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萧绯 初升高自主招生收藏卷

湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷
一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 1.下列图中阴影部分面积与算式|﹣ |+( )2+2
﹣1

的结果相同的是(



A.

B.

C.

D.

2.下列命题中正确的个数有( ) ①实数不是有理数就是无理数;②a<a+a;③121 的平方根是±11;④在实数范围内,非负数一定是 正数;⑤两个无理数之和一定是无理数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 3.某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游.甲旅行社告知:父母买全票,女儿按半价优 惠;乙旅行社告知:家庭旅行可按团体票计价,即每人均按八折收费.若这两家旅行社每人的原标价相 同,那么( ) A.甲比乙更优惠 B.乙比甲更优惠 C.甲与乙相同 D.与原标价有关 4.如图,∠ACB=60°,半径为 2 的⊙O 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右滚动,则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离为( )

A.2π B.4π C.2 D.4 5.平面内的 9 条直线任两条都相交,交点数最多有 m 个,最少有 n 个,则 m+n 等于( A.36 B.37 C.38 D.39 二、填空题(共 8 小题,每小题 6 分,满分 48 分)



6.甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时, 则经过 小时,两人相遇. 7.若化简|1﹣x|﹣ 的结果为 2x﹣5,则 x 的取值范围是



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8.某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50%、20%和 30%的比例计入学期总评成 绩,90 分以上为优秀.甲、乙、丙三人的各项成绩(单位:分)如下表,学期总评成绩优秀的学生 是 . 纸笔测试 甲 乙 丙 90 88 90 实践能力 83 90 88 成长记录 95 95 90

9.已知点 A 是一次函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象在第一象限内的交点,点 B 在 x 轴的负半 轴上,且 OA=OB(O 为坐标原点) ,则△AOB 的面积为 .

10.如果多项式 x2+px+12 可以分解成两个一次因式的积,那么整数 P 的值是 11.如图所示,P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点,从 P 向 AB 作垂线 PQ,Q 为垂足.延 长 QP 与 AC 的延长线交于 R,设 BP=x(0≤x≤1) ,△BPQ 与△CPR 的面积之和为 y,把 y 表示为 x 的 函数是 .

12.已知 x1,x2 为方程 x2+4x+2=0 的两实根,则 x13+14x2+55=



13.小明、小林和小颖共解出 100 道数学题,每人都解出了其中的 60 道,如果将其中只有 1 人解出的 题叫做难题,2 人解出的题叫做中档题,3 人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多 道. 三、解答题(共 6 小题,满分 72 分) 14. (10 分)在△ABC 中,AB=AC,∠A=45°,AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于 D、E 两点,连接 CD,如果 AD=1,求:tan∠BCD 的值.

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15. (12 分) (2005?河南)某公司为了扩大经营,决定购进 6 台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两 种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算,本次购买机 器所耗资金不能超过 34 万元. 甲 价格(万元/台) 7 每台日产量 (个) 100 乙 5 60

(1)按该公司要求可以有几种购买方案? ( 2) 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个, 那么为了节约资金应选择哪种购买方案?

16. 如图所示,已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀,其中 AF=2,BF=1,为了合理利用这块钢板.将 在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP, 使点 P 在 AB 上, 且要求面积最大, 求钢板的最大利用率.

17.如图所示等腰梯形 ABCD 中,AD=BC,AB∥CD,对角线 AC 与 BD 交于 O,∠ACD=60°,点 S、 P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点. 求证:△PQS 是等边三角形.

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18.如图,直线 OB 是一次函数 y=2x 的图象,点 A 的坐标是(0,2) ,点 C 在直线 OB 上且△ACO 为 等腰三角形,求 C 点坐标.

19.已知关于 x 的方程(m2﹣1)x2﹣3(3m﹣1)x+18=0 有两个正整数根(m 是正整数) .△ABC 的三 2 2 2 2 边 a、b、c 满足 ,m +a m﹣8a=0,m +b m﹣8b=0. 求: (1)m 的值; (2)△ABC 的面积.

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2011 年湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 1.下列图中阴影部分面积与算式|﹣ |+( )2+2
﹣1

的结果相同的是(



A.

B.

