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【优化方案】(山东专用)2016年高考数学二轮复习 小题专题练(四)理


小题专题练(四)

立体几何

(建议用时:50 分钟) 1.若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α ,则“l⊥m”是“l∥α ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 → → → → 2.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M、N 分别是 B1B、AC 的中点,设AB=a,AC=b,AA1=c,则NM =( ) 1 1 A. a+b+c B. a+b-c 2 2 1 1 C. a+c D.a+ (c-b) 2 2 3.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得 的几何体,则该几何体的正(主)视图为( )

4.设直线 m 与平面 α 相交但不垂直,则( ) A.在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直 5.(2015·安丘模拟)如图所示是一个几何体的三视图,其侧视图是一个边长为 a 的等 边三角形,俯视图是两个正三角形拼成的菱形,则该几何体的体积为( ) A.a C.
3

B. D.

a3
2

a3
3

a3
4

第 5 题图 第 7 题图 6.直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) 1 2 A. B. 10 5 30 2 D. 10 2 7.如图,直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面,△ABC 内接于圆 O,且 AB 为圆 O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有以下命题:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离 C.
1

等于线段 BC 的长.其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知 m、n、b 分别是三条不重合的直线,有两个不重合的平面 α 、β ,且直线 b⊥ 平面 β ,有以下三个命题: ①若 m⊥α ,n∥b,且 α ⊥β ,则 m∥n;②若 m∥α ,n∥b,且 α ∥β ,则 m⊥n;③ 若 m⊥α ,n⊥b,且 α ⊥β ,则 m∥n.其中真命题的序号是( ) A.①②③ B.① C.② D.③ 9.已知四棱锥 V?ABCD 的顶点都在同一球面上,底面 ABCD 为矩形,AC∩BD=G,VG⊥平 面 ABCD,AB= 3,AD=3,VG= 3,则该球的体积为( ) A.4π B.9π C.12 3π D.4 3π 10. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 P 在 BC1 上运动, 则下列三个命题: ①三棱锥 A-D1PC 的体积不变;②DP⊥BC1;③平面 PDB1⊥平面 ACD1.其中正确命题的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

第 10 题图 第 13 题图 11.一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧(左)视图的面 积为________. 12 .若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1 ,则圆锥的体积为 ________.

13.如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,C1C 的中点.给出以下四个 结论: ①直线 AM 与直线 C1C 相交;②直线 AM 与直线 BN 平行;③直线 AM 与直线 DD1 异面;④ 直线 BN 与直线 MB1 异面.其中正确结论的序号为________.(注:把你认为正确的结论序号 都填上) 14.已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形.若 PA=2 6,则△OAB 的面积为________. 15.(2015·烟台模拟)在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正(主)视图和侧(左) 视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形.设点 M,N,P 分别是棱 AB,BC,B1C1 的中点,则三棱锥 P?A1MN 的体积是________.

2

小题专题练(四) 立体几何 1.解析:选 B.因为 m⊥α ,若 l∥α ,则必有 l⊥m,即 l∥α ? l⊥m. 但 l⊥m? / l∥α ,因为 l⊥m 时,l 可能在 α 内. 故“l⊥m”是“l∥α ”的必要而不充分条件. 1 1 → → → → 1→ 1 → 1→ → → 2.解析:选 D.NM=NB+BM,BM= CC1= c,NB= CA+AB=- b+a,所以NM=a- b 2 2 2 2 2 1 1 + c=a+ (c-b). 2 2 3.解析:选 B.通过分析可知,两个截面分别为平面 AMN 和平面 DNC1,所以易知正视图 为选项 B 中所示的图形. 4.解析:选 B.对于 A,过交点且与直线 m 垂直的直线有一条,在平面 α 内与此直线平 行的直线都与 m 垂直,故不正确;对于 B,过直线 m 上的一点作平面 α 的垂线,与直线 m 确定的一个平面与平面 α 垂直,故正确;对于 C,显然不正确;对于 D,显然不正确. 1 3 2 3 5.解析:选 D.根据三视图还原出原几何体,易知该几何体的体积 V=2× × a × 3 4 2

a3 a= .

