等 2 2? ? ? 式的解集为(-∞,2)∪? ? a,+∞?;当 a≥1 时,该不等式的解集为?-∞,a?∪(2,+∞).
2 ? ?x -x-2>0, 11. 关于 x 的不等式组? 的整数解的集合为{-2},求实数 k 的取 ?2x2+(2k+5)x+5k<0 ?

值范围. 解:不等式 x2-x-2>0 的解集为{x|x>2 或 x<-1},不等式 2x2+(2k+5)x+5k<0 可化为 5 ? ? - <x<-k?.∵不等式组的整 (x+k)(2x+5)<0, 由题意可得 2x2+(2k+5)x+5k<0 的解集为?x? ? ? 2 ? 数解的集合为{-2},∴-2<-k≤3,即-3≤k<2. 第 2 课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 x+y≤4, ? ? 1. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x, 则点 P 到直线 4x+3y+1=0 的距离的最 ? ?x≥1, 大值是________. 答案:3 解析:由题意结合可行域可知,P(2,2)到直线 4x+3y+1=0 的距离最大,由点到直线 的距离公式可计算出 d=3. x-y+1≥0, ? ? 2. (2012· 全国卷)若 x, y 满足约束条件?x+y-3≤0, 则 z=3x-y 的最小值为________. ? ?x+3y-3≥0, 答案:-1 解析:作出不等式所表示的区域如图,由 z=3x-y 得 y=3x-z,平移直线 y=3x,由图 象可知当直线经过点 C(0,1)时,直线 y=3x-z 的截距最大,此时 z 最小,最小值为 z=3x -y=-1.

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课时训练部分

(第 2 题图)

x+2y-5>0, ? ? 3. 设实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7>0,若 x、y 为整数,则 3x+4y 的最小值是 ? ?x≥0,y≥0, ________. 答案:13
?x+2y-5=0, ? ?x=3, ? 解析:作出可行域,由? 得? x,y 为整数,所以 x=3,y=1,zmin ?2x+y-7=0, ? ?y=1, ? =3×3+4×1=13. 4. 设变量 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 x+2y 的最大值为________. 答案:2 解析:不等式|x|+|y|≤1 对应的区域如图所示,经过点(0,1)时 x+2y 的最大值为 2.

(第 4 题图)

y≥1, ? ? 5. 已知实数 x,y 满足?y≤2x-1 ,如果目标函数 z=x-y 的最小值为-1,则实数 m ? ?x+y≤m, =________. 答案:5 解析:画出可行域便知,当直线 x-y-z=0 通过直线 y=2x-1 与 x+y=m 的交点 m+1 2m-1 m + 1 2m-1? ? ? 3 , 3 ?时,函数 z=x-y 取得最小值,∴ 3 - 3 =-1,解得 m=5. y≥x, ? ? 6. 设 m>1 在约束条件?y≤mx,下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值 ? ?x+y≤1 范围为________. 答案:(1,1+ 2)
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课时训练部分
?y=x, ? ?y=x, ?y=mx, ? ? ? ? 解析: 画出可行域, 或分别解方程组? 得到三个区域端点(0, ? ?y=mx,? ?x+y=1,? ?x+y=1 m ? 1 1? ? 1 ? 1 , m ? , 0),? ?2,2?,?m+1 m+1?,当且仅当直线 z=x+my 过点?m+1 m+1?时,z 取到最大值 m2+1 z= <2,解得 m∈(1,1+ 2). m+1

y≥0, ? ? ? ? ? ? 7. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N,其中区域 M=?(x,y)?y≤x, ?,区域 N= ? ? ? ?y≤2-x? ? {(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1},区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示,则 f(t)的表达式 为________. 1 答案:-t2+t+ 2 ?y≥0, 解析:作出不等式组?y≤x, 所表示的平面区域.由 t≤x≤t+1,0≤t≤1,得 f(t)=S△

?

