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2008高考数学专题复习


高考数学专题复习 解析几何题型与方法(文科)
一、 1.直线 (1).直线的倾斜角和斜率 (2) .直线的方程 a.点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ; b.截距式: y ? kx ? b ; 考点回顾

y ? y1 x ? x1 x y ? ; d.截距式: ? ? 1 ; y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b e.一般

式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0.
c.两点式: (3).两直线的位置关系 两条直线 l1 , l 2 有三种位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有且只有一个公共点) ;重 合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交. (4).简单的线性规划. ①存在一定的限制条件,这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不 等式组来表示,称为线性约束条件. ②都有一个目标要求,就是要求依赖于 x、y 的某个函数(称为目标函数)达到最大值 或最小值.特殊地,若此函数是 x、y 的一次解析式,就称为线性目标函数. ③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. 2. 圆 (1).圆的定义 (2).圆的方程 a.圆的标准方程,b.圆的一般方程, c.圆的参数方程 (3).直线与圆 3.圆锥曲线 (1).椭圆的性质

条件

{M|MF1 |+|MF2 |=2a , 2a >|F1 F2 |}

|MF1 | {M|
标准方程 顶点 轴 焦点 焦距

|MF2 | = 点M到l 2 的距离

点M到l 1 的距离

= e, 0<e<1}

x2 y2 ? ? 1(a>b> 0) a 2 b2 A1 (- a , 0), A2 (a , 0) B1 (0 ,- b), B2 (0 , b)
F1 (- c , 0), F2 (c , 0) |F1 F2 |=2c(c > 0), c 2 =a2 - b2

x2 y2 ? ? 1( a>b> 0) b2 a2 A1 (0 ,- a), A2 (0 , a) B1 (- b , 0), B2 (b , 0)
F1 (0 ,- c), F2 (0 , c)

对称轴: x 轴, y 轴.长轴长|A1 A2 |=2a ,短轴长|B1 B2 |=2b

c e= (0<e<1) a a2 a2 ;l 2 : x= 准线方程 l1 :x= ? c c
离心率 焦点半径 |MF1 |= a + ex0 , |MF2 |= a - ex0

a2 a2 ;l 2 : y= c c |MF1 |= a + ey0 , |MF2 |= a - ey0 l1 :y= ?


点和椭圆 的关系



x2 0 a2

?

y2 0 b2

? 1 ? ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 < 内
(k 为切线斜率), y=kx± b 2 k 2 ? a 2 x0x y y + 02 =1 2 b a (x0 , y0 )为切点 (x0 , y0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 b a

(k 为切线斜率), y=kx± a 2 k 2 ? b 2 切线方程 x 0 x + y 0 y =1 a2 b2 (x0 , y0 )为切点 切点弦 方 程 (x0 , y0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 a b

1 k2 弦长公式 其中(x1 , y1 ), 2 , y2 )为割弦端点坐标, k 为割弦所在直 (x | x 2 -x 1 | 1 + k 2 或|y 1 -y 2 | 1 +
线的斜率

(2)双曲线的性质

切点弦 方 程

(x0 , y0 )在双曲线外 x0x y y - 02 =1 2 a b

(x0 , y0 )在双曲线外 y0y x x - 02 =1 2 a b

| x 2 -x 1 | 1 + k 2 或 | y 1 -y 2 | 1 +
弦长公式

1 k2

其中(x1 , y1 ),(x2 , y2 )为割弦端点坐标, k 为 割弦所在直线的斜率

P ={M|MF1 |-|MF2 |= 2a , a > 0 , 2a <|F1 F2 |}. 条件

P={M|

|MF1 | |MF2 | = =e,e>1}. 点M到l 1 的距离 点M到l 2 的距离
y2 x2 - 2 =1(a> 0,b> 0) a2 b A1 (0 ,- a), A2 (0 , a)
F1 (0 ,- c), F2 (0 , c) + b2

标准方程 顶点 轴 焦点 焦距 离心率

y2 x2 - 2 =1(a> 0,b> 0) a2 b A1 (- a , 0), A2 (a , 0)
F1 (- c , 0), F2 (c , 0) |F1 F2 |= 2c(c > 0), c 2 = a2