C.
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D.

【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;反比例函数的性质. 【专题】压轴题. 【分析】先把算式的值求出,然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积,看是否与算式的 值相同,如相同,则是要选的选项. 【解答】解:原式= + + = = . A、作 TE⊥X 轴,TG⊥Y 轴,易得,△GTF≌△ETD,故阴影部分面积为 1×1=1; B、当 x=1 时,y=3,阴影部分面积 1×3× = ;C、当 y=0 时,x=±1,当 x=0 时,y=﹣1.阴影部分面积

为[1﹣(﹣1)]×1× =1;D、阴影部分面积为 xy= ×2=1.

故选 B.

【点评】解答 A 时运用了全等三角形的性质,B、C、D 都运用了函数图象和坐标的关系,转化为三角 形的面积公式来解答. 2.下列命题中正确的个数有( ) ①实数不是有理数就是无理数;②a<a+a;③121 的平方根是±11;④在实数范围内,非负数一定是 正数;⑤两个无理数之和一定是无理数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 【考点】实数. 【分析】根据定义一一判定即可. 【解答】解:①实数包括有理数和无理数,故说法正确; ②当 a≤0 时,a+a≤a,故选项错误; ③正数的平方根由两个,且互为相反数,故说法正确; ④实数可分为:正数、负数和 0、非负数即正数和 0,故说法错误; ⑤中,两个互为相反数的无理数和为 0,故说法错误.此题共有①和③正确,故选 B. 【点评】 此题主要考查了实数的分类和性质, 解答此题应熟知以下概念: (1) 实数包括有理数和无理数; 实数可分为正数、负数和 0; (2)正数的平方根由两个,且互为相反数.
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3.某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游.甲旅行社告知:父母买全票,女儿按半价优 惠;乙旅行社告知:家庭旅行可按团体票计价,即每人均按八折收费.若这两家旅行社每人的原标价相 同,那么( ) A.甲比乙更优惠 B.乙比甲更优惠 C.甲与乙相同 D.与原标价有关 【考点】列代数式. 【专题】计算题. 【分析】因为原票价相同,所以先设原票价都为 x 元,根据甲、乙收费情况分别列出代数式进行比较, 得出答案. 【解答】解:设原票价都为 x 元,
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则按甲告知,票总价为:x+x+ x=2.5x, 按乙告知,票总价为:3x?80%=2.4x, 2.5x>2.4x. 所以乙比甲优惠. 故选 B. 【点评】此题考查了学生对列代数式的理解与掌握,解此题的关键是先由已知列出两种情况的代数式, 再进行比较得出结论. 4.如图,∠ACB=60°,半径为 2 的⊙O 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右滚动,则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离为( )

A.2π B.4π C.2 D.4 【考点】切线的性质;角平分线的性质;解直角三角形. 【分析】连接 O′C,O′B,O′D,OO′,则 O′D⊥BC.

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因为 O′D=O′B,O′C 平分∠ACB,可得∠O′CB= ∠ACB= ×60°=30°,由勾股定理得 BC=2 【解答】解:当滚动到⊙O′与 CA 也相切时,切点为 D, 连接 O′C,O′B,O′D,OO′, ∵O′D⊥AC,∴O′D=O′B. ∵O′C 平分∠ACB,∴∠O′CB= ∠ACB= ×60°=30°. ∵O′C=2O′B=2×2=4,∴BC= = =2 . 故选:C.



【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质,勾股定理等知识点,属中等难度题.
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5.平面内的 9 条直线任两条都相交,交点数最多有 m 个,最少有 n 个,则 m+n 等于( ) A.36 B.37 C.38 D.39 【考点】直线、射线、线段. 【专题】压轴题;规律型. 【分析】求出平面内的 9 条直线任两条都相交,交点数最多的个数,再求得最少的个数;则即可求得 m+n 的值. 【解答】解:三条最多交点数的情况.就是第三条与前面两条都相交:1+2 四条最多交点数的情况.就是第四条与前面三条都相交:1+2+3 五条最多交点数的情况.就是第五条与前面四条都相交:1+2+3+4 六条最多交点数的情况.就是第六条与前面五条都相交:1+2+3+4+5 七条最多交点数的情况.就是第七条与前面六条都相交:1+2+3+5+6 八条最多交点数的情况.就是第八条与前面七条都相交:1+2+3+5+6+7 九条最多交点数的情况.就是第九条与前面八条都相交:1+2+3+4+5+6+7+8=36 则 m+n=1+36=37
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故答案 B. 【点评】此题考查了平面图形,主要培养学生的观察能力和几何想象能力. 二、填空题(共 8 小题,每小题 6 分,满分 48 分) 6.甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时, 则经过 2 小时,两人相遇. 【考点】二元一次方程组的应用;有理数的除法. 【分析】本题中涉及到三个量路程、速度、时间,因为已知路程为 65 千米,两人的速度和是 32.5 千米 /时,所以经过 65÷32.5=2 小时,两人相遇. 【解答】解:65÷32.5=2(小时) . 故答案为:2. 【点评】此题是一道关于路程的相遇问题,需用到相遇时间=总路程÷速度和.
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7.若化简|1﹣x|﹣

