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第一章 解三角形 章末质量评估(人教A版必修5)


第一章 解三角形 章末质量评估
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,a=4,b=4 3,角 A=30° ,则角 B 等于 A.30° C.60° B.30° 或 150° D.60° 或 120° ( ).

bsin A 4 3sin 30° 3 解析 根据正弦定理得,sin B= = = . a 4 2 ∵b>a,∴B>A=30° ,∴B=60° 或 120° . 答案 D 2.(2011· 福州高二检测)在△ABC 中,a=1,A=30° ,B=60° ,则 b 等于 A. 3 2 1 B. 2 C. 3 D.2 ( ).

a b 1 b 解析 由正弦定理知 = ,故 = ,解之得 b= 3,故选 C. sin A sin B sin 30° sin 60° 答案 C 3.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则 cos C 的值为 2 A. 3 2 B.- 3 1 C. 4 1 D.- 4 ( ).

解析 由正弦定理及 sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4 知,a∶b∶c=3∶2∶4,令 a=3x, a2+b2-c2 ?3x?2+?2x?2-?4x?2 1 则 b=2x,c=4x(x>0),根据余弦定理得,cos C= = =- . 2ab 4 2×3x×2x 答案 D a b c 4.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是 cos A cos B cos C A.直角三角形 C.钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 ( ).

sin A sin B sin C 解析 由正弦定理,原式可化为 = = , cos A cos B cos C ∴tan A=tan B=tan C. 又∵A,B,C∈(0,π),∴A=B=C. ∴△ABC 是等边三角形. 答案 B

5.已知锐角三角形的边长分别为 2,4,x,则 x 的取值范围是 A.1<x< 5 C.1<x<2 5 B. 5<x< 13 D.2 3<x<2 5

(

).

?22+42-x2>0, ? 解析 由题意,x 应满足条件? 2 2 2 ? ?2 +x -4 >0,

解得:2 3<x<2 5. 答案 D 6.已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦是方程 2x2+3x-2=0 的根,则第三边 长是 A. 20 B. 21 C. 22 D. 61 ( ).

1 解析 设长为 4,5 的两边的夹角为 θ,由 2x2+3x-2=0 得:x= ,或 x=-2(舍). 2 1 ∴cos θ= , 2 ∴第三边长为 答案 B sin B 7.在△ABC 中,若 A=120° ,AB=5,BC=7,则 的值为 sin C 8 A. 5 5 B. 8 5 C. 3 3 D. 5 ( ). 1 42+52-2×4×5× = 21. 2

解析 由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A, 即 72=52+AC2-10AC· cos 120° , sin B AC 3 ∴AC=3.由正弦定理得 = = . sin C AB 5 答案 D 8.已知△ABC 的三边分别为 a,b,c,且 a=1,B=45° ,S△ABC=2,则△ABC 的外接圆的 直径为 A.4 3 B.5 C.5 2 D.6 2 ( ).

1 解析 ∵S△ABC= acsin B,∴c=4 2, 2 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B=25,∴b=5. b 由正弦定理 2R= =5 2(R 为△ABC 外接圆的半径),故选 C. sin B 答案 C 9.在△ABC 中,AB=3,A=60° ,AC=4,则边 AC 上的高是 ( ).

3 A. 2 2

3 B. 3 2 3 . 2

3 C. 2

D.3 3

解析 ∵A=60° ,∴sin A=

1 1 3 ∴S△ABC= AB· AC· sin A= ×3×4× =3 3. 2 2 2 设边 AC 上的高为 h, 1 1 3 则 S△ABC= AC· h= ×4×h=3 3,∴h= 3. 2 2 2 答案 B 10.(2011· 龙山高二检测)已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向 量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为 ( π A. 6 ). π B. 3 π C. 2 2π D. 3

a2+b2-c2 1 解析 p∥q?(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即 c2-a2-b2+ab=0? = =cos C, 2ab 2 π ∴C= . 3 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 11.在△ABC 中,若 B=60° ,a=1,S△ABC= 3 c ,则 =________. 2 sin C

1 解析 把已知条件代入面积公式 S△ABC= acsin B 得 c=2. 2 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B=3,∴b= 3. c b 由正弦定理 = =2. sin C sin B 答案 2 9 12.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________. 10 解析 设 BC=x,则根据余弦定理得, AB2=AC2+BC2-2· AC· BCcos C, 9 即 5=25+x2-2×5· x· , 10 ∴x2-9x+20=0,∴x=4 或 x=5. 答案 4 或 5 13.(2011· 洛阳高二检测)在△ABC 中,若 b= 2a,B=2A,则△ABC 为________三角形. 解析 由正弦定理知 sin B= 2sin A,