? ?y≤2-x

OEF-S△AOD-S△BFC=1-

12 1 1 t - (1-t)2=-t2+t+ . 2 2 2

(第 7 题图)

? ?3≤2x+y≤9, 8. (2011· 全国 ) 若变量 x , y 满足约束条件 ? 则 z = x + 2y 的最小值为 ?6≤x-y≤9, ? ________. 答案:-6 ? ?y=-2x+3, 解析:作出可行域如下图阴影部分所示,由? ?y=x-9, ? 解得 A(4,-5).当直线 z=x+2y 过 A 点时 z 取最小值,将 A(4,-5)代入,得 z=4+ 2×(-5)=-6.

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课时训练部分

(第 8 题图)

9. (2011· 四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 t 的甲型卡车 和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 t 的货物,派用的每辆车需满载且 只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙 型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司怎样合理计划当天派用两类卡车的 车辆数,可得最大利润 z,z 值是多少? 解:设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为 x,y,则根据条件得 x,y x+y≤12,

? ?2x+y≤19, 满足的约束条件为?10x+6y≥72, 目标函数 z=450x+350y-z.作出约束条件所表示的平 x≤8,y≤7, ? ?x∈N ,y∈N ,
? ?

面区域,然后平移目标函数对应的直线 450x+350y-z=0 知,当直线经过直线 x+y=12 与 2x+y=19 的交点(7,5)时,目标函数取得最大值,即 z=450×7+350×5=4900. 故当天派甲型卡车 7 辆,乙型卡车 5 辆时,可得最大利润 z 为 4900 元. 10. 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 300 万吨,需经过东车站和西车站 两个车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤,西车站每年最多能运 360 万吨煤,甲 煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/吨和 1.5 元/吨, 乙煤矿运往东车站和西车站 的运费价格分别为 0.8 元/吨和 1.6 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少? 解:设甲煤矿向东车站运 x 万吨煤,乙煤矿向东车站运 y 万吨煤,那么总运费 z=x+ 1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y)(万元), 即 z=780-0.5x-0.8y. x≥0,

?y≥0, ?200-x≥0, x、y 应满足? 300-y≥0, ?x+y≤280, ?200-x+(300-y)≤360,

作出上面的不等式组所表示的平面区域. 设直线 x+y=280 与 y 轴的交点为 M, 则 M(0, 280),把直线 l:0.5x+0.8y=0 向上平移至经过平面区域上的点 M 时,z 的值最小.∵点 M 的坐标为(0,280),∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运 280 万吨向西车 站运 20 万吨时,总运费最少.

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课时训练部分

(第 10 题图)

11. 某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知 木工做一张 A、 B 型桌子分别需要 1 h 和 2 h, 漆工油漆一张 A、 B 型桌子分别需要 3 h 和 1 h; 又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 h 和 9 h,而工厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张,才能获得利润最大? ?x+2y≤8, 解:设每天生产 A 型桌子 x 张,B 型桌子 y 张,则?3x+y≤9,

?

? ?x≥0,y≥0,

目标函数为:z=2x+3y, 作出可行域: 把直线 l:2x+3y=0 向右上方平移至 l′的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点 距离最大,此时 z=2x+3y 取最大值. ?x+2y=8, ? 解方程组? 得 M 的坐标为(2,3). ?3x+y=9, ? 故每天应生产 A 型桌子 2 张,B 型桌子 3 张才能获得最大利润.

第 3 课时 基本不等式 5 1 1. 已知 x> ,则函数 y=4x+ 的最小值为________. 4 4x-5 答案:7 解析: y=4x+ 取等号. p 2. 已知函数 f(x)=x+ (p 为常数且 p>0),若 f(x)在区间(1,+∞)上的最小值为 4,则 x-1 实数 p 的值为________. 9 答案: 4 p (x-1)· + x- 1 9 1=2 p+1,又 f(x)在区间(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 1 3. (2011· 重庆)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=________. x-2 答案:3 解析:∵x>2,∴f(x)=x+ 1 1 =(x-2)+ +2≥2 x-2 x-2
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1 1 1 3 =(4x-5)+ +5≥2+5=7.当且仅当 4x-5= , 即 x= 时 2 4x-5 4x-5 4x-5