的结果为 2x﹣5,则 x 的取值范围是 1≤x≤4
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【考点】二次根式的性质与化简;实数的性质. 【分析】根据 x 的取值化简绝对值和二次根式的性质分析. 【解答】解:∵|1﹣x|﹣ 则|1﹣x|﹣ =|1﹣x|﹣ =2x﹣5,

=x﹣1+x﹣4,即 1﹣x≤0,x﹣4≤0,解得 1≤x≤4.

【点评】此题难点不是根据 x 的取值化简绝对值和二次根式,而是由绝对值和二次根式得化简值求 x 的 取值范围.所以要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质熟练、灵活掌握.
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8.某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50%、20%和 30%的比例计入学期总评成 绩,90 分以上为优秀.甲、乙、丙三人的各项成绩(单位:分)如下表,学期总评成绩优秀的学生是 甲、乙 . 纸笔测试 甲 乙 丙 90 88 90
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实践能力 83 90 88

成长记录 95 95 90

【考点】加权平均数. 【专题】图表型. 【分析】分别计算三人的加权平均数,然后与 90 比较大小即可. 【解答】解:由题意知,甲的学期总评成绩=90×50%+83×20%+95×30%=90.1, 乙的学期总评成绩=88×50%+90×20%+95×30%=90.5, 丙的学期总评成绩=90×50%+88×20%+90×30%=89.6, 故答案为甲、乙. 【点评】本题考查了加权成绩的计算.平均数等于所有数据的和除以数据的个数. 9.已知点 A 是一次函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象在第一象限内的交点,点 B 在 x 轴的负半 轴上,且 OA=OB(O 为坐标原点) ,则△AOB 的面积为 . 【考点】一次函数的图象;反比例函数与一次函数的交点问题. 【专题】计算题. 【分析】此题应先求出在第一象限内的交点坐标,再由三角形的面积公式求解即可.
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【解答】解:根据题意可知:x= , 解得 x=± . ∵点 A 在第一象限内, ∴A( , ) ,即 OA=2, ∴OA=OB=2. ∴△AOB 的面积为 ×2× = .

故答案为: . 【点评】主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题与三角形面积的结合,有一定的综合性. 10.如果多项式 x2+px+12 可以分解成两个一次因式的积,那么整数 P 的值是 ±7 或±8 或±13 【考点】因式分解的应用. 【分析】把 12 分解为两个整数的积的形式,p 等于这两个整数的和. 【解答】解:∵把 12 分成两个整数乘积的形式有:1×12; (﹣1)×(﹣12) ;2×6; (﹣2)×(﹣6) ;3×4; (﹣3)×(﹣4) , ∴p 的值为 1+12=13;﹣1﹣12=﹣13;2+6=8;﹣2﹣6=﹣8;3+4=7;﹣3﹣4=﹣7, ∴p 的整数值为±7 或±8 或±13.
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【点评】主要考查了二次三项式的分解因式:x2+(p+q)x+pq=(x+p) (x+q) . 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是 1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数 的和.

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11.如图所示,P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点,从 P 向 AB 作垂线 PQ,Q 为垂足.延 长 QP 与 AC 的延长线交于 R,设 BP=x(0≤x≤1) ,△BPQ 与△CPR 的面积之和为 y,把 y 表示为 x 的 函数是 y= .