又∵B=2A,∴sin 2A= 2sin A, ∴2sin Acos A= 2sin A, ∴cos A= 2 ,∴A=45° ,B=90° . 2

故△ABC 为等腰直角三角形. 答案 等腰直角 14.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60° ,行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15° ,这时船与灯塔的距离为________ km. 解析 如图,由已知条件, 得 AC=60 km,∠BAC=30° , ∠ACB=105° ,∠ABC=45° . ACsin ∠BAC 由正弦定理 BC= =30 2 (km) sin B 答案 30 2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 sin2B+sin2C=sin2A+sin B sin C,且AC· AB=4,求△ABC 的面积 S. 解 由已知得 b2+c2=a2+bc, ∴bc=b2+c2-a2=2bccos A, 1 3 ∴cos A= ,sin A= . 2 2 由AC· AB=4,得 bccos A=4,∴bc=8, 1 ∴S= bcsin A=2 3. 2 16.(10 分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围 1 千米处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约 1.732 千米有一条 北偏东 60° 方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时 12 千米的速度沿公路 行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合 格? 解 如图所示,考点为 A,检查开始处为 B,设公路上 C,D 两点到考点的距离为 1 千米. 在△ABC 中,AB= 3≈1.732(千米),AC=1(千米),∠ABC= 30° ,

→ →

→ →

sin 30° 3 由正弦定理 sin∠ACB= · AB= , AC 2 ∴∠ACB=120° (∠ACB=60° 不合题意), ∴∠BAC=30° ,∴BC=AC=1(千米), 在△ACD 中,AC=AD,∠ACD=60° , ∴△ACD 为等边三角形,∴CD=1(千米). BC ∵ ×60=5,∴在 BC 上需 5 分钟,CD 上需 5 分钟. 12 所以最长需要 5 分钟检查员开始收不到信号,并持续至少 5 分钟才算合格.

17.(10 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求 C. 解 由 B=π-(A+C),得 cos B=-cos(A+C). 于是 cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C, 1 由已知得 sin Asin C=2.① 由 a=2c 及正弦定理得 sin A=2sin C.② 1 由①、②得 sin2C=4, 1 1 于是 sin C=-2(舍去),或 sin C=2. π 又 a=2c,所以 C=6.
1 18.(12 分)在△ABC 中,若 sin(C-A)=1,sin B= . 3 (1)求 sin A 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. 解 (1)由 sin(C-A)=1 知, π C-A= ,且 C+A=π-B, 2 π B ∴A= - , 4 2 π B? B B? 2? ∴sin A=sin? ?4- 2 ?= 2 ?cos 2 -sin 2 ?, 1 1 ∴sin2A= (1-sin B)= , 2 3 又 sin A>0,∴sin A= 3 . 3

AC BC (2)由正弦定理得 = , sin B sin A ACsin A ∴BC= = sin B 3 6· 3 =3 2, 1 3

由(1)知 sin A=

3 6 ,∴cos A= . 3 3

1 2 2 又 sin B= ,∴cos B= . 3 3 又 sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 3 2 2 6 1 6 × + × = , 3 3 3 3 3

1 1 6 ∴S△ABC= AC· BC· sin C= × 6×3 2× =3 2. 2 2 3 19.(12 分)在△ABC 中,已知 sin B=cos Asin C,AB· A C =9,又△ABC 的面积等于 6. (1)求 C; (2)求△ABC 的三边之长. 解 (1)设三角形三内角 A,B,C 对应的三边分别为 a,b,c, ∵sin B=cos Asin C, sin B b ∴cos A= ,由正弦定理有 cos A= , sin C c b2+c2-a2 又由余弦定理有 cos A= , 2bc
2 2 2 b b +c -a ∴ = ,即 a2+b2=c2, c 2bc

→ →

所以△ABC 为 Rt△ABC,且 C=90° .

→ → → → ? AC=|A B|| AC|cos A=9, ?AB· (2)又? 1 → → S△ABC= | AB||AC|sin A=6, ? 2 ?
4 a ②÷ ①,得 tan A= = ,令 a=4k,b=3k(k>0), 3 b 1 则 S△ABC= ab=6?k=1, 2 ∴三边长分别为 a=4,b=3,c=5.

① ②


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