p p 解析:∵x>1,∴x-1>0,所以 f(x)=x+ =(x-1)+ +1≥2 x-1 x-1

1 (x-2)· +2=4,当且仅 x-2

课时训练部分
1 当 x-2= ,即 x=3 时取等号. x-2 x y + 4. 已知 x、y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 答案:3 x y xy x y x y 3 解析: + =1≥2 ·,即 xy≤3,当且仅当 = 且 + =1,即 x= ,y=2 等号成立. 3 4 34 3 4 3 4 2 1 4 5. (2011· 重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是________. a b 9 答案: 2 b 4a ? ? a= b , 1 4? 1? b 4a? 5 1 4 1 b 4a 9 2 ? 解析: + = (a+b)?a+b?= ?5+a + b ?≥ + · = .当且仅当? 即 a= , a b 2 2 2 a b 2 3 ? ?a+b=2, 4 9 b= 时取到等号.∴ymin= . 3 2 6. (2011· 浙江)若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 2 3 答案: 3 x+y?2 4 2 解析:∵x2+y2+xy=1,∴(x+y)2-xy=1,即(x+y)2-? ? 2 ? ≤1,∴(x+y) ≤3,x 2 3 +y≤ . 3 7. 以下命题中正确的是________(填序号). ①若 a2+b2=8,则 ab 的最大值为 4;②若 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 ab 的最大值为 4; 1 1 2a ③若 a>0,b>0,且 a+b=4,则 + 的最小值为 1;④若 a>0,则 2 的最小值为 1. a b a +1 答案:①③ a2+b2 解析:由①知,a2+b2=8,∴ab≤ =4 成立(当且仅当 a=b=2 或 a=b=-2 时, 2 取等号).由②知 4=2a+b≥2 2ab,∴ 2ab≤2,∴ab≤2,故②不正确.由③可知,a+b= a b 1 1 1 1a b 1 b a 1 1 b a 1 1 4, ∴ + =1.∴ + = + + = + + + ≥ +2 · = + =1(当且仅当 a=b=2 4 4 a b a b4 4 4 4a 4b 4 2 4a 4b 2 2 2a 2a 2a 时取等号), 故③正确. 由④中 2 ≤ =1(当且仅当 a=1 时取等号), 故 2 的最大值是 1, a +1 2a a +1 故④不正确,故正确的有①③. 8. 一批材料可以建成 200m 长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场 地,中间隔成 3 个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形最大总面积为________.

(第 8 题图)

答案:2500m2 解析:设 3 个面积相等的每个矩形长 am,宽 bm,如题图所示,则 4a+3b=200,∴4a +3b=200≥4 3ab,即 3ab≤2500.故围成的矩形最大总面积为 S=3ab≤2500. 9. (2011· 北京)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元,若每批生产 x
80

课时训练部分
x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产 8 准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品多少件? 解:记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 f(x),则 f(x)= x 800+ · x· 1 8 800 x 800 x 800 x = + ≥2 ·=20,当且仅当 = ,即 x=80 件(x>0)时,取最小值. x x 8 x 8 x 8 10. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休 闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000m2,人 行道的宽分别为 4m 和 10m.求: (1) 若设休闲区的长 A1B1=xm,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式; (2) 要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?

(第 10 题图)

4000 ? 4000 80000 解:(1) 由 A1B1=x,知 B1C1= ,S=(x+20)? ? x +8?=4160+8x+ x (x>0). x 80 000 80000 80000 (2) S=4 160+8x+ ≥4160+2 8x· =5760,当且仅当 8x= 即 x=100 x x x 时取等号,∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100m、宽为 40m. 11. 经过长期观测得到: 在交通繁忙的时段内, 某公路段汽车的车流量 y(千辆/小时)与汽 920v 车的平均速度 v(千米/小时)之间的函数关系为:y= 2 (v>0). v +3v+1 600 (1) 在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保 留分数形式) (2) 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 920 920 920 解:(1) 依题意,y= ≤ = , 1 600 83 3 + 2 1 600 ? 3+? ?v+ v ? 1 600 920 当且仅当 v= ,即 v=40 时,上式等号成立,所以 ymax= 千辆/小时. v 83 920v 2 (2) 由条件得 2 >10,整理得 v -89v+1 600<0,即(v-25)(v-64)<0,解得 v +3v+1 600 25<v<64. 故当 v=40 千米/小时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/小时.如果要求在该时 段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小时.