【考点】根据实际问题列二次函数关系式. 【分析】根据三角函数分别表示出 BQ,QP,PC 的长,就可以求得△BPQ 与△CPR 的面积,进而求出 函数解析式.
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【解答】解:∵BP=x,∠B=60°,∠PQB=90°,∴BQ= x,QP= ∴△BPQ 的面积= ×BQ×QP= 则 PR= ﹣ x.

x,PC=1﹣x. ﹣ x,

x2,那么 AQ=1﹣ x,可得到 QR=

过点 R 做 RD⊥PC,则 RD=

,∴△CPR 的面积= ×PC×RD= (3x2﹣4x+2)= x2﹣ x+ ,



∵△BPQ 与△CPR 的面积之和为 y,∴y= ∴y= x2﹣ x+ .

【点评】关键是根据所给条件利用三角函数得到相应的三角形的各边的长. 12.已知 x1,x2 为方程 x2+4x+2=0 的两实根,则 x13+14x2+55= 7 . 【考点】根与系数的关系;代数式求值. 【专题】计算题;整体思想.
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【分析】由于 x1,x2 为方程 x +4x+2=0 的两实根,由此得到 x12+4x1+2=0,x1+x2=﹣4,x1?x2=2,而 x13=x12?x1,然后代入所求代数式即可求解. 【解答】解:∵x1,x2 为方程 x2+4x+2=0 的两实根,∴x12+4x1+2=0,x1+x2=﹣4,x1?x2=2, ∴x12=﹣4x1﹣2, 而 x13=x12?x1,∴x13+14x2+55=x12?x1+14x2+55=(﹣4x1﹣2)?x1+14x2+55 =﹣4x12﹣2x1+14x2+55=﹣4(﹣4x1﹣2)﹣2x1+14x2+55=14(x1+x2)+8+55=14×(﹣4)+63 =7.故答案为:7. 【点评】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用 的解题方法.
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13. (2012?乐平市校级自主招生)小明、小林和小颖共解出 100 道数学题,每人都解出了其中的 60 道, 如果将其中只有 1 人解出的题叫做难题,2 人解出的题叫做中档题,3 人都解出的题叫做容易题,那么 难题比容易题多 20 道. 【考点】二元一次方程组的应用. 【专题】压轴题. 【分析】本题可设 x 道难题,y 道中档题,z 道容易题,因为小明、小林和小颖共解出 100 道数学题, 所以 x+y+z=100①,又因每人都解出了其中的 60 道,只有 1 人解出的题叫做难题,2 人解出的题叫做 中档题,3 人都解出的题叫做容易题,所以有 x+2y+3z=180②,①×2﹣②,得 x﹣z=20,所以难题比 容易题多 20 道. 【解答】解:设 x 道难题,y 道中档题,z 道容易题. x+y+z=100① x+2y+3z=180②
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①×2﹣②,得 x﹣z=20, ∴难题比容易题多 20 道. 故填 20. 【点评】此类题目的解决需仔细分析题意,进而利用方程组来求出答案. 三、解答题(共 6 小题,满分 72 分) 14. (10 分)在△ABC 中,AB=AC,∠A=45°,AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于 D、E 两点,连接 CD,如果 AD=1,求:tan∠BCD 的值. 【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;锐角三角函数的定义;解直角三角形.
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【专题】计算题. 【分析】首先利用线段垂直平分线的性质得出∠A=∠ACD?AD=DC=1; 根据 AB=AC 求出 BD 长即可求解. 【解答】解:∵DE 垂直平分 AC, ∴AD=CD,∠A=∠ACD=45°, ∴∠ADC=∠BDC=90°. ∵AD=CD=1, ∴AC=AB= , . 在直角△BCD 中, .

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质,同时考生需要注意三角函数的运 用.
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15. (12 分) (2005?河南)某公司为了扩大经营,决定购进 6 台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两 种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算,本次购买机 器所耗资金不能超过 34 万元. 甲 价格(万元/台) 7 每台日产量 (个) 100 乙 5 60

