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2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习 课件 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲


第6讲

对数与对数函数

最新考纲

1.理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式

能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化 运算中的作用; 2.理解对数函数的概念及其单调性, 掌握对数 1 函数图象通过的特殊点,会画底数为 2,10,2的对数函数的 图象;3.体会对数函数是一类

重要的函数模型;4.了解指数函 数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1) 互为反函数.

知识梳理 1.对数的概念 如果 ax = N(a>0 ,且 a≠1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,

记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.
2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质 ①alogaN= N ;②logaaN= N 数没有对数. (a>0,且 a≠1);③零和负

(2)对数的运算性质(a>0,且 a≠1,M>0,N>0) M log M-log N log M + log N a a a a ①loga(M· N) = ;②loga N = ③logaMn= ;

nlogaM

(n∈R).

(3)对数的重要公式

logaN ①换底公式: logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab 1 ②logab=log a,推广 logab· logbc· logcd= logad . b

3.对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自 变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

定义域
值域

(0,+∞) R 过点(1,0) ,即x= 1 时,y= 0

性质

当x>1时, y>0 ;当0<x 当x>1时, y<0 ;当 <1时, y<0 0<x<1时, y>0

在(0,+∞)上是 增 函数

在(0,+∞)上是 减 函数

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)logax2=2logax.( × ) 1 (2)函数 y=log2x 与 y=log22x 都是对数函数.( × ) (3)loga(b+c)=logab· logac.( × ) (4)若 logam<logan,则 m<n.( × ) x-2 (5)函数 f(x)=lg 与 g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个 x+2 函数.( × )

2.函数f(x)=loga(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象 必过定点( )

A.(1,0)
C.(-1,-2) 解析

B.(1,-2)
D.(-1,-1)

令x=-1,则loga(x+2)=

0,此时f(-1)=-2,故选C. 答案 C

2 3.(2015· 浙江卷)计算:log2 =______;2log23+ 2 log43=______. 2 1 1 解析 log2 2 =log2 2-log22=2-1=-2;
2log23 + log43 = 2log23· 2log43 = 3×2log43 = 3×2log2 =3 3.
3

1 答案 -2 3 3

4.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

解析

1 由 2x+1>0,得 x>-2,所以函数的定义域为 f(x) =

? 1 ? ?- ,+∞? ,由复合函数的单调性知,函数 ? 2 ? ? 1 ? log5(2x+1)的单调增区间是?-2,+∞?. ? ? ? 1 ? 答案 ?-2,+∞? ? ?

3 5.(人教 A 必修 1P75B2 改编)若 loga <1(a>0,且 4 a≠1),则实数 a 的取值范围是________. 3 解析 当 0<a<1 时,loga <logaa=1,解得 0< 4

3 3 a<4;当 a>1 时,loga4<logaa=1,解得 a>1.
答案
? 3? ?0, ?∪(1,+∞) 4? ?

考点一

对数的运算 ) D.4

【例 1】 (1)(log29)· (log34)=( 1 A. 4 1 B. 2 C.2

(2)(lg 2)2+lg 2· lg 50+lg 25=________.
解析 lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 (1)(log29)· (log34)=lg 2· lg 3= lg 2 · lg 3 =4.

(2)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1) lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.

答案 (1)D (2)2

规律方法

在对数运算中,要熟练掌握

对数式的定义,灵活使用对数的运算性 质、换底公式和对数恒等式对式子进行 恒等变形,多个对数式要尽量化成同底 的形式.

1 1 【训练 1】 (1)设 2 =5 =m,且a+b=2,则 m 等于(
a b

)

A. 10

B.10

C.20

D.100

?1?-1 5 (2)(2015· 安徽卷)lg2+2lg 2-?2? =________. ? ?

解析

1 1 1 (1)由已知,得 a=log2m,b=log5m,则a+b=log m+ 2

1 =logm2+logm5=logm10=2.解得 m= 10. log5m
?1?-1 5 (2)lg +2lg 2-?2? =lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2= 2 ? ?

lg 10-2=-1.

答案 (1)A (2)-1

考点二 对数函数的图象及应用

【例2】 (1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,
其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论 成立的是( A.a>1,c>1 ) B.a>1,0<c<1

C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 1 (2)当 0<x≤2时,4x<logax,则 a 的取值范围是(
? A.?0, ?

)

2? ? 2?

? B.? ?

? 2 ? 2 ,1?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

解析

(1)由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<

a<1.又当x=0时,y>0,即logac>0,所以0<c<1.

(2)由题意得,当 0<a<1 时,要使得 4

x

? 1? <logax?0<x≤2?,即当 ? ?

1 0<x≤ 时, 函数 y=4x 的图象在函数 y=logax 图象的下方.又当 2
?1 ? ?1 ? 1 1 x x=2时, 42=2, 即函数 y=4 的图象过点?2,2?.把点?2,2?代入 ? ? ? ?