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课时训练部分
第七章 推理与证明

第 1 课时 合情推理与演绎推理 1. 一 个 同 学 在 电 脑 中 打 出 如 下 图 形 (○ 表 示 空 心 圆 , ● 表 示 实 心 圆)○●○○●○○○●○○○○,若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那 么前 2009 个圆中实心圆的个数为________. 答案:61 解析:将这些圆分段处理,第一段两个圆,第二段三个圆,第三段四个圆,?可以看出 每一段的最后一个圆都是实心圆,由于本题要求前 2009 个圆中实心圆的个数,因此,找到第 2+62 2009 个圆所在的段数很重要,由 2+3+?+62= ×61=1952<2009,而 2+3+?+63 2 2+63 = ×62=2015>2009,因此,共有 61 个实心圆. 2 1?n ? 1?n 2 n 2. 设 n≥2,n∈N,? ?2x+2? -?3x+3? =a0+a1x+a2x +?+anx ,将|ak|(0≤k≤n)的最 1 1 1 1 小值记为 Tn,则 T2=0,T3= 3- 3,T4=0,T5= 5- 5,?,Tn,?,其中 Tn=________. 2 3 2 3 0,当n为偶数时 ? ? 答案:? 1 1 ? ?2n-3n,当n为奇数时 1 1 1 1 解 析 : 观 察 T2 = 0 , T3 = 3 - 3 , T4 = 0 , T5 = 5 - 5 , ? , Tn , ? 得 Tn = 2 3 2 3 ?0,当n为偶数时,

? ?1 1 ? ?2n-3n,当n为奇数时.

3. 以下推理正确的是________(填序号). ①把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay; ②把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有 sin(x+y)=sinx+siny; ③把(ab)n 与(x+y)n 类比,则有(x+y)n=xn+yn; ④把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有(xy)z=x(yz). 答案:④ 解析:逐个验算可知只有④正确. ?Sn? d 4. 若等差数列{an}的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 则数列? n ?为等差数列, 公差为 .类似地, 2 ? ? n 若各项都为正数的等比数列{bn}的公比为 q,前 n 项积为 Tn,则数列{ Tn}为等比数列,公 比为________. 答案: q Sn d n 解析:由 =a1+(n-1)× ,类似地, Tn=a1q n 2
(n-1)(1+n-1) 2n

=a1( q)n

-1

即可得到数列

n { Tn}为等比数列,公比为 q. 5. 已知命题:平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 的顶点 A(-p,0)和 C(p,0),顶点 B 在 sinA+sinC 1 x2 y2 椭圆 2+ 2=1(m>n>0,p= m2-n2)上,椭圆的离心率是 e,则 = .试将该命题 m n sinB e 类比到双曲线中,给出一个真命题是____________________________________________. x2 答案:在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点 A(-P,0)和 C(P,0),顶点 B 在双曲线 2- m
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课时训练部分
sinA+sinC 1 y2 =1(m>0,n>0,p= m2+n2)上,双曲线的离心率是 e,则 = n2 sinB e sinA+sinC |AB|+|BC| 2a ||AB|-|BC|| 解析:由正弦定理和椭圆定义 = = ,类比双曲线应有 sinB |AC| 2c |AC| |sinA-sinC| 1 = = . sinB e 6. 已知命题: 若数列{an}为等差数列, 且 am=a, an=b(m≠n, m、 n∈N*), 则 am+n= bn-am ; n+m

