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第二章


第二章 平面向量 章末检测
一、选择题 1.与向量 a=(1, 3)的夹角为 30° 的单位向量是 1 3 A.( , )或(1, 3) 2 2 C.(0,1) 答案 D 1 1 2.设向量 a=(1,0),b=( , ),则下列结论中正确的是 2 2 A.|a|=|b| 答案 C 3.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物 体保持平衡,现加上一个力 f4,则 f4 等于 A.(-1,-2) 答案 D 解析 根据力的平衡原理有 f1+f2+f3+f4=0, ∴f4=-(f1+f2+f3)=(1,2). → → → 4.已知正方形 ABCD 的边长为 1,AB=a,BC=b,AC=c,则 a+b+c 的模等于 ( A.0 答案 D 解析 → → → → → |a+b+c|=|AB+BC+AC|=|2AC|=2|AC|=2 2. ( 12 D. 5 ) B.2+ 2 C. 2 D.2 2 ) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) ( ) B.a· b= 2 2 C.a-b 与 b 垂直 D.a∥b ( ) B.( 3 1 , ) 2 2 3 1 , ) 2 2 ( )

D.(0,1)或(

5.已知|a|=5,|b|=3,且 a· b=-12,则向量 a 在向量 b 上的投影等于 A.-4 答案 A a· b a· b 12 解析 向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos〈a,b〉=|a|· = =- =-4. |a||b| |b| 3 6.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 1 3 A.- a+ b 2 2 答案 B 1 3 B. a- b 2 2 3 1 C. a- b 2 2 B.4 12 C.- 5

( 3 1 D.- a+ b 2 2

)

解析

?λ+μ=-1, ? 令 c=λa+μb,则? ?λ-μ=2, ?

?λ=2 ∴? 3 ?μ=-2,
( )

1

1 3 ∴c= a- b. 2 2 7.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c=30,则 x 等于 A.6 答案 C 解析 ∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又∵(8a-b)· c=30, ∴(6,3)· (3,x)=18+3x=30.∴x=4. → → 8.向量BA=(4,-3),向量BC=(2,-4),则△ABC 的形状为 A.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 答案 C → → 解析 ∵BA=(4,-3),BC=(2,-4), → → → ∴AC=BC-BA=(-2,-1), → → ∴CA· CB=(2,1)· (-2,4)=0, → → → → ∴∠C=90° ,且|CA|= 5,|CB|=2 5,|CA|≠|CB|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形. → → 9.设点 A(1,2)、B(3,5),将向量AB按向量 a=(-1,-1)平移后得到A′B′为 A.(1,2) 答案 B → → → → → 解析 ∵AB=(3,5)-(1,2)=(2,3),平移向量AB后得A′B′,A′B′=AB=(2,3). 10.若 a=(λ,2),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角是钝角,则 λ 的取值范围是 10 ? A.? ? 3 ,+∞? 答案 A 10 解析 a· b=-3λ+10<0,∴λ> . 3 λ 2 6 当 a 与 b 共线时, = ,∴λ=- . 5 -3 5 10 ? B.? ? 3 ,+∞? 10 -∞, ? C.? 3? ? ( ) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,7) ( ) B.等边三角形 D.等腰直角三角形 ( ) B.5 C.4 D.3

10 -∞, ? D.? 3? ?

10 此时,a 与 b 同向,∴λ> . 3 → → 11.在菱形 ABCD 中,若 AC=2,则CA· AB等于 A.2 → C.|AB|cos A 答案 B 解析 如图,设对角线 AC 与 BD 交于点 O, → → → ∴AB=AO+OB. → → → → → CA· AB=CA· (AO+OB) =-2+0=-2,故选 B. 12. 如图所示,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是 ( ) B.-2 D.与菱形的边长有关 ( )

→ → A.P1P2· P 1P 3 → → C.P1P2· P 1P 5 答案 A 解析 根据正六边形的几何性质. π π → → → → 〈P1P2,P1P3〉= , 〈P1P2,P1P4〉= , 6 3 π 2π → → → → 〈P1P2,P1P5〉= , 〈P1P2,P1P6〉= . 2 3 → → → → ∴P1P2· P1P6<0,P1P2· P1P5=0, π 3 → → → → → P1P2· P1P3=|P1P2|· 3|P1P2|cos = |P1P2|2, 6 2 π → → → → → P1P2· P1P4=|P1P2|· 2|P1P2|· cos =|P1P2|2. 3 比较可知 A 正确. 二、填空题

→ → B.P1P2· P1P4 → → D.P1P2· P1P6

13.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 答案 -1 解析 ∵a=(2,-1),b=(-1,m),∴a+b=(1,m-1). ∵(a+b)∥c,c=(-1,2),∴2-(-1)· (m-1)=0.∴m=-1.