(1)按该公司要求可以有几种购买方案? ( 2) 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个, 那么为了节约资金应选择哪种购买方案? 【考点】一元一次不等式的应用. 【专题】方案型. 【分析】 (1)设购买甲种机器 x 台(x≥0) ,则购买乙种机器(6﹣x)台,根据买机器所耗资金不能超过 34 万元,即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤34 万元.就可以得到关于 x 的不等式,就可以 求出 x 的范围. (2)该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个,就是已知不等关系:甲种机器生产的零件 数+乙种机器生产的零件数≤380 件.根据(1)中的三种方案,可以计算出每种方案的需要资金,从而 选择出合适的方案. 【解答】解: (1)设购买甲种机器 x 台(x≥0) ,则购买乙种机器(6﹣x)台. 依题意,得 7x+5×(6﹣x)≤34. 解这个不等式,得 x≤2,即 x 可取 0,1,2 三个值. ∴该公司按要求可以有以下三种购买方案: 方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器 6 台. 方案二:购买甲种机器 1 台,购买乙种机器 5 台. 方案三:购买甲种机器 2 台,购买乙种机器 4 台.
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(2)根据题意,100x+60(6﹣x)≥380, 解之,可得:x≥ ,由上题解得:x≤2,即 ≤x≤2, ∴x 可取 1,2 两个值, 即有以下两种购买方案: 方案一购买甲种机器 1 台,购买乙种机器 5 台,所耗资金为 1×7+5×5=32 万元; 方案二购买甲种机器 2 台,购买乙种机器 4 台,所耗资金为 2×7+4×5=34 万元. ∴为了节约资金应选择方案一. 故应选择方案一. 【点评】解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的不等关系式,正确确定各种情况,确定各种方案 是解决本题的关键. 16. (12 分) (2013?茶陵县自主招生) 如图所示, 已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AF=2, BF=1,为了合理利用这块钢板.将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP,使点 P 在 AB 上,且 要求面积最大,求钢板的最大利用率.

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【考点】二次函数的应用.【分析】根据题意画图分析.用含表示某一边的字母的代数式表示面积,关 键是表示另一边的长.借助三角形相似建立关系. 【解答】解:如图所示,为了表达矩形 MDNP 的面积,设 DN=x,PN=y, 则面积 S=xy ①, ∵点 P 在 AB 上,由△APQ∽△ABF 得,
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, 即 x=10﹣2y, ∴代入①,得 S=(10﹣2y)y=﹣2y2+10y, 即 ,

因为 3≤y≤4,而 y= 不在自变量的取值范围内, 所以 y= 不是最值点, 当 y=3 时,S=12;当 y=4 时,S=8,故面积的最大值是 S=12,此时,钢板的最大利用率是 80%.

【点评】根据函数求出的最值与实际问题中的最值不一定相同,需注意自变量的取值范围. 17. (12 分)如图所示等腰梯形 ABCD 中,AD=BC,AB∥CD,对角线 AC 与 BD 交于 O,∠ACD=60°, 点 S、P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点. 求证:△PQS 是等边三角形.

【考点】等腰梯形的性质;等边三角形的判定;三角形中位线定理. 【专题】证明题.

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【分析】由于梯形 ABCD 是等腰梯形∠ACD=60°,可知△OCD 与△OAB 均为等边三角形.连接 CS, BP 根据等边三角形的性质可知△BCS 与△BPC 为直角三角形,再利用直角三角形的性质可知 QS=BP= BC,由中位线定理可知,QS=QP=PS= BC,故△PQS 是等边三角形.

【解答】证明:连 CS,BP. ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,且 AC 与 BD 相交于 O, ∴可得出:△CAB≌△DBA, ∴∠CAB=∠DBA, 同理可得出:∠ACD=∠BDC, ∴AO=BO,CO=DO. ∵∠ACD=60°, ∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是 OD 的中点,∴CS⊥DO. 在 Rt△BSC 中,Q 为 BC 中点,SQ 是斜边 BC 的中线,∴SQ= BC. 同理 BP⊥AC. 在 Rt△BPC 中,PQ= BC. 又∵SP 是△OAD 的中位线, ∴SP= AD= BC.∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ 为等边三角形. 【点评】本题主要考查等腰梯形及直角三角形的性质,三角形中位线定理. 18.如图,直线 OB 是一次函数 y=2x 的图象,点 A 的坐标是(0,2) ,点 C 在直线 OB 上且△ACO 为 等腰三角形,求 C 点坐标.