现已知等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),bm=a,bn=b(m≠n,m、n∈N*),若类比上述结论,则 可得到 bm+n=________. n-m bn am 解析:等差数列中 bn 和 am 可以类比等比数列中的 bn 和 am,等差数列中 bn-am 可以类 答案: n-m bn bn-am bn 比等比数列中的 m,等差数列中 可以类比等比数列中的 . a am n-m x 7. 设函数 f(x)= (x>0),观察: x+2 x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)=f(f2(x))= , 7x+8 x f4(x)=f(f3(x))= , 15x+16 ?? 根据以上事实,由归纳推理可得: + 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. x 答案: (2n-1)x+2n 解析:观察知:四个等式等号右边的分母为 x+2,3x+4,7x+8,15x+16,即(2-1)x +2,(4-1)x+4,(8-1)x+8,(16-1)x+16,所以归纳出 fn(x)=f(fn-1(x))的分母为(2n-1)x x + +2n,故当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))= . n (2 -1)x+2n 8. (2011· 湖北)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在所有不同的着 色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示.由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互 不相邻的着色方案共有________种.

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课时训练部分

(第 8 题图)

答案:21 解析:根据着色方案可知,n=6 时,若有 4 个黑色正方形则有 3 种,有 2 个黑色正方形 有 4+3+2+1+0=10 种,有 1 个黑色正方形有 6 种;有 0 个黑色正方形有 1 种,所以共有 4+10+6+1=21 种. 9. 在直角△ABC 中,两直角边的长分别为 a、b,直角顶点 C 到斜边的距离为 h,则易 1 1 1 证 2= 2+ 2.在四面体 SABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,SA=a,SB=b,SC=c,点 h a b S 到平面 ABC 的距离为 h,类比上述结论,写出 h 与 a、b、c 的等式关系并证明.

(第 9 题图)

1 1 1 1 解:类比得到: 2= 2+ 2+ 2.过 S 作△ABC 所在平面的垂线,垂足为 O,连结 CO 并 h a b c 延长交 AB 于 D,连结 SD,∵SO⊥平面 ABC,∴SO⊥AB.∵SC⊥SA,SC⊥SB,∴SC⊥平 1 1 面 ABC,∴SC⊥AB,SC⊥SD,∴AB⊥平面 SCD,∴AB⊥SD.在 Rt△ABS 中,有 2= 2+ SD a 1 1 1 1 1 1 1 , 在 Rt△CDS 中,有 2= 2+ 2= 2+ 2+ 2. b2 h SD c a b c

(第 9 题图) 10. 老师布置了一道作业题“已知圆 C 的方程是 x2+y2=r2, 求证: 经过圆 C 上一点 M(x0, y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2” ,聪明的小明很快就完成了,完成后觉得该题很有意思,经过 认真思考后大胆猜想出如下结论:若圆 C 的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,则经过圆 C 上一点
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课时训练部分
M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.你认为小明的猜想正确吗?若正确, 请给出证明;若不正确,请说明理由. 解:小明的猜想正确. 解法 1:若 x0≠a,y0≠b,则因圆 C 的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,M(x0,y0)是圆 C 上 y0-b 一点,所以直线 MC 的斜率为 k1= ,设过 M(x0,y0)的切线斜率为 k,因直线 MC 与切 x0-a x0-a x0-a 1 线 l 垂直,所以 k=- =- ,所以过 M(x0,y0)的切线 l 方程为 y-y0=- (x-x0), k1 y0-b y0-b 2 2 整理得(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a) +(y0-b) .又点 M(x0,y0)在圆 C 上,所以有(x0 -a)2+(y0-b)2=r2,故此时过 M(x0,y0)的圆 C 的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2.若 x0=a 或 y0=b(同时成立不合题意),则切线的斜率不存在或为 0,可直观看出:|y0-b| =r 或|x0-a|=r,此时切线方程分别为 y=y0 或 x=x0,适合(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 综上所述:过 M(x0,y0)的圆 C 的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. → → → 解法 2:设 P(x,y)为切线上任一点,则PM=(x0-x,y0-y),CM=(x0-a,y0-b).又PM → → → ⊥CM,∴PM·CM=0,即(x0-x)(x0-a)+(y0-y)(y0-b)=0,又( x0-a)2+(y0-b)2=r2,化 简得(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 为所求切线. 11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个 图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小 正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(第 11 题图)