对称轴: x 轴, y 轴,实轴长|A1 A2 |= 2a ,虚轴长|B1 B2 |= 2b

c e= (e>1) a a2 a2 l1 : x=- ; l 2 : x= 准线方程 c c
渐近线 方 程 共渐近线 的双曲线 系方程 焦点半径

l1 : y=-

a2 a2 ; l 2 : y= c c

y=±

y2 b x2 x( 或 2 - 2 = 0) a a b

y=±

y2 a x2 x( 或 2 - 2 = 0) b a b

y2 x2 - 2 =k(k≠ 0) a2 b
|MF1 |= ex0 + a , |MF2 |= ex0 - a y=kx± a 2 k 2 ? b 2 (k 为切线斜率)

y2 x2 - 2 =k(k≠ 0) a2 b
|MF1 |= ey0 + a , |MF2 |= ey0 - a y=kx± b 2 k 2 ? a 2 (k 为切线斜率)

b b k> 或k<- a x0x a y0y - 2 =1 切线方程 a2 b
((x0 , y0 )为切点

a a k> 或k<- b y0y b x0x - 2 =1 a2 b
((x0 , y0 )为切点

xy=a 2 的切线方程:

x0y ? y0x =a 2 ((x 0 ,y 0 ) 为切点 2

(3).抛物线中的常用结论 ①过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p ②设 A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线 y2=2px 上的两点, 则 AB 过 F 的充要条件是 y1y2 =-p2 ③设 A, B 是抛物线 y2=2px 上的两点,O 为原点, 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p,0) (4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线, 定 点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用 e 表示,当 0<e<1 时,是椭圆, 当 e>1 时,是双曲线,当 e=1 时,是抛物线. 4. 直线与圆锥曲线的位置关系: (在这里我们把圆包括进来) (1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根 的个数来判断(解析法). b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程 b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点 A 坐标,一直线与圆锥曲线交于两点 P、Q,且中点为 A,求 P、Q 所在的 直线方程 (4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或 者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲 线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法, 并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有 趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高 三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

二、

经典例题剖析

考点一 曲线(轨迹)方程的求法 常见的求轨迹方程的方法: (1)单动点的轨迹问题——直接法(五步曲)+ 待定系数法(定义法) ; (2)双动点的轨迹问题——代入法; (3)多动点的轨迹问题——参数法 + 交轨法。 例题 1. 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,
2 2

(1)如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 解析: (1)两点确定一条直线; (2)利用平面几何知识,找出关系。

| AB | 2 2 2 2 1 4 2 2 ) ? 12 ? ( ) ? , 由射影 ,可得 | MP |? | MA | ?( 2 3 3 3 2 定理,得 | MB | ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,
答案: (1)由 | AB |?

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0; (2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由
点 M,P,Q 在一直线上,得

2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB | 2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x


x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 =1(**)
2

把(*)及(**)消去 a, 并注意到 y ? 2 ,可得 x ? ( y ? ) ?
2

7 4

1 ( y ? 2). 16

点评:合理应用平面几何知识,这是快速解答本题的关键所在。 例题 2. (湖北省十一校)在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1) ,B(0, 1) 平面内两点 G、M 同时满足:① GA ? GB ? GC ? 0 , ② | MA | = | MB | = | MC | ③ GM ∥ AB (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程 (2)设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ,定点 F 的坐标为( 2 , 0) ,已知 PF ∥ FQ ,

??? ??? ??? ? ? ?

?

????

????

???? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ? ? ? RF ∥ FN 且 PF · = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值. RF
分析:本例(1)要熟悉用向量的方式表达点特征; (2)要把握好直线与椭圆的位置关系,弦 长公式,灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 解: (1)设 C ( x , y ), ? GA ? GB ? 2GO ,由①知 GC ? ?2GO , △ABC 的重心 , 由③知 M(

??? ??? ? ?

????

??? ?

????

?G 为

?

