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海南省文昌中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


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2014—2015 学年度第二学期高二年级数学(理科)期考试题
(时间:120 分钟 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,下列每小题有且只有一个正确答案,请把正确 答案的代号,涂在答题卡上) 。 1.对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn), 则下列说法中不正确的是( ) 满分:150 分)

^ ^ ^ A.由样本数据得到的回归方程为y=bx+a必过样本点的中心( x , y ) B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.用相关指数 R 来刻画回归效果,R 的值越小,说明模型的拟合效果越好 D.若变量 y 和 x 之间的相关系数 r = -0.936 2,则变量 y 和 x 之间具有线性相关关系 2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种 植,则不同的种植方法共有( A.24 种 B.18 种 ) C.12 种 D.6 种
2 2

3.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且 各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( A.0.648
6

) D.0.312

B.0.432
3

C.0.36 ) C.15

4.在 x(1+x) 的展开式中,含 x 项的系数为( A.30 B.20

D.10

5.已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一 只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下,第 2 次 抽到的是卡口灯泡的概率为( A. ) C.

3 10

B.

2 9

7 8

D.

7 9

6.已知关于 x 的二项式 ( x ? 的值为( A.1 ) B. ? 1

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之和 为 32,常数项为 80,则 a

C.2

D. ? 2

7.随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(X=n)= 的值为( 2 A. 3 ) 3 B. 4

a ?9 13? (n=1、2、3、4),其中 a 为常数,则 P? <X< ? 4? n?n+1? ?4

4 C. 5

5 D. 16
1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 8.如图,用 4 种不同颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的 区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有( A.72 B.96 C.108 D.120 9.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N (0,3 ) ,从中随机取一件,其长度误差落在 区间(3,6)内的概率为( )
2

) 1 2 3 4 5

(附:若随机变量 ? 服从正态分布 N ( ? , ? 2 ) ,则 P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 68.26% ,

P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 95.44% .)
A. 13.59%
2 2

B.1 4.56%

C. 27.18%

D. 31.74%

10.方程 ay=b x +c 中的 a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同,在所有这些方程所表 示的曲线中,不同的抛物线共有( A.60 条 B.62 条
2m

) C.71 条
2m+1

D.80 条 展开式的二项式系数的最大值为 b,

11.设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y) 若 13a=7b,则 m= ( A.5 B. 7 ) C. 6

D.8

12.定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 满足 f (3) ? 0 ,且不等式 f ( x) ? ? xf ?( x) 在 (0,??) 上恒成立,则函 数 g ( x) = xf ( x) ? lg x ? 1 的零点的个数为( A.1 B.2 ) C.3 第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案写在答卷上) 13.3 名男生和 3 名女生排成一排,男生不相邻的排法有 14.曲线 y ? x
2

D.4

种. . .

与直线 y ?
4

x 所围成的封闭图形的面积为

15. (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ?

16.考查正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个 点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 。 17.(本小题满分 10 分)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: (1)求回归直线方程; x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)试预测广告费支出为 10 百万元时, 销售额多大?

?t + a ? =b ?中 附:回归方程 y

( x -x )( y -y ) ∑x y -nx y ∑
i i i i

n

n

b=

i =1

( x -x ) ∑
i i =1

n

=
2

i =1 n

∑x -nx
2 i i =1


2

a = y-bx

18.(本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名 观众进行调查,其中女性有 55 名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率 分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 10 55 体育迷 合计

n?ad-bc? 2 附:K = . ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k)
0.05 0.01
3

2

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k

3.841

6.635

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽 取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相 互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X).

19. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (1)若曲线 y ? f ( x ) 在点错误!未找到引用源。处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值点与极值.