(1) 求出 f(5)的值; (2) 利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你 得到的关系式求出 f(n)的表达式; 1 1 1 1 (3) 求 + + +?+ 的值. f(1) f(2)-1 f(3)-1 f(n)-1 解:(1) f(5)=41. (2) 因为 f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)= 16=4×4,?,由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n.因为 f(n+1)-f(n)=4n ? f(n+1) =f(n)+4n ? f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2) +4(n-3)=?=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4=2n2-2n+1. 1 1 1 1 1 (3) 当 n≥2 时, = = ?n-1-n?, ? f(n)-1 2n(n-1) 2? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + +?+ =1+ ·1- + - + - +?+ 2 2 2 3 3 4 f(1) f(2)-1 f(3)-1 f(n)-1
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1 3 1 1 1 1 1- ?= - . - =1+ ? 2? n? 2 2n n-1 n

第 2 课时 直接证明与间接证明 1. 某同学准备用反证法证明如下问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1),如果 1 对于不同的 x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< ,那么它的假设应 2 该是________________. 1 答案:? x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥ 2 解析: 根据反证法的步骤, 假设是对原命题结论的否定, 即“? x1, x2∈[0, 1], 使得|f(x1) 1 -f(x2)|<|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥ ” . 2 2. 设 x 是实数,则“x>0”是“|x|>0”的________条件. 答案:充分不必要 解析:x>0 ?|x|>0,而|x|>0 ? x>0 或 x<0,“x>0”是“|x|>0”的充分不必要条件. 3. 在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn= ________. 答案:2n - 解析:因为数列{an}为等比数列,则 an=2qn 1.因为数列{an+1}也是等比数列,则(an+1 2 2 +1) =(an+1)(an+2+1)? an+1+2an+1=anan+2+an+an+2 ? an+an+2=2an+1 ? an(1+q2-2q)=0 ? q=1,即 an=2,所以 Sn=2n. f2(1)+f(2) f2(2)+f(4) 4. 已知函数 f(x)满足:f(a+b)=f(a)· f(b),f(1)=2,则 + f(1) f(3) f2(3)+f(6) f2(4)+f(8) + + =________. f(5) f(7) 答案:16 f(n+1) =2,故 f(n) f2(1)+f(2) f2(2)+f(4) f2(3)+f(6) f2(4)+f(8) 2f(2) 2f(4) + + + = + f(1) f(3) f(5) f(7) f(1) f(3) 2f(6) 2f(8) + + =16. f(5) f(7) 解 析 : 根 据 f(a + b) = f(a)· f(b) 得 f(2n) = f2(n) , 又 f(1) = 2 , 则

