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贵州省遵义航天高级中学2015-2016学年高二数学第一次(3月)月考试题 理


2015-2016 年第二学期高二第一次月考 数学(理)试卷
第Ⅰ卷 (选择题共60分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 仅有一项是符合题目要求的。 1. A. 1 (e +2x)
x

(

) C. D. e+1 )

B. e-1

2.“ 1 ? m ? 2 ”是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的( m ?1 3 ? m
)

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知函数 y=x -ax -3x+b 在 x ? 1 处取得极值 2 ,则实数 a, b 的值分别为(
3 2

A.0 和-4
3

B.0;b 取任意实数
2

C.0 和 4

D.4;b 取任意实数 )

4.函数 f(x)=x -3x -9x+2 在[-2,2]最大值是( A.-25 B.7 ) C.0 D.-20

5.下列结论错误的 是( ...
x

A.命题“若 p,则 q”与命题“若非 q,则非 p”互为逆否命题 B.命题 p:? x∈R,e ≥1,命题 q:? x∈R,x +x+1<0,则 p∨q 为真 C.“若 x 为 y=f(x)的极值点,则 f′(x)=0”的逆命题为真命题 D.若“p 且 q”为真命题,则 p、q 均为真命题 6.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导数 f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内极小值有( ) A. 1 个 [来源:学科网Z-XK] B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 7.如下图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的 正弦值为( )
2

A.

B.

C.

D.

[来源:学.科网ZXK]

1

8.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双

曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2 9.已知函数 f(x)=x +2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调递增,则实数 a 满足 ( A.a>0 B.a≥0 C.a≤-4 D.a<-4

)

10.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离为 4, a 2 b2


且双曲线一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( A. 2 5 B. 2 3 C. 4 3 D. 4 5

11. 正四面体 P—ABC 中, M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为(



A.

B.

C.

D.

12.直线 y ? a 分别与直线 y ? 3x ? 3 ,曲线 y ? 2 x ? ln x 交于 A,B 两点,则 | AB | 的最小 值为() A.

4 3

B.

1

C.

2 10 D. 4 5

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置. 13.求抛物线 与直线 所围成图形的面积________

14. 经过点 P(4,-2)的抛物线的标准方程为________ 15.已知双曲线

x2 y 2 x 2 y2 ? ? 1( a > 0 , b > 0) ? =1 有相同的焦点,且双曲线的离 和椭圆 a 2 b2 16 9

心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________ 16.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集 __________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)
2 2 已知命题 p : 4 ? x ? 6 , q : x ? 2 x ? 1 ? a ? 0(a ? 0) ,若 ?p 是 q 的充分不必要条件,

f (2) ? 0 ,

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0( x ? 0), x2

求 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)
2

已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的 方程.

19.(本小题满分 12 分) 1 3 2 2 已知函数 f(x)= x -ax +(a -1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的 3 切线方程为 x+y-3=0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间,并求出 f(x)在区间[-2,4]上的最大值.

20.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? 1 ,

AD ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动.[来源:学+科网ZXK]
(Ⅰ)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)当 BE 为何值时, PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45
?

3

[来源:学科网Z-XK] 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (1, ) ,且离心率等于 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(2,0) 作直线 PA, PB 交椭圆于 A, B 两点,且满足 PA ? PB ,试判断直线 AB 是否过定点,若过定点求出点坐标,若不过定点请说明理由。

22.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? ( x ? 2ax )e , x 为自变量
2 bx

(1).函数 f ( x ) 分别在 x ? ?1 和 x ? 1 处取得极小值和极大值,求 a , b . (2).若 a ? 0 且 b ? 1 , f ( x ) 在 [ ?1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围

4

高二理科数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 B 5 C 6 A 7 D 8 C 9 B 10 A 11 B 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、18 14、y =x 或 x =-8y
2 2

15、x /4-y /3=1

2

2

16、(-2,0)∪(2,+∞)

三、解答题: 17.解:17. p : ?2 ? x ? 10 ;

?p : x ? ?2 或 x ? 10 ; q : x ? 1? a 或 x ? a ?1
? ?p 为 q 的充分不必要条件

?1 ? a ? ?2 ?1 ? a ? ?2 或? ?? ?a ? 1 ? 10 ?a ? 1 ? 10
2

得: a ? 3.

