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2010年海淀区高三年级第二学期一模试题(文科)


海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (文科) 2010.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1. 在复平面内,复数 i(1 ? i) ( i 是虚数单位)对应的点位于( A.第一象限
? ?

) 分值

5

4

.69

B.第二象限
? ?

C.第三象限

D.第四象限

2. sin 75 cos30 ? cos75 sin 30 的值为( A. 1 B.

) 分值

5

4.78

1 2

C.

2 2

D.

3 2
5

3. 已知向量 a , b ,则“a//b”是“a+b=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

) 分值

2.82

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 A.

S3 S 2 ? ? 1 ,则数列 {an } 的公差是( ) 3 2
D.3

1 2

B.1

C.2

分值 5 4.38


5.在同一坐标系中画出函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 的图象, 可能正确的是 (

分值 5 4.33
y 1 y y y

O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

A

B

C

D

6.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为( A. 6 3 B.8 C. 8 3 D . 12



分值 5 2.56
7.给出下列四个命题: ①若集合 A, B 满足 A ? B ? A, 则 A ? B ; ②给定命题 p, q , 若“ p ? q ”为真,则“ p ? q ”为真;

③设 a, b, m ? R, 若 a ? b, 则 am ? bm ;
2 2

④若直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 1 . 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) 分值

5

3.66
D.4

C.3

8.直线 2ax ? by ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1相交于 A,B 两点(其中 a , b 是实数) ,且 ?AOB 是直 角 三 角 形 (O 是 坐标 原 点 ) , 则 点 P ( a, b) 与 点 (0,1) 之 间 距离的 最 大 值 为( )

分值 5 1.96
A

2 ?1

B. 2

C.

2

D.

2 ?1

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 若 x ? 0, 则 y ? x ?

4 的最小值是____________________. 分值 5 4.43 x

10. 已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l : x ? ?2 的距离相等,则点 P 的轨迹 方程为_________. 分值

5

3.45

?y ? x ? 11. 已知不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域的面积为 4,点 P( x, y) 在所给平面区域内, ?x ? a ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值为______. 分值

5

3.7

12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们每天平均学习时 间,绘成频率分布直方图 (如图) .则这 100 名同学中学习时间在 6~8 小时内的同学为 _______ 人. 分值

5

4.13

开始

频率/组距

a =2,i=1 i≥20
否 是

x
0.14 0.12 0.05 0.04 2 4 6 8 10 12 小时

a ?1?
i=i+1

1 a

输出 a 结束

第 12 题 13.

第 13 题图

第 10 题图 已 知 程 序 框 图 如 图 所 示 , 则 执 行 该 程 序 后 输 出 的 结 果 是

5 第 10 题图 _______________. 分值

3.41

14. 若点集 A ? {( x,图 y) | x2 ? y 2 ? 1}, B ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1} ,则 (1)点集 P ? ( x, y ) x ? x1 ? 1, y ? y1 ? 1, ( x1 , y1 ) ? A} 所表示的区域的面积为_____; (2)点集 M ? ( x, y ) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B? 所表示的区域的面 积为___________ . 分值

?

?

5

1.04

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? 其部分图象如图所示. (I)求 f ? x ? 的解析式; 分值 (II)求函数 g ( x ) ? f ( x ?

?
2

?? ?

?
2

),

6

4.21

?
4

) ? f (x ?
7

?

? ?? ) 在区间 ?0, ? 上的 4 ? 2?

最大值及相应的 x 值. 分值

4.03

16. (本小题满分 13 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动 .活动规则如下:消费每满 100 元可以转动如图所示的圆盘一次,其中 O 为圆心,且标有 20 元、 10 元、0 元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可 能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券.(例如:某顾客消费 了 218 元 ,第一次转动获得了 20 元,第二次获得了 10 元,则其共获得了 30 元优惠券.) 顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动. (I)若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券面额大于 0 元的概率? 分值

20元 10元 0元

6

5.29

( II ) 若 顾 客 乙 消 费 了 280 元 , 求 他 总 共 获 得 优 惠 券 金 额 不 低 于 20 元 的 概 率 ?

分值 7 5.75

17. (本小题满分 14 分) 如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60?, PA ? 平面 ABCD, 点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 . (I) 证明: BC ⊥平面 AMN ; 分值
P

5

4.46

N A

(II)求三棱锥 N ? AMC 的体积; 分值 4 3.22 (III)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE ;若存在, B 求出 PE 的长;若不存在,说明理由. 分值
M C

5

3.36

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 与函数 g ( x) ? a ln x(a ? 0) . (I)若 f ( x), g ( x) 的图象在点 (1,0) 处有公共的切线,求实数 a 的值; 分值 (II)设 F ( x) ? f ( x) ? 2 g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值. 分值

6

4.6

8

2.9

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 椭圆上. (I)求椭圆 C 的方程; 分值

1 3 , 且点(1, )在该 2 2

5

4.01
6 2 , 7

C 相交于 A, B 两点,若 ?AOB 的面积为 (II)过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 l 与椭圆
求圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程. 分值

8

2.07

20. (本小题满分 13 分)

? 1 ? 2a n , n为偶数, ? 2 ? 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ? ? , 1 ? ? 2a n ?1 , n为奇数, ? ?2 2
(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值; 分值

n ? 2, 3, ? 4,

.

3

2.59

(Ⅱ)设 bn ? a2n?1 ? 1 , n ? 1, 2,3... ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出其通项公式;

分值 5 1.07
(III)对任意的 m ? 2, m ? N * ,在数列 {an } 中是否存在连续 的 2 项构成等差数列?若存 ..
m m m 在,写出这 2 项,并证明这 2 项构成等差数列;若不存在,说明理由. 分值

5

0.11


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