? ?a,a-b≤1, 5. (2011· 天津)对实数 a 和 b,定义运算“?” :a ? b=? 设函数 f(x)=(x2- ? ?b,a-b>1, 2 2)?(x-x ),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是 ________. 3 -1,- ? 答案:(-∞,-2]∪? 4? ? 3? 解析:画出函数图象即可知实数 c 的取值范围是(-∞,-2]∪? ?-1,-4?. 6. 已知两个非零向量 a 与 b,定义 a ? b=|a||b|sinθ ,其中 θ 为 a 与 b 的夹角.若 a+b =(-3,6),a-b=(-3,2),则 a ? b=________. 答案:6 4 解析:a=(-3,4),b=(0,2),a· b=|a||b|· cosθ=5×2×cosθ=8,cosθ= ,所以 sin 5
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课时训练部分
3 3 θ= ,a ? b=5×2× =6. 5 5 7. (2011· 四川)函数 f(x)的定义域为 A, 若 x1, x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2, 则称 f(x) 为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1、x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,b 在 A 中至多有一个元素与之对应; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中为真命题的是________.(填序号) 答案:②③④ 解析:①错,∵x1=± x2,②③④正确. 8. (2011· 江门市模拟)如果 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是________. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 解析:∵a a+b b>a b+b a?( a- b)2( a+ b)>0 ? a≥0,b≥0 且 a≠b. π π π 9. 若 a、b、c 均为实数,且 a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ .求证:a、b、 2 3 6 c 中至少有一个大于 0. π π 证明:假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0.∵a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ , 2 3 π π π π c=z2-2x+ ,∴x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π- 6 2 3 6 2 2 2 3)≤0,① 又(x-1) +(y-1) +(z-1) ≥0,π-3>0, ∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0.② ①式与②式矛盾,∴假设不成立,即 a,b, c 中至少有一个大于 0. 10. 先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证: 1 2 a2 1+a2≥ . 2 证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2, 1 2 2 2 因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0,所以 Δ=4-8(a2 1+a2)≤0,从而得 a1+a2≥ , 2 (1) 若 a1,a2,?,an∈R,a1+a2+?+an=1,请写出上述结论的推广式; (2) 参考上述解法,对你推广的结论加以证明. 1 2 2 (1) 解:若 a1,a2,?,an∈R,a1+a2+?+an=1,求证:a1 +a2 2+?+an≥ . n 2 2 2 2 (2) 证明:构造函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) +?+(x-an) =nx -2(a1+a2+?+an)x+ 2 2 2 2 2 2 a2 因为对一切 x∈R, 都有 f(x)≥0, 所以 Δ=4-4n(a2 1+a2+?+an=nx -2x+a1+a2+?+an, 1 1 2 2 2 2 +a2 +?+a2 n)≤0,从而证得:a1+a2+?+an≥ . n 3 11. 数列{an}中,a1= ,an+1=a2 n-an+1. 2 1 1 1 (1) 求证: = - ; an an-1 an+1-1 1 1 1 1 (2) 设 Sn= + + +?+ ,n>2,证明:Sn<2. a1 a2 a3 an 1 1 1 1 1 1 1 证明:(1) 证法 1:要证 = - ,只要证 = - = , an an-1 an+1-1 an+1-1 an-1 an an (an-1) 2 只要证 an+1-1=an(an-1),只要证 an+1=an-an+1,根据已知条件,得证. 1 1 证法 2: ∵an+1=a2 ∴an+1-1=an(an-1), ∴ = n-an+1=an(an-1)+1, an+1-1 an(an-1)
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1 1 1 1 1 - .∴ = - . an-1 an an an-1 an+1-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) 由 (1) 知 , = - , ∴Sn = + + + ? + = ?a -1-a -1? + an an-1 an+1-1 a1 a2 a3 an ? 1 ? 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 - - ?a2-1 a3-1?+?+?an-1 an+1-1?=a1-1-an+1-1=2-an+1-1.∵an+1-an=an-2an+1 3 =(an-1)2≥0,且 a1= >1, 2 1 ∴an+1>an>1,∴2- <2,即 Sn<2. an+1-1 =