【考点】一次函数综合题. 【专题】分类讨论. 【分析】本题要分三种情况进行讨论, 第一种情况:以 OA 为腰,A 为等腰三角形的顶点,那么 C 点必定在第一象限,且纵坐标的值比 A 的 要大,根据 OA=AC 我们知道了 AC 的距离,我们可以根据 C 的纵坐标和横坐标以及 AC 的长构成的直 角三角形,运用勾股定理以及所在直线的函数关系式求出 C 的坐标.
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第二种情况:以 OA 为一腰,O 为三角形的顶点,那么 C 点可以有两个,一个在第一象限,一个在第三 象限,且这两个点关于原点对称.我们只要求出一个两个就都求出来了,求的方法同第一种情况. 第三种情况:以 OA 为底,OC,AC 为腰,此点在第一象限,那么这点的纵坐标必为 1(顶点在底边的 垂直平分线上) ,那么根据所在函数的关系式,可求出这个 C 点的坐标.

【解答】解:若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 A 为顶点,则 AO=AC1=2. 设 C1(x,2x) ,则得 x2+(2x﹣2)2=22, 解得 ,得 C1( ) ,

若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 O 为顶点,则 OC2=OC3=OA=2, 设 C2(x′,2x′) ,则得 x′2+(2x′)2=22,解得 ∴C2( ) , ) , ) , ) ,C4 = ,

又由点 C3 与点 C2 关于原点对称,得 C3(

若此等腰三角形以 OA 为底边,则 C4 的纵坐标为 1,从而其横坐标为 ,得 C4( 所以,满足题意的点 C 有 4 个,坐标分别为: ( ( ) . ) , ( ) , (

【点评】本题考查了一次函数和等腰三角形的综合知识,本题中没有明确告诉哪边为等腰三角形的腰和 底边时,要分类进行讨论,不要遗漏掉任何一种情况. 19. (14 分) (2015?黄冈中学自主招生)已知关于 x 的方程(m2﹣1)x2﹣3(3m﹣1)x+18=0 有两个正 整数根(m 是正整数) .△ABC 的三边 a、b、c 满足 ,m2+a2m﹣8a=0,m2+b2m﹣8b=0. 求: (1)m 的值; (2)△ABC 的面积. 【考点】根与系数的关系;一元二次方程的定义;一元二次方程的解;解一元二次方程-因式分解法; 等腰三角形的性质;勾股定理;勾股定理的逆定理. 【专题】应用题;压轴题;分类讨论;方程思想.
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【分析】 (1)本题可先求出方程(m2﹣1)x2﹣3(3m﹣1)x+18=0 的两个根,然后根据这两个根都是正 整数求出 m 的值. (2)由(1)得出的 m 的值,然后将 m2+a2m﹣8a=0,m2+b2m﹣8b=0.进行化简,得出 a,b 的值.然 后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的 a,b 的值,进而得出三角形的面积.
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萧绯 初升高自主招生收藏卷

【解答】解: (1)∵关于 x 的方程(m ﹣1)x ﹣3(3m﹣1)x+18=0 有两个正整数根(m 是整数) . 2 ∵a=m ﹣1,b=﹣9m+3,c=18, ∴b2﹣4ac=(9m﹣3)2﹣72(m2﹣1)=9(m﹣3)2≥0, 设 x1,x2 是此方程的两个根, ∴x1?x2= = ,

2

2

∴ ∴m=2;

也是正整数,即 m2﹣1=1 或 2 或 3 或 6 或 9 或 18,又 m 为正整数,

(2)把 m=2 代入两等式,化简得 a2﹣4a+2=0,b2﹣4b+2=0 当 a=b 时, 当 a≠b 时,a、b 是方程 x2﹣4x+2=0 的两根,而△>0,由韦达定理得 a+b=4>0,ab=2>0,则 a>0、b > 0. ①a≠b, 时,由于 a2+b2=(a+b)2﹣2ab=16﹣4=12=c2 . ,故不能构成三角形,不合题意,舍去. ,故能构成三角形. 故△ABC 为直角三角形,且∠C=90°,S△ABC = ②a=b=2﹣ ③a=b=2+ ,c=2 ,c=2 )× 时,因 时,因 = < >

S△ABC = ×(2

综上,△ABC 的面积为 1 或 . 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点,本题中分类对 a,b 的值进 行讨论,并通过计算得出三角形的形状是解题的关键.

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