G(

x y , ) 3 3

由②知 M 是△ABC 的外心,?M 在 x 轴上

x ,0) , 3
????
得 ( ) ?1 ?
2

由 | MC | ? | MA |

???? ?

x 3

x ( x ? )2 ? y 2 3

化简整理得:

x2 。 ? y 2 ? 1(x≠0) 3 x2 ? y 2 ? 1的右焦点 3
2 ,则直线 PQ 的方程为 y = k ( x - 2 ) 2

(2)F( 2 ,0 )恰为

设 PQ 的斜率为 k≠0 且 k≠±

由?

? y ? k ( x ? 2) ? ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 2 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

设 P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = 则| PQ | = 1 ? k

6 2k 2 , 3k 2 ? 1

x1·2 = x

6k 2 ? 3 3k 2 ? 1

2

x ? 12 · ( x1 ? 2 ) 4 xx
2



1? k 2 · (

6 2k 2 2 6k 2 ? 3 ) ? 4? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

2 3(k 2 ? 1) = 3k 2 ? 1

2 3(k 2 ? 1) 1 ?RN⊥PQ,把 k 换成 ? 得 | RN | = 3? k2 k

1 | ?S = | PQ | · RN | 2 6(k 2 ? 1)2 = (3k 2 ? 1)(k 2 ? 3)

=2?

8 ) 1 3(k 2 ? 2 ) ? 10 k

1 8 ) ? 10 ? 2 k 2?S 1 8 ≥16 ? k 2 ? 2 ≥2 , ? k 2?S 3 1 ? ≤ S < 2 , (当 k = ± 时取等号) 2 ? 3(k 2 ?
又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2 综上可得

3 ≤S≤2 2 3 2

?Smax = 2 , Smin =

点评:本题考查了向量的有关知识,椭圆与直线的基本关系,二次方程的根与系数的关系及不 等式,转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 考点二 圆锥曲线的几何性质

例题 3.设 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 为上一点,已知 P、F1、F2 是一个直 9 4
| PF1 | 的值. | PF2 |

角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求

分析:由已知,F1 不是直角顶点,所以只要对 P、F2 中哪一个是直角顶点分两种情况即可. 解法 1:由已知,|PF1|>|PF2|,|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|= 2 5 , 若∠PF2F1 为直角,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,可解得:|PF1|=

14 ,|PF2| 3



| PF1 | 7 4 ? . ,这时 | PF2 | 2 3

若∠F2PF1 为直角,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,可解得:|PF1|=4,|PF2| =2,这时

| PF1 | ? 2. | PF2 |

解法 2:由椭圆的对称性,不妨设 P(x,y)(其中 x>0,y>0) F1 (? 5 ,0), F2 ( 5 ,0) .若∠PF2F1 , 为直角,则 P( 5 ,

| PF1 | 7 4 14 4 ? .若∠PF2F1 为 ) ,这时|PF1|= ,|PF2|= ,这时 | PF2 | 2 3 3 3

? x2 y2 ? ?1 ? 3 5 4 5 ? 9 4 直角,则由 ? ,解得: P ( , ). y y 5 5 ? ? ? ?1 ?x ? 5 x ? 5 ?
于是|PF1|=4,|PF2|=2,这时

| PF1 | ? 2. | PF2 |

点评:由椭圆的方程,熟练准确地写出其几何性质(如顶点,焦点,长、短轴长,焦距,离心 率,焦半径等)是应对考试必备的基本功;在解法 2 中设出了 P 点坐标的前提下,还可利用| PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex 来求解. 例 题 4 . 2006 年 湖 北 省 高 考 题 ) 设 A, B 分 别 为 椭 圆 (

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于 a 2 b2
焦距,且 x ? 4 为它的右准线 (Ⅰ) 、求椭圆的方程;
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y
M A P

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o
N

B

(4,0)

x

(Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点, 若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于 异于 A, B 的点 M、N ,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内
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分析:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进 行推理运算的能力和解决问题的能力
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解: (Ⅰ)依题意得 a=2c,

a2 =4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 c

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故椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

y
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M A

P

o
N

B

(4,0)

x

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0) 设 M(x0,y0)
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∵M 点在椭圆上,∴y0=

3 (4-x02) 4

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又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得

P(4,

6 y0 ) x0 ? 2

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从而 BM =(x0-2,y0) ,

???? ?