第 3 课时 数学归纳法(理科专用) 1 1 1 1. 用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式 2 3 2 -1 ________. 1 1 答案:1+ + <2 2 3 1 1 解析:∵n∈N*,n>1,∴n 取的第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 2 = ,故 2 -1 3 1 1 填 1+ + <2. 2 3 2. 凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线的条数 f(n+1)为________. 答案:f(n)+n-1 解析:增加一个顶点,就增加 n+1-3 条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故 f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应填 f(n)+n-1. 3. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2、a3、a4,猜想 an= ________. 2 答案: n(n+1) 解析: 由 Sn=n2an 知 Sn+1=(n+1)2an+1, ∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an, ∴an+1=(n+1)2an n a1 1 2 2 an(n≥2).当 n=2 时,S2=4a2,又 S2=a1+a2,∴a2= = ,a3= a2 +1-n an,∴an+1= 3 3 4 n+2 1 3 1 1 1 1 2 = ,a4= a3= .由 a1=1,a2= ,a3= ,a4= .猜想 an= . 6 5 10 3 6 10 n(n+1) 1 1 1 4. 用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等 2 3 2 -1 式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是________. 答案:2k + + 解析:增加的项数为(2k 1-1)-(2k-1)=2k 1-2k=2k. 5. 已知 f(n)=(2n+7)3n+9(n∈N*),存在自然数 m,使得对任意 n∈N*,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m 的值为________. 答案:36 解析:∵f(1)=36,f(2)=36×3,f(3)=36×10,∴f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,猜想 f(n) 能被 36 整除. 1 3 1 1 5 1 1 1 7 6. 观察下列式子:1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,?则可归纳出________. 2 2 2 3 3 2 3 4 4 2n+1 1 1 1 答案:1+ 2+ 2+?+ (n∈N*) 2< 2 3 (n+1) n+1
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课时训练部分
2×1+1 1 3 1 1 1 5 1 1 解析:1+ 2< 即 1+ < ,1+ 2+ 2< ,即 1+ + 2 2 2 3 3 (1+1)2 1+1 (1+1)2 (2+1)2 2×2+1 2n+1 1 1 1 < ,归纳为 1+ 2+ 2+?+ < (n∈N*). 2 3 2+1 (n+1)2 n+1 1 1 1 7. 设 f(n)= + +?+ (n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)=________. 2n n+1 n+2 1 1 答案: - 2n+1 2n+2 解析:f(n+1)-f(n) 1 1 1 =?(n+1)+1+(n+1)+2+?+2n+ ? 1 1 ?-? 1 + 1 +?+ 1 ? + 2n? 2n+1 2(n+1)? ?n+1 n+2 1 1 1 1 1 = + - = - . 2n+1 2(n+1) n+1 2n+1 2n+2 - 8. 已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立, 则 a、 b、c 的值为________. 1 1 答案:a= ,b=c= 2 4 解析:∵等式对一切 n∈N*均成立,∴n=1,2,3 时等式成立,即: 1=3(a-b)+c

? ,整理得 ?1+2×3=3 (2a-b)+c ?1+2×3+3×3 =3 (3a-b)+c ?3a-3b+c=1 1 1 ?18a-9b+c=7 ,解得 a=2,b=c=4. ?81a-27b+c=34
2 2 3

9. 用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+?+(n+n)=

n(3n+1) (n∈N*). 2

1×(3+1) 证明:(1) 当 n=1 时,左边=2,右边= =2=左边,等式成立. 2 k(3k+1) (2) 假设 n=k 时等式成立,即(k+1)+(k+2)+?+(k+k)= .则当 n=k+1 2 时,左边(k+2)+(k+3)+?+(k+k)+(k+k+1)+(k+k+2)=[(k+1)+(k+2)+?+(k+k)] k(3k+1) 3k2+7k+4 (k+1)(3k+4) + 3k + 2 = + 3k + 2 = = = 2 2 2 (k+1)[3(k+1)+1] ,∴n=k+1 时,等式成立.由(1)和(2)知对任意 n∈N*,等式成立. 2 + - 10. 求证:an 1+(a+1)2n 1 能被 a2+a+1 整除(其中 n∈N*). 证明:(1) 当 n=1 时,a2+(a+1)1=a2+a+1 能被 a2+a+1 整除,即当 n=1 时原命题 成立. + - + (2) 假设 n=k(k∈N*)时,ak 1+(a+1)2k 1 能被 a2+a+1 整除.则当 n=k+1 时,ak 2+ + + - + - - (a + 1)2k 1 = a· ak 1 + (a + 1)2 · (a + 1)2k 1 = a· ak 1 + a· (a + 1)2k 1 + (a2 + a + 1)· (a + 1)2k 1 = k+1 2k-1 2 2k-1 2 2 [a +(a+1) ]+(a +a+1)(a+1) .由归纳假设及 a +a+1 能被 a +a+1 整除可知, a· + k+2 a +(a+1)2k 1 也能被 a2+a+1 整除,即 n=k+1 命题也成立. 根据(1)和(2)可知,对于任意的 n∈N*,原命题成立. 11. 数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-an,先计算数列的前 4 项,后猜想 an 并证明之.
89

课时训练部分
3 解:由 a1=2-a1,得 a1=1,由 a1+a2=2×2-a2,得 a2= .由 a1+a2+a3=2×3-a3, 2 2n-1 7 15 得 a3= .由 a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得 a4= .猜想 an= n-1 . 4 8 2 下面用数学归纳

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