4 6.解析:选 C.法一:由于∠BCA=90°,三棱柱为直三棱柱,且 BC=CA=CC1, 可将三棱柱补成正方体.建立如图(1)所示空间直角坐标系.设正方体棱长为 2,则可 → 得 A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),所以BM=(1,1,2)-(2,2,0) → =(-1,-1,2),AN=(0,1,2). → → BM·AN → → 所以 cos ?BM,AN?= = → → |BM||AN| -1+4 (-1) +(-1) +2 × 0 +1 +2
2 2 2 2 2 2



3 6× 5



30 . 10

1 法二:如图(2),取 BC 的中点 D,连接 MN,ND,AD,由于 MN 綊 B1C1 綊 BD,因此有 ND 2 綊 BM, 则 ND 与 NA 所成角即为异面直线 BM 与 AN 所成角. 设 BC=2, 则 BM=ND= 6, AN= 5, AD= 5, ND2+NA2-AD2 30 因此 cos∠AND= = . 2ND·NA 10 7.解析:选 D.易证 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥PC;OM∥PA,易证 OM∥平面 APC;因为 BC⊥平面 PAC,所以点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长;故①②③都正确,选 D. 8.解析:选 C.对于①,因为 b⊥β ,n∥b,所以 n⊥β ,又 m⊥α ,α ⊥β ,所以 m⊥n,
3

①错;对于②,因为 n∥b,b⊥β ,所以 n⊥β ,因为 m∥α ,α ∥β ,所以 n⊥α ,n⊥m, ②对;对于③,因为 m⊥α ,b⊥β ,α ⊥β ,所以 m⊥b,因为 n⊥b,所以 m、n 位置关系 不定,③错. 9.解析:选 D.依题意,底面矩形 ABCD 的对角线长为 ( 3) +3 =2 3,因此矩形 4π ABCD 的中心到该四棱锥的各个顶点的距离均为 3,题中的球的半径是 3,其体积为 × 3 ( 3) =4 3π ,故选 D. 10.解析:选 B.VA-D1 PC=VC-AD1 P,点 C 到平面 AD1P 的距离不变,且△AD1P 的面积不变, 所以三棱锥 A-D1PC 的体积不变,故①正确;易知当且仅当点 P 位于 BC1 中点时,DP⊥BC1, 故②错误;根据正方体的性质,有 DB1⊥平面 ACD1,因为 DB1? 平面 PDB1,所以平面 PDB1⊥ 平面 ACD1,故③正确. 11.解析:依题意可得三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形.又由体积为 12 3,可得 三棱柱的高为 3.所以侧视图的面积为 6 3. 答案:6 3 12.解析:过圆锥的旋转轴作轴截面,得截面△ABC 及其内切圆⊙O1 和外接圆⊙O2,且 两圆同圆心,即△ABC 的内心与外心重合,易得△ABC 为正三角形,由题意知⊙O1 的半径为 1 r=1,所以△ABC 的边长为 2 3,圆锥的底面半径为 3,高为 3,所以 V= ×π ×3×3=3 3 π. 答案:3π 13.解析:AM 与 C1C 异面,故①错;AM 与 BN 异面,故②错;③,④正确. 答案:③④ 14.解析:把球 O 的内接四棱锥还原为长方体,则球 O 的直径即为长方体的体对角线, 2 2 2 2 2 设外接球的半径为 R,则(2R) =(2 3) +(2 3) +(2 6) ,可得 R =12.在△OAB 中,设 AB 1 2 2 2 边上的高为 h,则 h =R -( 3) =9,则 h=3,所以 S△OAB= ×2 3×3=3 3. 2 答案:3 3 15. 解析: 由三视图易知几何体 ABC?A1B1C1 是上、 下底面为等腰直角三角形的直三棱柱, 则 VP?A1 MN=VA1 ?PMN=VA?PMN. 1 1 1 1 又 S△PMN= MN·NP= × ×1= , 2 2 2 4 1 A 到平面 PMN 的距离 h= , 2 1 1 1 1 1 所以 VA?PMN= S△PMN·h= × × = . 3 3 4 2 24 1 答案: 24
3 2 2

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