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第6讲正弦定理和余弦定理


第6讲 [最新考纲]

正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理

1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 余弦定理

内容

(1) 常见变形

(2) (3) (1)已知两角和任一边,求其他两边 解决的问题 和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求 另一边和其他两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角

cos A=

cos B=

cos C= (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其 他两角

A 为钝角或直角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高).
-1-

1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B. 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径).

考点一

利用正弦、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3 b,则角 A 等于 π A.3 π B.4 ( ). π C.6 π D.12

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c=4 2,B =45° ,则 sin C=______. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C= ( A.30° B.45° C.45° 或 135° D.60° ).

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A= A.30° B.60° C.120° 考点二 D.150° 判断三角形的形状 ( ).

【例 2】 (2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b -c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

【训练 2】 (1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
-2-

且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是( A.钝角三角形 B.直角三角形

). C.锐角三角形 D.等边三角形 ).

(2)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC 的形状是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 考点三 C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形

与三角形面积有关的问题

【例 3】 (2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

【训练 3】 (2013· 湖北卷)在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c.已知 cos 2A-3cos(B +C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

-3-

答题模板 6——解三角形问题 【典例】 (12 分)(2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c 7 =6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值.

【自主体验】 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

参考答案 考点一
-4-

【例 1】解析

(1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3sin B,

∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. π? 3 π ? ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形,∴A∈?0,2?,∴A=3. ? ? 2 (2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 2 =25,即 b=5. 2 4 2× 2 c· sin B 4 所以 sin C= b = =5. 5 【训练 1】解析 2 3 2 2 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C,

2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= 2bc = = = . 2bc 2bc 2 ,又 A 为三角形的内角,∴A=30° 考点二 【例 2】解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,

得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° . ∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° ,△ABC 为等边三角形. 【训练 2】解析 1 -2ab a2+b2-c2 1 (1)由 2c2=2a2+2b2+ab,得 a2+b2-c2=-2ab,所以 cos C= 2ab =

1 <C<180° ,即△ABC 为钝角三角形. 2ab =-4<0,所以 90°

(2)由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,
-5-

得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin Acos B=a2cos Asin B, 即 sin2 Bsin Acos B=sin2 Acos Asin B, 所以 sin 2B=sin 2A,由于 A,B 是三角形的内角, 故 0<2A<2π,0<2B<2π. 故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.答案 考点三 【例 3】解 (1)由已知及正弦定理, (1)A (2)D

得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B=4. 1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac. π 由已知及余弦定理,得 4=a2+c2-2accos4.又 a2+c2≥2ac, 故 ac≤ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 2- 2 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,

【训练 3】解

得 2cos2A+3cos A-2=0, 1 π 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去).因为 0<A<π,所以 A=3. 1 1 3 3 (2)由 S=2 bcsin A=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20.又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 2 20 3 5 又由正弦定理,得 sin Bsin C=asin A· asin A= a2 sin A=21×4=7. 【典例】[规范解答] (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),
-6-

7 又 b=2,a+c=6,cos B=9,所以 ac=9,解得 a=3,c=3, (2)在△ABC 中, 4 2 sin B= 1-cos2B= 9 , (7 分) 由正弦定理得 sin A= asin B 2 2 b = 3 . (9 分) 因为 a=c,所以 A 为锐角, 1 所以 cos A= 1-sin2A=3. (10 分)

(6 分)

10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= 27 . (12 分) 【自主体验】解 (1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理,得

3sin Asin C-cos A· sin C-sin C=0, π? 1 π π 5π π ? 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?=2,又 0<A<π,所以-6<A-6< 6 ,故 A=3. ? ? 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8,解得 b=c=2.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013· 绍兴模拟)在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=( A.30° B.45° C.60° D.120° 解析 答案 a2+b2-c2 3ab 3 由 a -c +b = 3ab,得 cos C= 2ab = 2ab = 2 ,所以 C=30° .
2 2 2

).

A ).

3 2. (2014· 合肥模拟)在△ABC 中, A=60° , AB=2, 且△ABC 的面积为 2 , 则 BC 的长为(
-7-

3 A. 2 解析

B. 3

C.2 3

D.2

1 1 3 3 S = 2 ×AB· ACsin 60° = 2 ×2× 2 AC = 2 ,所以 AC = 1 ,所以 BC2 = AB2 + AC2 -

2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 B

π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4,则△ABC 的面 积为( ). B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1

A.2 3+2 解析

b c 由正弦定理sin B=sin C及已知条件得 c=2 2,

2+ 6 1 2 3 2 又 sin A=sin(B+C)=2× 2 + 2 × 2 = 4 . 2+ 6 1 1 从而 S△ABC=2bcsin A=2×2×2 2× 4 = 3+1. 答案 B ).

4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3,则 c=( A.2 3 B.2 C. 2 解析 D.1

a b a b 1 3 3 由sin A=sin B,得sin A=sin 2A,所以sin A=2sin Acos A,故 cos A= 2 ,又 A∈(0,π),

π π π 所以 A=6,B=3,C=2,c= a2+b2= 12+? 3?2=2. 答案 B

5.(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ).