? y 2 ? 2 px , 消去 y 得 18.设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1
4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0,
因此 x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (
p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2或6 4

p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4



? y 2 ? ?4 x,或y 2 ? 12 x
19.解:(1)f′(x)=x -2ax+a -1, ∵(1,f(1))在 x+y-3=0 上,∴f(1)=2, 1 2 ∵(1,2)在 y=f(x)上,∴2= -a+a -1+b, 3 8 2 又 f′(1)=-1,∴a -2a+1=0,解得 a=1,b= ?????5 分 3
5
2 2

1 3 8 2 2 (2)∵f(x)= x -x + ,∴f′(x)=x -2x, 3 3 由 f′(x)=0 可知 x=0 和 x=2 是 f(x)的极值点,所以有

?????6 分

x f′(x)[来源:学科网Z-XK] f(x)

(-∞,0) + ?

0 0 极大值

(0,2) - ?

2 0 极小值

(2,+∞) + ?

所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2) ?????9 分 8 4 ∵f(0)= ,f(2)= ,f(-2)=-4,f(4)=8, 3 3 ∴在区间[-2,4]上的最大值为 8. ?????12 分

20.解:18.解:(1)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF∥PC. 2分

又 EF ? 平面 PAC,而 PC ? 平面 PAC ∴EF∥平面 PAC. 4分

(2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则

P(0,0,1),B(0,1,0),F(0, , ),D( 3,0,0),6 分
设平面 PDE 的法向量为 m ? ( p, q,1) ,? PD ? ( 3,0, ?1), PE ? ( x,1, ?1)

??

1 1 2 2

??? ?

??? ?

?? ??? ? ?? ? ? 3 3x ? 3 p ?1 ? 0 ? m ? PD ? 0 ,1 ? ,1) .9 分 由 ? ?? ??? ,即 ? 可得 m ? ( ? 3 3 ? ? ? px ? q ? 1 ? 0 ? m ? PE ? 0
而 AP ? (0,0,1) ,依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45°,

??? ?

?? ??? ? 1 1 2 | m?AP | ? ∴ 所以 sin 45 ? ,10 分 ? ? ?? ??? 2 | m || AP | 2 1 3x 2 ? (1 ? ) ?1 3 3
0

得 BE ? x ? 3 ? 2 或 BE ? x ? 3 ? 2 ? 3 (舍).11 分 故 BE= 3- 2时,PA 与平面 PDE 所成角为 45° 21.解: (1) 12 分

x2 y2 ? ?1 4 2

( 2) 解: 设直线AB的方程为y ? kx ? m ,

6

联立椭圆方程得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 4 ? 0 x1 ? x 2 ? ?

4km 2m 2 ? 4 , x x ? [来源:学科网] 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

PA ? ( x1 ? 2, y1 ), PB ? ( x2 ? 2, y2 ), y1 ? kx1 ? m, y ? kx2 ? m
由 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 得 4k 2 ? 8km ? 3m 2 ? 0

2 2 2 m ? ?2k (舍去),m ? ? k , y ? k ( x ? ) ,所以过定点 ( ,0 ) 3 3 3
22.解:(1)解 f ? [bx ? ( 2 ? 2ab) x ? 2a ]e
' 2

bx

????(1 分)

? f ( x ) 的极值点为 1,-1

?2 ? 2ab ? 0 ? ?1,?1 是 f ( x ) ? 0 的二根,故 ? 2a ? ? ?1 ? ? b
'

? 2 ? 2 ?a ? ?a ? ? 解得: ? 2 或? 2 ?b ? 2 ?b ? ? 2 ? ?

????(3 分)

? ? 2 2 ?a ? ?a ? ? 当? 2 时 ,易判断与已知矛盾。? ? 2 ?b ? 2 ?b ? ? 2 ? ?
(2)当 b ? 1 时, f ? [ x ? ( 2 ? 2a ) x ? 2a ]e
' 2 x

????(5 分)

令 f ? 0 即 x ? ( 2 ? 2a ) x ? 2a ? 0
' 2

? ? ? 4( a 2 ? 1) ? 0
? x1 ? a ? 1 ? a 2 ? 1 , x2 ? a ? 1 ? a 2 ? 1, x1 ? x2 ????(7 分)

?a ? 0

? x1 ? ?1, x2 ? 0

????(9 分)

? f ( x ) 在 [ ?1,1] 上单调的充要条件是 [ ?1,1] ? [ x1 , x2 ] ????(12 分)
设 g ( x ) ? x ? ( 2 ? 2a ) x ? 2a ,只需要 g (1) ? 0
2

?a ?

3 4

7


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