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数列第四节 - 答案


兖州实验高中

2013 届

数列

李中华

第4节
■ ·考点梳理· ■
数列求和的常用方法 (1)公式法

数列的通项与求和

①直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和. ②一些常见数列前 n 项和公式 12+22+32+?+n

2= n(n+1)(2n+1) ; 6

2+4+6+?+2n=n(n+1); 1+3+5+?+(2n-1)=n2; n(n+1) 2 n2(n+1)2 13+23+?+n3=[ ]= . 2 4 (2)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法, 如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数的对应项之积构成的,那么这个 数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的. (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (5)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时 可用分组求和法,分别求和而后相加减. (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类 型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+?+22-12 =(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5050.

■ ·考点自测· ■
1. [2012·北京日坛中学月考]已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2), 则该数列前 2011 项的和 S2011 等于( A. 1341 B. 669 ) C. 1340 D. 1339 )

2. [2012· 潍坊联考]若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, S8-S3=10, S11 的值为( 且 则 A. 12 B. 18 C. 22 D. 44

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3. [2012·天津河西区]将 n2(n≥3)个正整数 1,2,3,?,n2 填入 n×n 方格中,使得 每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做 n 阶幻方.记 f(n)为 n 阶幻 方对角线上数的和,如下表就是一个 3 阶幻方,可知 f(3)=15,则 f(n)=( 8 3 4 1 A. n(n2+1) 2 1 5 9 6 7 2 1 C. n2(n2+1) 2 D. n(n2+1) )

1 B. n2(n+1)-3 2

4. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an=n·2n,则 Sn=________. 5. [2012·衡水调研]求 sin21°+sin22°+sin23°+?+sin289°的值.

高考测点典例研习

分组求和法
例1 [2011·山东]等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个

数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

?n+1 (n为奇数) ? [变式探究 1] (1)数列{an}满足 an=? n ,求 S98. ? (n为偶数) ?2

(2)求数列-12,22,-32,42,?,(-1)n·n2 的前 69 项的和 S69.

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错位相减法求和
例2 [2010·新课标全国卷]设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·22n 1,


(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列的前 n 项和 Sn.

[变式探究 2] [2012·山西四校第一次联考]已知数列{an}满足 a1+2a2+22a3+?+2n
1



n an= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

裂项相消法求和

例3

[2011·大纲全国]设数列{an}满足 a1=0 且

1 1 - =1. 1-an+1 1-an

(1)求{an}的通项公式;

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n

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1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn=∑ bk,证明:Sn<1. k= 1 n

[变式探究 3] [2012·郑州模拟]已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=x,x∈R,数列{an},{bn} 满足条件:a1=1,an=f(bn)=g(bn+1),n∈N*. (1)求证:数列{bn+1}为等比数列; (2)令 cn= 2n 2009 ,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求使 Tn> 成立的 n 的最小值. 2010 an·an+1

创新演练·当堂冲关
1. [2012·豫南九校联考]设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为 首项,2 为公比的等比数列,则 a +a +?+a =( b b b
1 2 10

) D. 2058

A. 1033

B. 1034

C. 2057

1 2. [2012·江南十校一模]数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-1(n∈N*),则 Tn= a1a2 1 1 + +?+ 的结果可化为( a2a3 anan+1 )

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A. 1-

1 4n

B. 1-

1 2n

2 1 C. (1- n) 3 4 ) 2n-n+1 C. 2n

2 1 D. (1- n) 3 2

n 1 1 3 3. [2012·南昌模拟] + + +?+ n等于( 2 2 8 2 2n-n-1 A. 2n 2n 1-n-2 B. 2n


2n 1-n+2 D. 2n



4.数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn.

第五章 第四节 数列求和
一、选择题 1.等比数列{an}首项与公比分别是复数 i+2(i 是虚数单位)的实部与虚部,则数列{an} 的前 10 项的和为( A.20 ) B.210-1 C.-20 D.-2i

解析:该等比数列的首项是 2,公比是 1,故其前 10 项之和是 20. 答案:A 2.数列{an}的通项公式是 an= A.11 解析:an= 1 n+ n+1 B.99 1 n+ n+1 ,若前 n 项和为 10,则项数 n 为( D.121 )

C.120

= n+1- n,

∴Sn = 2-1+ 3- 2+ 4- 3+?+ 10- 9+?+ n+1- n= n+1-1= 10,解得 n=120. 答案:C
?n2?n为奇数?, ? 3.已知函数 f(n)=? 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+?+a100 2 ? ?-n ?n为偶数?,

等于( A.0

) B.100 C.-100 D.10 200

解析:由题意,a1+a2+?+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+?+992-1002- 1002+1012=-(1+2)+(3+2)+?-(99+100)+(101+100)=100. 答案:B

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1 4.已知函数 f(x)=x2+bx 的图像在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列{ }的前 n f?n? 项和为 Sn,则 S2 010 的值为( 2 007 A. 2 008 ) 2 009 C. 2 010 2 010 D. 2 011

2 008 B. 2 009

解析:∵f′(x)=2x+b, ∴f′(1)=2+b=3,∴b=1,∴f(x)=x2+x, ∴ 1 1 1 1 = = - , f?n? n?n+1? n n+1

1 1 1 1 1 ∴S2 010=1- + - +?+ - 2 2 3 2 010 2 011 1 2 010 =1- = . 2 011 2 011 答案:D 5.数列{an}中,已知对任意正整数 n,a1+a2+a3+?+an=2n-1,则 a2+a2+a2+? 1 2 3 +a2 等于( n ) 1 B. (2n-1) 3 1 C. (4n-1) 3