20.(本小题满分 12 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人 体健康和大气环境质量的影响很大.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值 在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从 360 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 15 天 的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)从这 15 天的数据中任取 3 天 的数据,记ξ 表示空气质量达 到一级的天数,求ξ 的分布列; (2)以这 15 天的 PM2.5 日均值来 估计这 360 天的空气质量情况, 则其中大约有多少天的空气质 量达到一级. 2 3 4 6 7 8 9 PM2.5 日均值(微克/立方米) 8 2 4 3 9 6 2 5 1 5 8 3 5 4 3

21.(本小题满分 12 分) 某科技公司组织技术人员进行新项目研发,技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验 A,B,C,若 A,B,C 实验成功的概率分别为

4 3 2 , , . 5 4 3

(1)对 A,B,C 实验各进行一次,求至少有一次实验成功的概率; (2)该项目要求实验 A,B 各做两次,实验 C 做 3 次,如果 A 实验两次都成功则进行实验 B 并获奖励 10000 元,两次 B 实验都成功则进行实验 C 并获奖励 30000 元,3 次 C 实验只要有两次成功,则
4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 项目研发成功并获奖励 60000 元(不重复得奖) ,且每次实验相互独立,用 X 表示技术人员所获 奖励的数值,写出 X 的分布列和数学期望.

22.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a 2 x 2 ( a ? 0 ), g ( x) ? b ln x . (1)若函数 y ? f ( x) 图象上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值为 2 2 ,求 a 的值; ( 2 )对 于函数 f ( x ) 与 g ( x) 定义 域上 的任意 实数 x ,若 存在常 数 k , m ,使 得 f ( x) ? kx ? m 和

g ( x) ? kx ? m 都成立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x) 与 g ( x) 的“分界线”.设 a ?

2 , 2

b ? e ,试探究 f ( x) 与 g ( x) 是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存
在,请说明理由.

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2014—2015 学年度第二学期 高二年级数学(理科)期考试题参考答案 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 C 7 D 8 B 9 A 10 B 11 C 12 C

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.144 14.

1 6

15.3

16.

4 75

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分) 17.解: (1)由题目所提供数据可得: x =5, y =50, ?xi=145,
2 5

i=1

i=13 ?y2 i=1

5

500, ?xiyi=1 380.
i=1

5

????????????????2 分

?xiyi-5 x y
i=1

5

于是可得 b=
i-5 x ?x2 i=1
5 2

1 380-5×5×50 = =6.5,???????4 分 2 145-5×5

a= y -b x =50-6.5×5=17.5.


因此,所求回归直线方程是y=6.5x+17.5 (2)据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时.


????????6 分

y=6.5×10+17.5=82.5(百万元),
即这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元. ???????10 分

18.解: (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联表如 下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100??????2 分
6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得

n?n11n22-n12n21?2 100×?30×10-45×15?2 100 K2= = = ≈3.030. n1+n2+n+1n+2 75×25×45×55 33
因为 3.030<3.841, 所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.

???5 分

???????6 分

(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率, 1 即从观众中抽取一名“体育迷”的概率 . 4 1 由题意知 X~B(3, ),从而 X 的分布列为 4 ???????7 分

X P

0 27 64

1 27 64 1 3 4 4 1 4

2 9 64

3 1 64

?????????10 分

E(X)=np=3× =

D(X)=np(1-p)=3× × =

3 9 4 16

?????????12 分

19.解: (Ⅰ) f

'

? x? ? 3x2 ? 3a ,∵曲线 y ?

f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
???????5 分

∴ ? ??

'' ? f f'f? 000 ? 3 3 3 ? ? ? aa a 00 0 ?? ? ?2 ?2 ?2 ?? ??? a a a ? ? ? 4, 4, 4, ? ?4 ?44 ? ?? ??? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? b b b ? ? ? 24. 24. 24. 8 88 ? ? ? 66 a 6 aa ? ? ? bb b ? ? ? 888 ?? f f? f? 2 888 ? ?2 ?2 ?? ??? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?

' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,
?????????????7 分

当 a ? 0 时, f

'

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

此时函数 f ( x) 没有极值点.