2 函数 y=logax,得 a= 2 .若函数 y=4x 的图象在函数 y=logax 图象的下方, 2 则需 2 <a<1(如图所示).
? 当 a>1 时, 不符合题意, 舍去.所以实数 a 的取值范围是? ? ? 2 ?. 2 ,1?

答案 (1)D (2)B

规律方法

(1) 研究对数型函数的图象时,一般从最基本的

对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到对

数型函数的图象.
(2) 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题,可以借助函数 图象解决,具体做法为:①对不等式变形,使不等号两边 对应两函数f(x),g(x);②在同一坐标系下作出两函数y=f(x) 及y=g(x)的图象;③比较当x在某一范围内取值时图象的上

下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况.

【训练 2】 (1)已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a >0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足 的关系是( ) B.0<b<a-1<1 D.0<a-1<b-1<1
a

A.0<a-1<b<1 C.0<b-1<a<1

?1?b 1 1 ? ? (2)设 a,b,c 均为正数,且 2 =log2a, 2 =log2b, ? ? ?1?c ? ? =log2c,则( ?2?

) B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c

A.a<b<c

解析

(1)由函数图象可知,f(x)在 R 上单调递增,

故 a>1.函数图象与 y 轴的交点坐标为(0,logab), 1 由函数图象可知-1<logab<0,解得a<b<1. 1 综上有 0<a<b<1.

(2)如图,在同一坐标系中,作出函数
x

?1?x y=?2? , ? ?

1 y=2 , y=log2x 和 y=log x 的图象.由图象可知 2 a<b<c.
答案 (1)A (2)A

考点三 对数函数的性质及应用 [微题型1] 比较大小 【例3-1】 若a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( )

A.a>b>c C.c>a>b
解析

B.b>a>c D.b>c>a

因为 log3π > log33 = 1 , 0 = log71 < log76 <

log77 = 1 , log20.8 < log21 = 0 ,所以 a > b > c ,故
选A. 答案 A

规律方法

(1) 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调

性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分 类讨论; (2) 若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式

化为同底后,再进行比较; (3) 若底数与真数都不同,则常
借助1,0等中间量进行比较.

[微题型 2]

解简单的对数不等式 )

【例 3-2】 (1)函数 y= 2-log2x的定义域是( A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(0,4]

D.(0,4)

log x,x>0, ? ? 2 (2)设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 log (-x),x<0. ? ? 2 a 的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) ) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析

(1)由 2-log2x≥0,得 log2x≤2=log222,

解得 0<x≤4. (2) 由 题 意 可 得
? ?a>0, ? ? ?log2a>-log2a



a<0, ? ? ? 1 log (-a)>log2(-a), ? ? 2 解得 a>1 或-1<a<0.

答案 (1)C (2)C

规律方法

形如logax>logab的不等式,借助

y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,

需分 a > 1 与 0 < a < 1 两种情况讨论;形如
logax > b 的不等式,需先将 b 化为以 a 为底的 对数式的形式.

[微题型3] 与对数函数有关的最值问题
【例3-3】 已知函数f(x)=loga(3-ax), 是否存在这样的实数 a ,使得函数 f(x) 在 区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1? 如果存在,试求出a的值;如果不存在,

请说明理由.



假设存在满足条件的实数 a.

∵a>0, 且 a≠ 1, ∴u=3-ax 在[1, 2]上是关于 x 的减函数, 又 f(x)=loga(3-ax)在[1,2]上是关于 x 的减函数.∴函数 y= logau 是关于 u 的增函数.∴a>1,x∈[1,2]时,u 最小值为 3 -2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a), ? 3 a<2, ? ? 3 - 2 a >0 , ? ∴? 即? 故不存在这样的实数 a,使 ? 3 ?loga(3-a)=1, ? a= , 2 ? 得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1.

规律方法

解决与对数函数有关的最值问题,应注意两点:

(1)函数的定义域;(2)复合函数的单调性.

【训练 3】 (1)设 a=log32, b=log52, c=log23, 则( A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b

)

(2)函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0, 1]上最大值和最小 值之和为 a,则 a 的值为________.

解析

(1)∵ 3<2<3,1<2< 5,3>2,∴log3 3<log32<

log33,log51<log5 2<log5 5,log23>log22, 1 1 ∴2<a<1,0<b<2,c>1,∴c>a>b. (2)y=ax 与 y=loga(x+1)的单调性相同. ①当 a>1 时,f(x)的最大值为 f(1),最小值为 f(0). ②当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 f(0),最小值为 f(1). ∴不论 a>1 还是 0<a<1 都有 f(0)+f(1)=a, 1 即 a +loga1+a+loga2=a,解得 a=2. 1 答案 (1)A (2) 2
0

[思想方法] 1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时,logab>0; 当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时,logab<0.

2. 研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函
数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特 别地,要注意底数 a > 1 和 0 < a < 1 的两种不同情况 . 有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得 简单了,这是数形结合思想的重要体现.

3.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题, 其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底 的对数式,然后根据单调性来解决. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直

线y=1交点的横坐标进行判定.
[易错防范] 1.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意条件,在无M> 0的条件下应为logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)务必先研究 函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.


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