14.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b= ________. 答案 3 解析 a· b=|a||b|cos 30° =2· 3· cos 30° =3. 15.已知非零向量 a,b,若|a|=|b|=1,且 a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数 k 的值为 ________. 答案 6 解析 由(2a+3b)· (ka-4b)=2ka2-12b2 =2k-12=0,∴k=6. 16. 如图所示,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P → → → 为半径 OC 上的动点,则(PA+PB)· PC的最小值是________.

1 答案 - 2 → → → 解析 因为点 O 是 A,B 的中点,所以PA+PB=2PO, → → 设|PC|=x,则|PO|=1-x(0≤x≤1). → → → → → 所以(PA+PB)· PC=2PO· PC=-2x(1-x) 1 1 =2(x- )2- . 2 2 1 1 → → → ∴当 x= 时,(PA+PB)· PC取到最小值- . 2 2 三、解答题 17.已知 a,b,c 在同一平面内,且 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c; (2)若|b|= 解 5 ,且(a+2b)⊥(2a-b),求 a 与 b 的夹角. 2

(1)∵c∥a,∴设 c=λa,则 c=(λ,2λ).

又|c|=2 5,∴λ=± 2,∴c=(2,4)或(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)· (2a-b)=0. ∵|a|= 5,|b|= 5 5 ,∴a· b=- . 2 2

a· b ∴cos θ= =-1,∴θ=180° . |a||b|

18.已知|a|=2,|b|=3,a 与 b 的夹角为 60° ,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数 k 为何值时: (1)c∥d;(2)c⊥d. 解 1 由题意得 a· b=|a||b|cos 60° =2×3× =3. 2

(1)当 c∥d,c=λd,则 5a+3b=λ(3a+kb). 9 ∴3λ=5,且 kλ=3,∴k= . 5 (2)当 c⊥d 时,c· d=0,则(5a+3b)· (3a+kb)=0. 29 ∴15a2+3kb2+(9+5k)a· b=0,∴k=- . 14 19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· OC=0,求 t 的值. 解 → → (1)AB=(3,5),AC=(-1,1),

→ → → → 求两条对角线的长即求|AB+AC|与|AB-AC|的大小. → → → → 由AB+AC=(2,6),得|AB+AC|=2 10, → → → → 由AB-AC=(4,4),得|AB-AC|=4 2. → (2)OC=(-2,-1), → → → → → → ∵(AB-tOC)· OC=AB· OC-tOC2, → → → 易求AB· OC=-11,OC2=5, 11 → → → ∴由(AB-tOC)· OC=0 得 t=- . 5 → → → → → → → → → 20.已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1. 求证:△P1P2P3 是正三角形. → → → → → → 证明 ∵OP1+OP2+OP3=0,∴OP1+OP2=-OP3, → → → ∴(OP1+OP2)2=(-OP3)2, → → → → → ∴|OP1|2+|OP2|2+2OP1· OP2=|OP3|2, 1 → → ∴OP1· OP2=- , 2 → → OP1· OP2 1 cos∠P1OP2= =- , 2 → → |OP1|· |OP2| ∴∠P1OP2=120° .

→ → → ∴|P1P2|=|OP2-OP1|= =

→ → ?OP2-OP1?2

→ → → → OP12+OP22-2OP1· OP2= 3.

→ → 同理可得|P2P3|=|P3P1|= 3. 故△P1P2P3 是等边三角形. 21.已知正方形 ABCD,E、F 分别是 CD、AD 的中点,BE、CF 交于点 P.求证: (1)BE⊥CF;(2)AP=AB. 证明 如图建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,不妨设 AB=2, 则 A(0,0),B(2,0),C(2,2), E(1,2),F(0,1). → → → (1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2), → → → CF=OF-OC=(0,1)-(2,2) =(-2,-1), → → ∵BE· CF=-1×(-2)+2×(-1)=0, → → ∴BE⊥CF,即 BE⊥CF. → → (2)设 P(x,y),则FP=(x,y-1),CF=(-2,-1), → → ∵FP∥CF,∴-x=-2(y-1),即 x=2y-2. → → 同理由BP∥BE,得 y=-2x+4,代入 x=2y-2. 6 8? 6 8 解得 x= ,∴y= ,即 P? ?5,5?. 5 5 6?2 ?8?2 → →2 ∴AP2=? ?5? +?5? =4=AB , → → ∴|AP|=|AB|,即 AP=AB.


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