A.(2n-1)2

D.4n-1
-1

解析:∵a1+a2+a3+?+an=2n-1,∴a1+a2+?+an-1=2n 1-1,∴an=2n-2n =2n 1,∴a2 =4n 1, n 1-4n 1 n 2 ∴a2+a2+?+a2 = = (4 -1). 1 n 1-4 3 答案:C
- -

6.(2012· 青岛模拟)已知 an=logn+1(n+2)(n∈N*),若称使乘积 a1·2·3· an 为整数的数 a a ?· n 为劣数,则在区间(1,2 002)内所有的劣数的和为( A.2 026 解析:设 a1·2·3· an a a ?· = lg3 lg4 lg?n+2? lg?n+2? · · ?· = =log2(n+2)=k, lg2 lg3 lg?n+1? lg2 B.2 046 C.1 024 ) D.1 022

则 n=2k-2(k∈Z). 令 1<2k-2<2 002,得 k=2,3,4,?,10. 4?1-29? ∴所有劣数的和为 -18=211-22=2 026. 1-2 答案:A 二、填空题 7.若 1+3+5+?+?2x-1? =110(x∈N*),则 x=________. 1 1 1 + +?+ 1×2 2×3 x?x+1?

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x?2x-1+1? 2 x2 解析:原等式左边= = x =x2+x=110,又 x∈N*,所以 x 1 1 1 1 1 1 - + - +?+x- 1 2 2 3 x+1 x+1 =10. 答案:10 8. (2012· 无锡模拟)数列 1,1+2,1+2+22,1+2+22+23, 1+2+22+23+?+2n 1, ?, ? 的前 n 项和为________. 解析:由题意得 an=1+2+22+?+2n 1=
1 2 3 n
- -

1-2n n =2 -1, 1-2


2-2n 1 ∴Sn=(2 -1)+(2 -1)+(2 -1)+?+(2 -1)=(2 +2 +?+2 )-n= -n=2n 1-2
1 2 n
+1

-n-2. 答案:2n 1-n-2 9.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列” ,若 a1=2,{an}的“差


数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析:∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 2-2n - - =2n 1+2n 2+?+22+2+2= +2=2n-2+2=2n, 1-2 2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 答案:2n 1-2. 三、解答题 10.(2011· 辽宁高考)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)求数列{ n-1}的前 n 项和. 2 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得
? ? ?a1+d=0, ?a1=1, ? 解得? ? ? ?2a1+12d=-10, ?d=-1.
+ +

故数列{an}的通项公式为 an=2-n. an (2)设数列{ n-1}的前 n 项和为 Sn, 2 a2 an 即 Sn=a1+ +?+ n-1, 2 2 Sn a1 a2 an 故 S1=1, = + +?+ n, 2 2 4 2 所以,当 n>1 时,

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a2-a1 an-an-1 an Sn =a1+ +?+ n-1 - n 2 2 2 2 2-n 1 1 1 =1-( + +?+ n-1)- n 2 4 2 2 =1-(1- 所以 Sn= 2-n n 1 = n. - )- 2n 2 2n 1

n - . 2n 1

an n 综上,数列{ n-1}的前 n 项和 Sn= n-1. 2 2 11.已知数列{2n 1·n}的前 n 项和 Sn=9-6n. a (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=n· (3-log2 整数值. 解:(1)n=1 时,20·1=S1=3,∴a1=3;当 n≥2 时,2n 1·n=Sn-Sn-1=-6,∴an= a a -3 - . 2n 2 ?n=1? ?3 ? ∴通项公式 an=? . 3 ?-2n-2 ?n≥2? ? (2)当 n=1 时,b1=3-log21=3, 1 1 ∴T1= = ; b1 3 当 n≥2 时,bn=n· (3-log2 1 ∴b =
n
- -

|an| m 1 ),设数列{b }的前 n 项和为 Tn,求使 Tn< 恒成立的 m 的最小 3 6 n

3 (n+1), - )=n· 3·n 2 2

1 n?n+1?

1 1 1 ∴Tn= + +?+b b1 b2 n 1 1 1 1 5 1 5 = + + +?+ = - < , 3 2×3 3×4 n?n+1? 6 n+1 6 m 故使 Tn< 恒成立的 m 的最小整数值为 5. 6 12.(2012· 徐州模拟)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn=2an-n(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)记 bn= an+1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

解:(1)令 n=1,得 a1=2a1-1,由此得 a1=1.

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由于 Sn=2an-n,所以 Sn+1=2an+1-(n+1),两式相减得 Sn+1-Sn=2an+1-(n+1)- 2an+n,即 an+1=2an+1. an+1+1 所以 an+1+1=2an+1+1=2(an+1),即 =2, an+1 故数列{an+1}是等比数列,其首项为 a1+1=2, 故数列{an+1}的通项公式是 an+1=2·n 1=2n, 2 故数列{an}的通项公式是 an=2n-1. (2)由(1)得,bn= an+1 ?2n 1-1?-?2n-1? 2n 1 1 = n = n = - + , + + anan+1 ?2 -1??2n 1-1? ?2 -1??2n 1-1? 2n-1 2n 1-1
+ -

所以 Tn=b1+b2+?+bn=( 1 . 2 -1
n+1

1 1 1 1 1 1 - )+( 2 - )+?+( n - + )=1- 21-1 22-1 2 -1 23-1 2 -1 2n 1-1

.
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