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析 由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2 A, 即 sin(B+C)=sin2 A, 而B

+C=π-A,所以 sin(B+C)=sin A,所以 sin2 A=sin A,又 0<A<π,sin A>0,∴sin A=1, π 即 A=2. 答案 A

二、填空题
-8-

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2, 则角 A 的大小为________. 解析 π? π ? 由题意知,sin B+cos B= 2,所以 2sin?B+4?= 2,所以 B=4,根据正弦定理可知 ? ?

a b 2 2 1 π = ,可得 = ,所以 sin A = ,又 a < b ,故 A = sin A sin B sin A π 2 6. sin4 答案 π 6

7.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B= 3 ac,则角 B 的值为________. 解析 a2+c2-b2 3 3 由余弦定理,得 tan B= 2 ,∴sin B= 2 , 2ac =cos B,结合已知等式得 cos B·

π 2π ∴B=3或 3 . 答案 π 2π 3或 3

8.(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cos C 1 =4,则 sin B 等于________. 解析 1 15 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4,即 c=2.由 cos C=4得 sin C= 4 .由正弦

b c bsin C 2 15 15 定理sin B=sin C,得 sin B= c =2× 4 = 4 (或者因为 c=2,所以 b=c=2,即三角形 15 为等腰三角形,所以 sin B=sin C= 4 ). 答案 15 4

三、解答题 1 9.(2014· 宜山质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=2c+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值. 解 1 (1)由正弦定理,得 sin A=2sin C+sin Bcos C,

又因为 A=π-(B+C),所以 sin A=sin(B+C),
-9-

1 可得 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin C+sin Bcos C, 1 π 即 cos B=2,又 B∈(0,π),所以 B=3. 1 π (2)因为 S△ABC= 3,所以2acsin3= 3,所以 ac=4, 由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac, 所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即 a+c=5. 10.(2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 解 所以 3 2 6 (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A,所以在△ABC 中,由正弦定理,得sin A=sin 2A, 2sin Acos A 2 6 6 = ,故 cos A = sin A 3 3.

6 3 (2)由(1)知 cos A= 3 ,所以 sin A= 1-cos2A= 3 . 又因为∠B=2∠A, 1 2 2 所以 cos B=2cos2A-1= ,所以 sin B= 1-cos2B= . 3 3 在△ABC 中,sin C=sin(A+B) 5 3 =sin Acos B+cos Asin B= 9 . asin C 所以 c= sin A =5. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 → → 2 2 1. (2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中, 若 BC=2, sin A= 3 , 则AB· AC的最大值为( 1 A.3 解析 4 B.5 C.1 D.3 ).

1 4 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bc×3=4,由基本不等式可得 4≥3bc,即 bc≤3,所以
- 10 -

→ → 1 AB· AC=bccos A=3bc≤1. 答案 C

2.(2013· 青岛一中调研)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ABC 的形状为 ( ).

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能 解析 由题意可知 c>a,c>b,即角 C 最大,

所以 a3+b3=a· a2+b· b2<ca2+cb2,即 a2+b2-c2 π c <ca +cb ,所以 c <a +b .根据余弦定理,得 cos C= 2ab >0,所以 0<C<2,即三
3 2 2 2 2 2

角形为锐角三角形. 答案 A

二、填空题 1 3.(2013· 浙江卷)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3,则 sin∠BAC =________. 解析 如图,令∠BAM=β,∠BAC=α,故|CM|=|AM|sin(α-β),

∵M 为 BC 的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).在△AMB 中,由正弦定理知,

|AM| |BM| sin B=sin β, 即 |AM|· sin?α-β? |AM| = , sin β ?π ? sin?2-α? ? ?

1 2 2 ∵sin β=3,∴cos β= 3 , 1 ?2 2 ? 1 ? ? ∴3=cos α· sin α - cos α 3 ? 3 ? 2 2 1 = 3 sin αcos α-3cos2α, 整理得 1=2 2sin αcos α-cos2α,
- 11 -

所以

2 2tan α-1 =1, tan2 α+1

6 解得 tan α= 2,故 sin α= 3 . 答案 6 3

三、解答题 4.(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 bcos C=(3a -c)cos B. (1)求 cos B; → → (2)若BC· BA=4,b=4 2,求边 a,c 的值. 解 (1)由正弦定理和 bcos C=(3a-c)cos B,

得 sin Bcos C=(3sin A-sin C)cos B, 化简,得 sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即 sin(B+C)=3sin Acos B, 1 故 sin A=3sin Acos B,所以 cos B=3. → → → → → → (2)因为BC· BA=4,所以BC· BA=|BC|· |BA|· → → cos B=4,所以|BC|· |BA|=12,即 ac=12.① a2+c2-b2 1 又因为 cos B= 2ac =3,整理得,a2+c2=40.②
2 2 ?a +c =40, ?a=2, ?a=6, 联立①②? 解得? 或? ?ac=12, ?c=6 ?c=2.

学生用书 第 65 页

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