??? ? 6 y0 ) BP =(2, x0 ? 2

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2 ???? ??? ? ? 6 y0 2 ∴ BM · =2x0-4+ = (x02-4+3y02) BP x0 ? 2 x0 ? 2

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将①代入②,化简得 BM · = BP

???? ??? ? ?

5 (2-x0) 2

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∵2-x0>0,∴ BM · >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, BP 故点 B 在以 MN 为直径的圆内

???? ??? ? ?

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解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0)

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设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为( 依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) , 2 2

BQ -

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 -2)2+( 1 ) - [(x1-x2)2+(y1-y2)2] MN =( 1 2 2 4 4
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 ③

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上,



6 y1 6 y2 (x 2 ? 2) y1 3 ? ,即 y2= x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2



又点 M 在椭圆上,则

x1 y 3 2 2 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 3 4
2

2

2



于是将○、○代入○,化简后可得 BQ - 4 5 3 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内

1 5 2 MN = (2-x1 )( x2 ? 2) ? 0 4 4

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点评:本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,运用数学知识进行推理运 算的能力和解决问题的能力
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考点三 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解 例题 5.已知某椭圆的焦点 F1(-4,0) 2(4,0) ,F ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的 一个焦点为 B,且=10,椭圆上不同两点 A(x1,y1) ,C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,| F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标. 分析:因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离,所以可以从椭圆的定义入手. 解: (1)由椭圆的定义及已知条件知:2a=|F1B|+|F2B|=10,所以 a=5,

又 c=3,故 b=4.故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 25 9

9 25 ,因为椭圆的右准线方程为 x ? , 5 4 4 4 25 4 离心率 e ? .所以根据椭圆的第二定义,有 | F2 A |? ( ? x1 ) ? 5 ? x1 , 5 5 4 5 4 25 4 | F2 C |? ( ? x2 ) ? 5 ? x2 .因为|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列, 5 4 5 4 4 9 于是 5 ? x1 + 5 ? x 2 ? 2 ? ,所以: x1+x2=8, 5 5 5 x ? x2 从而弦 AC 的中点的横坐标为 1 ? 4。 2
由点 B(4,y0)在椭圆上,得|F2B|=|y0|= 考点四 直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程, 利用判别式、 韦达定 理来求解或证明. 例题 6. (2007 江西吉安)已知双曲线的两条渐近线方程为直线 l1 : y ? 其焦点在 x 轴上,实轴长为 2. (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线相切于点 M 且与右准线交于 N,F 为右焦点,求证: ∠MFN 为直角. 分析:将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程,用韦达定理来求解. 解: (Ⅰ)由题意,设双曲线方程为 3 x ? y ? ? (? ? 0) ?
2 2

3x和l 2 : y ? ? 3x ,

x2

?
3

?

y2

?

?1

又 2a ? 2 ? a ? 1 ?

?
3

? 1 ? ? ? 32 ? 2 ? a ? 1 ,∴方程为 x 2 ?

y2 ?1 3

? ?3 ? k 2 ? 0 ?k 2 ? 3 (Ⅱ)由消去 y 得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2k x ? 4 ? 0,由? ?? 2 ? k ? ?2 ?k ? 4 ?? ? 0 ?
当 k=2 时得 x M ? ?2,代入y ? 2 x ? 1得y M ? ?3, ? M (?2,?3)

? y ? 2x ? 1 1 ? ? N ( ,2) ? 1 2 ?x ? 2 ?