当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a , 当 x ? ??, ? a 时, f
' '

????????????8 分

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增, ? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增, ??????10 分
'

- a ) = 2a a + b ∴此时 x ? ? a 是 f ( x) 的极大值点, f ( x) 极大值 = f (
x ? a 是 f ( x) 的极小值点, f ( x) 极小值 = f ( a ) =-2a a + b
????????????????????????????12 分 20.解:(1)由题意知 ξ 满足超几何分布 N=15,M=6,n=3, ξ 的可能取值为 0,1,2,3,
7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 其分布列为 P(ξ =k)= 所 P(ξ =0)= ??????????2 分 ??????????3 分 (k=0,1,2,3), ??????????1 分 以

??????????4 分

??????????5 分 所以 ξ 的分布列是:

????7 分 (2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级的天数为 η , 则 η ~B (360, ) , 所以 E(η )=360×

6 2 ? , 15 5

????8 分

2 5

???????????????10 分

2 =144, 5
???????12 分

所以一年中空气质量达到一级的天数为 144 天. 21.解:

8

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2 22.(1)解法一:设函数 y ? a x 图象上任意一点为 P( x0 , a2 x0 ),

2

2

则点 P 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离为

1 2 1 ) ? 3 ? 2 x0 ? a x ? 3 2a 4a 2 d? ? , 2 2 1 1 3? 2 3? 2 1 1 4a 4a ? 2, ? 0 ,即 x0 ? 2 时, d min ? 当 x0 ? ,由 2 2a 2a 2 2 1 1 2 2 解得 a ? ,或 a ? , ????????????4 20 4
2 2 0

a 2 ( x0 ?

分 又因为抛物线 f ( x) ? a x 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相离,
2 2

? y ? a2 x2 , 由 ? 得 a2 x2 ? x ? 3 ? 0 , ? y ? x ? 3,

9

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故 ? ? 1 ? 12a 2 ? 0 ,即 a 2 ?

1 1 1 ,所以 a2 ? ,即 a ? . 12 4 2

???????6 分

解法二:因为 f ( x) ? a 2 x 2 ,所以 f '( x) ? 2a2 x ,令 f '( x) ? 2a 2 x ? 1 , 得x?

1 1 1 1 ,此时 y ? ,则点 ( 2 , 2 ) 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离为 2 , 2 2 2a 4a 2a 4a

1 1 ? 2 ?3 2 1 2a 4a 1 2 即 2? ,解之得 a ? ,或 a2 ? . 20 4 2
(以下同解法一) (2)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
'

1 2 e x 2 ? e ( x ? e )( x ? e ) x ? e ln x ,则 F ' ( x) ? x ? ? . ? 2 x x x

所以当 0 ? x ? e 时, F ( x) ? 0 ;当 x ? 因此 x ?

e 时, F ' ( x) ? 0 .

e 时, F ( x) 取得最小值 0 ,
e e 处有公共点 ( e , ) . 2
???????8 分

则 f ( x ) 与 g ( x) 的图象在 x ?

设 f ( x ) 与 g ( x) 存在 “分界线”,方程为 y ? 由 f ( x ) ≥ kx ?
2

e e ? k ( x ? e ) ,即 y ? kx ? ? k e , 2 2

e ? k e 在 x ? R 恒成立, 2

则 x ? 2kx ? e ? 2k e ≥ 0 在 x ? R 恒成立 . 所以 ? ? 4k 2 ? 4(2k e ? e) ? 4k 2 ? 8k e ? 4e ? 4(k ? e )2 ≤ 0 恒成立, 因此 k ?

e

?????????????10 分

.下面证明 g ( x ) ≤ ex ?

e ( x ? 0) 恒成立. 2 e e e ( e ? x) ,则 G?( x) ? ? e ? . 2 x x

设 G ( x ) ? e ln x ? x e ?

所以当 0 ? x ? e 时, G '( x) ? 0 ;当 x ? 因此 x ?

e 时, G ' ( x) ? 0 .

e e 时 G ( x) 取得最大值 0 ,则 g ( x) ≤ ex ? ( x ? 0) 成立. 2 ex ? e . 2
???????12 分

故所求“分界线”方程为: y ?

10


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