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高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案


一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设点 P(3,-6) ,Q(-5,2) ,R 的纵坐标为-9,且 P、Q、R 三点共线, 则 R 点的横坐标为( ) 。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2.已知 =(2,3), b=(-4,7),则 在 b 上的投影为( ) 。

A、

B、

C、 按向量

D、 =(-1,-1)平移后得

3.设点 A(1,2) ,B(3,5) ,将向量 向量 为( ) 。

A、 (2,3) B、 (1,2) C、 (3,4) D、 (4,7) 4.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=sinBcosC,那么Δ ABC 是( ) 。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5.已知| |=4, |b|=3, 与 b 的夹角为 60°,则| +b|等于( ) 。 A、 B、 C、 D、 所成的比为 2,则

6.已知 O、A、B 为平面上三点,点 C 分有向线段 ( ) 。

A、

B、

C、

D、 , D、外心

7. O 是Δ ABC 所在平面上一点, 且满足条件 则点 O 是Δ ABC 的( ) 。 A、重心 B、垂心 8.设 、b、 (1)( ·b)2= (4)(b ) -( A、1
2

C、内心

均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列 4 个命题: ·b2 (2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2 a)b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是( ) 。 B、2 C、3 D 、4

9.在Δ ABC 中,A=60°,b=1, 等于( ) 。

,则

A、

B、

C、

D、 ) 。

10. 设 、 b 不共线, 则关于 x 的方程 x2+bx+ =0 的解的情况是 ( A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解 C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.).

11.在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 AC= 2 2 ,则 AB ? CA =_________ 12. 已知 ABCDEF 为正六边形, 且 AC =a, 则用 a, b 表示 AB 为______. AD =b, 13.有一两岸平行的河流,水速为 1,速度为 的小船要从河的一边驶向

对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。 14. 如果向量 与 b 的夹角为θ , 那么我们称 ×b 为向量 与 b 的 “向 量积” , ×b 是一个向量, 它的长度| ×b|=| ||b|sinθ , 如果| |=3, |b|=2, ·b=-2,则| ×b|=______。 三、解答题: (本大题共 4 小题,满分 44 分.) 15.已知向量 = , 求向量 b,使|b|=2| |,并且 与 b 的夹角为

。 (10 分)

16、已知平面上 3 个向量

、b、

的模均为 1,它们相互之间的夹角均

为 120。 (1) 求证:( -b)⊥ ; (2)若|k +b+ |>1 (k∈R), 求 k 的取值范围。 (12 分)

17. (本小题满分 12 分) 已知 e1, e2 是两个不共线的向量,AB =e1+e2, CB =-λ e1-8e2, CD =3e1-3e2, 若 A、B、D 三点在同一条直线上,求实数λ 的值.

18.某人在静水中游泳,速度为 4 3 公里/小时,他在水流速度为 4 公里/ 小时的河中游泳. (1)若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?实际前进的速度 为多少? (2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的 速度为多少?

平面向量测试题 参考答案 一、选择题: 1. D. 设 R(x, -9), 则由 得(x+5)(-8)=-11×8, x=6.

2. C. ∵|b|

, ∴ |

|

=

.

3. A. 平移后所得向量与原向量相等。 4.A.由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得 a2=b2+c2-bc, A=60°. sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC, 得 cosBsinC=0, ∴Δ ABC 是直角三角形。 5.D. 6. B 7. B. 由 ⊥BC,∴O 是Δ ABC 的垂心。 8.A.(1)(2)(4)均错。 9. B. 由 ,得 OB⊥CA,同理 OA .

, 得 c=4, 又 a2=b2+c2-2bccosA=13,



.

10.B.- =x2 +xb,根据平面向量基本定理,有且仅有一 对实数λ 和μ ,使- =λ +μ b。故λ =x2, 且μ =x, 2 ∴λ =μ ,故原方程至多有一个实数解。 二、填空题 11. ? 4 12.. 14. 。 13. 与水流方向成 135°角。 ·b=| ||b|cosθ ,

∴ 三、解答题

,

|

×b|=|

||b|sin

15 . 由 题 设 , 则由 . ∴

,



b= ,得

,

解得 sinα =1 或



当 sinα =1 时, cosα =0; 当 故所求的向量 16.(1) ∵向量 夹角均为 120°。 ∴ 、b、 或

时, 。



的模均为 1,且它们之间的 , ∴( -b)⊥ .

(2) ∵|k +b+ |>1, ∴ |k +b+ |2>1, ∴k2 2+b2+ 2+2k ·b+2k · +2b· >1, ∵ ,

∴k2-2k>0, ∴k<0 或 k>2。 17.解法一:∵A、B、D 三点共线 xkb1.com ∴ AB 与 AD 共线,∴存在实数 k,使 AB =k· AD 又∵ AD ? AB ? BC ? CD ? AB ? CB ? CD =(λ +4)e1+6e2. ∴有 e1+e2=k(λ +4)e1+6ke2

?(? ? 4)k ? 1 ∴有 ? ?6k ? 1

1 ? ?k ? ∴? 6 ? ?? ? 2

解法二:∵A、B、D 三点共线 ∴ AB 与 BD 共线,

∴存在实数 m,使 AB ? mBD 又∵ BD ? CD ? CB =(3+λ )e1+5e2 ∴(3+λ )me1+5me2=e1+e2

?(3 ? ? )m ? 1 ∴有 ? ?5m ? 1

1 ? ?m ? ∴? 5 ? ?? ? 2

18、 解: (1)如图①, 设人游泳的速度为 OB , 水流的速度为 OA , 以 OA 、 OB

OACB , 则 此 人 的 实 际 速 度 为

OA ? OB ? OC 新课标第一网

图① ② 由勾股定理知| OC |=8



且在 Rt△ACO 中, ∠COA=60°,故此人沿与河岸成 60°的夹角 顺着水流的方向前进,速度大小为 8 公里/小时. (2)如图②,设此人的实际速度为 OD ,水流速度为 OA ,则游 速 为

AD ? OD ? OA




D o

Rt
A s?


3 O. 3

AOD





| AD |? 4 3, | OA |? 4, | OD |? 4 2 , c

∴∠DAO=arccos

3 . 3 3 的夹角逆着水流方向前进,实际 3

故此人沿与河岸成 arccos

前进的速度大小为 4 2 公里/小时.

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