F (2,0) ? FM ? (?4,?3)

3 FN ? (? ,2) ? FM ? FN ? 6 ? 6 ? 0 ? FM ? FN 2 1 当 k=-2 时同理得 M (2,?3), N ( ,0) 2 3 F (2,0) ? FM ? (0,?3), FN ? (? ,0) ? FM ? FN ? 0 ? FM ? FN 2
综上:∠MFN 为直角. 考点五 圆锥曲线在高考中的应用 (1) .圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 例题 7. (河南省开封市 2007 届高三年级第三次质量检测)设 P 是双曲线 任一点. (1)过点 P 分别作两渐近线的垂线,垂足分别为 E,F,求 | PE | ? | PF | 的值; (2)过点 P 的直线与两渐近线分别交于 A、B 两点,且 AP ? 2 PB, 求?AOB 的面积.

x2 y2 ? ? 1 右支上 4 16

2 , 4 , 6

分析: (1)要求椭圆的方程及离心率,很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中 心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质 解: (I)设 P( x0 , y 0 ), 则
2 x0 2 2 ? 1 ? 4 x0 ? y 0 ? 16 4

∵两渐近线方程为 2 x ? y ? 0 由点到直线的距离公式得

?| PF | ? | PF |?

2 2 | 4 x0 ? y 0 | 16 ? . …………7 分 5 5

(II)设两渐近线的夹角为 ? ,

则 tan? ?|

2?2 4 1 3 |? , cos? ? ? , 2 1? 4 3 1 ? tan ? 5

? sin ? ?

4 5

? ?AOB ? ? ? ? , 设A( x1 ,?2 x1 ), B ( x 2 ,2 x 2 ), ?| OA |? 5 x1 , | OB |? 5 x 2 , (? P是AB的内分点) ?| OA | ? | OB |? 5 x1 x 2 . 又 AP ? 2 PB, x1 ? 2 x 2 ? , ? x0 ? x2 y2 ? 3 ?? 代入 ? ? 1, 4 16 ? y ? 2 x1 ? 4 x 2 , ? 0 3 ? ( x ? 2 x 2 ) 2 ( x1 ? 2 x 2 ) 2 8x x 得 1 ? ? 1, 即 1 2 ? 1, 36 36 36

? x1 x 2 ?
S ?AOB

9 2 1 1 9 4 ? | OA | ? | OB | sin(? ? ? ) ? ? 5 ? ? ? 9 2 2 2 5

例题 8. (江苏卷)已知 F1 (?2,0), F2 (2,0), 点P 满足 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,记点 P 的轨迹为 E.

(1)求轨迹 E 的方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点. (i) 无论直线 l 绕点 F2 怎样转动, x 轴上总存在定点 M (m,0) , MP ? MQ 恒成立, 在 使 求实数 m 的值. (ii)过 P、Q 作直线 x ? 求 λ 的取值范围. 解析: (1)由 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ?| F1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1、F2 为焦点的双曲线右支,

1 的垂线 PA、OB,垂足分别为 A、B,记 ? ? | PA | ? | QB | , 2 | AB |

y2 ? 1( x ? 1). 由 c ? 2, 2a ? 2, ? b ? 3 ,故轨迹 E 的方程为 x ? 3
2

2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,与双曲线 方程联立消 y 得 (k ? 3) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2

?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? ? ? x ? x ? 4k ? 0 1 2 k2 ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 k ?3 ?
解得 k2 >3 (i)? MP ? MQ ? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? y1 y 2

? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? k 2 ( x 1 2)( x ? 2) ? 2 ? ( k 2 ? 1) x1 x 2 ? (2k 2 ? m)( x 1 x )2? m 2? 4k ? ?
2 2 2 ( k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) 4k (2k ? m) ? ? m 2 ? 4k 2 2 2 k ?3 k ?3 2 3 ? (4m ? 5) k ? ? m2 . k2 ?3

? MP ? MQ,? MP ? MQ ? 0 ,
故得 3(1 ? m ) ? k (m ? 4m ? 5) ? 0 对任意的
2 2 2

k 2 ? 3 恒成立,
?1 ? m 2 ? 0 ? ?? 2 , 解得m ? ?1. ?m ? 4 m ? 5 ? 0 ?
∴当 m =-1 时,MP⊥MQ. 当直线 l 的斜率不存在时,由 P(2,3), Q(2,?3)及M (?1,0) 知结论也成立, 综上,当 m =-1 时,MP⊥MQ. (ii)? a ? 1, c ? 2,? 直线 x ?

1 是双曲线的右准线, 2 1 1 1 由双曲线定义得: | PA |? | PF2 |? | PF2 |, | QB |? | QF2 | , e 2 2
方法一:? ? ?

1 ? k 2 | x 2 ? x1 | | PQ | ? 2 | AB | 2 | y2 ? y1| ? 1 ? k 2 | x 2 ? x1 | 1? k 2 1 1 ? ? 1? 2 . 2 | k ( x 2 ? x1 ) | 2|k | 2 k

? k 2 ? 3,? 0 ?

1 1 1 3 ? ,故 ? ? ? , 2 3 2 3 k

注意到直线的斜率不存在时, | PQ |?| AB |, 此时? ? 综上, ? ? ? ,

1 , 2

?1

3? ?. 2 3 ? ? ?

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为 θ,由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点,

?

2? ,过 Q 作 QC⊥PA,垂足为 C,则 3 3 ? | PQ | | PQ | 1 1 ?PQC ?| ? ? |,? ? ? ? ? ? . ? 2 2 | AB | 2 | CQ | 2s i n ? 2c o s ( ??) 2 ?? ?

?



?
3

?? ?
?1

2? 3 ,得 ? sin ? ? 1, 3 2

故: ? ? ? ,

3? ?. 2 3 ? ? ?

点评:本题考查了双曲线的第二定义,垂直关系, 韦达定理和求参数的范围. (2) 。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 例题 9.已知 a ? ( x,0), b ? (1, y ), ( 3 a ? b) ? ( 3 a ? b). (1)求点 P( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 A、B 两点,并且 A、B 在 y 轴的同一侧,求实 数 k 的取值范围. (3)设曲线 C 与 x 轴的交点为 M,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 A、B 两点,是否 存在实数 k,使得以 AB 为直径的圆恰好过点 M?若有,求出 k 的值;若没有,写 出理由. 解: (1)由 ( 3 a ? b) ? ( 3 a ? b), 得到( 3 a ? b) ? ( 3 a ? b) ? 0 又 a ? ( x,0), b ? (1, y ), 得 3 a ? b ? ( 3x ? 1, y ), 3 a ? b ? ( 3 x ? 1,? y )

? ( 3x ? 1) ? ( 3x ? 1) ? y ? (? y ) ? 0 ,故所求的轨迹方程是 3x 2 ? y 2 ? 1
(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,把 y ? kx ? 1代入3x ? y ? 1 ,得
2 2

(3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0,由3 ? k 2 ? 0且? ? 0, 得 ? 6 ? k ? 6且k ? ? 3

∵A、B 在 y 轴的同一侧,? x1 x 2 ? 0 ,得到 k ? ? 3或k ? 综上,得 k ? (? 6 ,? 3 ) ? ( 3 , 6 ) . ( 3 ) 由 ( 2 ) 得

3

x1 ? x2 ?

2k k ?3
2

…①

x1 x 2 ?

2 k ?3
2

…②

y1 ? kx1 ? 1, y 2 ? kx2 ? 1 ……③
∵曲线 C 与 x 轴交点 M 1 (

3 3 ,0 ) 、 M 2 ( ? ,0) ,若存在实数 k,符合题意,则 3 3
3 3 ) ? ( x2 ? ) ? y1 y 2 ? 0 3 3

MA ? MB, 不妨取点 M 1 , M 1 A ? M 1 B ? 0, 得( x1 ?

将①②③式代入上式,整理得到 2k 2 ? 3k ? 3 ? 0 ,解得 k ? ? 3 (k ? 3 舍去) 2 根据曲线的对称性,知存在实数 k ? ?

3 ,使得以 AB 为直径的圆恰好过 M 点 2

点评:本题是向量,轨迹,直线与圆锥曲线的位置关系的有机结合。 考点六 求范围

x2 y2 AP 例题 10.设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 的取值 ? ? 1 顺次交于 A、B 两点,试求 9 4 PB
范围. 分析:本题中,绝大多数同学不难得到:

AP x = ? A ,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在 PB xB

于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关 于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程) ,这只需利用对应的思想实施;其二则是构 造关于所求量的一个不等关系. 解:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP 1 ?? ; PB 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y 2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆 方程,消去 y 得

?9k

2

? 4 x 2 ? 54 kx ? 45 ? 0

?

解之得

x1, 2 ?

? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形.

? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 当 k ? 0 时, x1 ? , x2 ? , 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4
所以

x ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 18k AP 18 ?? 1 = =1 ? =1 ? PB x2 9k ? 2 9k 2 ? 5 9k ? 2 9k 2 ? 5 9?2 9? 5
? ? (?54 k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?

.

k2

由 所以

?

?

5 , 9

?1 ? 1?

18 9?2 9? 5 k2

1 ?? , 5

综上

?1 ?

AP 1 ?? . PB 5

点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法, 函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法. 例题 11.已知动点 P 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值,且 2 3

1 cos ?F1 PF2 的最小值为 ? . 9 (1)求动点 P 的轨迹方程;
(2)若已知 D(0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范 围. 分析: 为了求参数的取值范围, 只要列出关于参数的不等式, 而建立不等式的方法有多种方法, 诸如:判别式法、均值不等式法、有界性法等等.
2 解:(1)由题意 c ? 5 .设 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ( a ? 5 ) ,由余弦定理, 得

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2a 2 ? 10 cos ?F1 PF2 ? ? ? 1. 2 | PF1 | ? | PF2 | | PF1 | ? | PF2 |

| 又 | PF1 | · PF2 |? (

| PF1 | ? | PF2 | 2 ) ? a2 , 2

| 当且仅当 | PF1 |?| PF2 | 时, | PF1 | · PF2 | 取最大值,

此时 cos ?F1 PF2 取最小值
2 解得 a ? 9 ,? c ?

2a 2 ? 10 2a 2 ? 10 1 ?1 ? ? , ? 1 ,令 2 2 9 a a

5 ,∴ b 2 ? 4 ,

x2 y2 故所求 P 的轨迹方程为 ? ? 1. 9 4
(2)设 N (s, t ) , M ( x, y ) ,则由 DM ? ? DN ,可得

( x, y ? 3) ? ? (s, t ? 3) ,
故 x ? ?s, y ? 3 ? ? (t ? 3) . ∵ M 、 N 在动点 P 的轨迹上,

?

s2 t2 (?s) 2 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ? 1, ? ? 1且 9 4 9 4
(?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ?2 t 2 ? 1 ? ?2 ,解得 4

消去 s 可得

13? ? 5 , 6? 13? ? 5 1 又 | t |? 2 ,∴ | |? 2 ,解得 ? ? ? 5 , 6? 5 1 故实数 ? 的取值范围是 [ ,5] . 5 t?
点评: 新教材的高考已经进行了5年, 而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮 点,体现了向量知识的工具性和广泛的应用性. 三、 方法总结与高考预测 (一)方法总结 1.求曲线方程常利用待定系数法,求出相应的 a,b,p 等.要充分认识椭圆中参数 a,b,c,e 的意义及相互关系,在求标准方程时,已知条件常与这些参数有关. 2.涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要注意运用第一定义,而涉及曲线 上的点到某一焦点的距离,常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者,需要注意的是右焦点与右 准线对应,不能弄错. 3.直线与圆锥曲线的位置关系问题,利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一 元二次方程,利用判别式、韦达定理来求解或证明.

4.对于轨迹问题,要根据已知条件求出轨迹方程,再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等 特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等. 5.与圆锥曲线有关的对称问题,利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. (二)高考预测 1.求曲线(轨迹)方程的常用方法(直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等) 。 2.掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质,解答直线与圆的位置关系的思想方法。 3.解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带。 直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容,因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和 部分省高考数学试题,本专题列出高考考查的热点内容有: (1)直线方程; (2)圆锥曲线的标准方程; (3)圆锥曲线的几何性质; (4)直线与圆锥曲线的位置关系; (5)求曲线(轨迹)方程。特别是求曲线(轨迹)方程和直线与圆锥曲线的位置关系问 题是高考解析几何问题的热中之热。


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