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【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件 新人教A版选修2-1


3.1.2 空间向量的数乘运算 .

学习目标 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律, 了解 掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律, 掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律 共线(平行 向量的意义. 共线 平行)向量的意义 平行 向量的意义. 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及其推论 , . 理解共线向量定理和共面向量定理及其推论, 会证明空间三点共线与四点共面问题. 会证明空间三点共线与四点共面问题.

3.1.2 空 间 向 量 的 数 乘 运 算

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.空间向量加法运算满足________和________. .空间向量加法运算满足 结合律 和 交换律 . 2. 以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算 , . 以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算, 所谓平面向量的数乘运算就是:实数λ与平面向量 与平面向量a 所谓平面向量的数乘运算就是:实数 与平面向量 的乘积λa仍然是一个 向量 的乘积 仍然是一个______,还学过平面中两向量 仍然是一个 , 共线的充要条件, 其具体内容为: 共线的充要条件 , 其具体内容为 : 在平面内存在 = ≠ 成立. 惟一实数λ ___________,使得____________成立. 惟一实数 ,使得 a=λb(b≠0) 成立

知新益能 1.空间向量的数乘运算 . (1)定义: 实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个 定义: 与空间向量a的乘积 定义 实数λ与空间向量 的乘积λa仍然是一个 向量 称为向量的数乘运算. ______,称为向量的数乘运算. , (2)向量 与λa的关系 向量a与 的关系 向量 λ的范围 的范围 λ>0 λ=0 = λ<0 方向关系 方向______ 方向 相同 λa=0,其方向是任意的 = , 方向_____ 方向 相反 模的关系 λa的模是 的模是a 的模是 的模的 |λ|倍 倍 ______

(3)空间向量的数乘运算律 空间向量的数乘运算律 + 设 λ、? 是实数,则有①分配律:λ(a+b)=λa+λb 、 是实数,则有①分配律: + =_________.

= ②结合律:λ(?a)=(λ?)a 结合律:________________. 推论: 的直线, 推论:如果 l 为经过点 A 平行于已知非零向量 a 的直线, 那么对于空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是 , → → 方 存在实数 t, OP=OA+ta①, , 使 ① 其中 a 叫做直线 l 的____ 向向量 ,如图所示. ________,如图所示. → → → → OA+tAB 上取AB , 式可化为____= 若在 l 上取 =a,则①式可化为 OP =________.

2.共线向量与共面向量 . (1)共线向量 共线向量 定义:表示空间向量的有向线段所在的直线______ 定义:表示空间向量的有向线段所在的直线 互相 平行或重合 ,则这些向量叫做__________或平行 ____________,则这些向量叫做 共线向量 或平行 向量; 向量; 充要条件: 对于空间任意两个向量a, ≠ , 充要条件 : 对于空间任意两个向量 , b(b≠0), = a∥b的充要条件是存在实数 ,使______. 的充要条件是存在实数λ, a=λb ∥ 的充要条件是存在实数 (2)共面向量 共面向量 同一个平面 定 义 : 平 行 于 _____________ 的 向 量 叫 做 共 面 向 量. 充要条件:若两个向量a, 不共线 则向量p与 , 不共线, 充要条件:若两个向量 ,b不共线,则向量 与a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 , y), 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x, 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 p=xa+yb = + 使___________.

问题探究
→ → → 1.如果 =OA+tAB,你能判定 P、A、B 共线吗? .如果OP 、 、 共线吗?

提示:能判定 、 、 共线 共线. 提示:能判定P、A、B共线. 2. 空间的两非零向量a, b共面 能否推出a= 2 . 空间的两非零向量 a , b 共面 , 能否推出 a = 共面, λb(λ∈R)? ∈ 提示:不能推出a= 因空间中任意两向量都共 提示:不能推出 =λb.因空间中任意两向量都共 共面未必有a∥ ,则不一定有a= 面,a,b共面未必有 ∥b,则不一定有 =λb. , 共面未必有

课堂互动讲练

考点突破 空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有 什么区别, 什么区别,只是将适用范围由平面推广到了空 间.运算要正确地使用向量加法和减法的平行四 边形法则和三角形法则,以及准确使用运算律. 边形法则和三角形法则,以及准确使用运算律.

例1 已知正四棱锥 P-ABCD, 是正方形 ABCD O ,

的中心, 的中点,求下列各式中, , 的中心,Q 是 CD 的中点,求下列各式中,x,y 的值. 的值. → → → → (1)OQ=PQ+xPC+yPA; → → → → (2)PA=xPO+yPQ+PD.
思路点拨】 【 思路点拨 】 解答本题需准确画图, 解答本题需准确画图 , 先利用三 角形法则或平行四边形法则表示出指定向量, 角形法则或平行四边形法则表示出指定向量 , 再 根据对应向量的系数相等,求出 、 的值即可 的值即可. 根据对应向量的系数相等,求出x、y的值即可.

【解】 如图 → → → (1)∵OQ=PQ-PO ∵ → 1 → → =PQ- (PA+PC) 2 → 1→ 1→ =PQ- PC- PA, 2 2 1 ∴y=z=- . = =- 2 (2)∵O 为 AC 的中点,Q 为 CD 的中点, 的中点, 的中点, ∵ → → → → → → ∴PA+PC=2PO,PC+PD=2PQ, → → → → → → ∴PA=2PO-PC,PC=2PQ-PD, → → → → ∴PA=2PO-2PQ+PD, =-2. ∴x=2,y=- = , =-

→ → → 互动探究 本例中的条件不变, PO=xBA+yBC+ 本例中的条件不变, 若 → zBP,试求 x、y、z 的值. 、 、 的值.

→ → → 解:∵PO=BO-BP 1 → → → = (BA+BC)-BP - 2 1→ 1→ → = BA+ BC-BP, 2 2 1 =-1. ∴x=y= ,z=- = = =- 2

向量共线问题 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x, 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 , 使 a=xb成立, 或充分利用空间向量的运算法则 , 成立, = 成立 或充分利用空间向量的运算法则, 结合具体的图形,通过化简、计算得出a= , 结合具体的图形 , 通过化简 、 计算得出 = xb, 从 而得出a∥ 即 与 共线 共线. 而得出 ∥b即a与b共线.

例2 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 在 如图所示,

→ → → A1D1 上,且A1E=2ED1,F 在对角线 A1C 上,且A1F 2→ 求证: , , 三点共线. = FC.求证:E,F,B 三点共线. 求证 3

→ 思路点拨】 【思路点拨】 要证 E,F,B 三点共线,只需证 = , , 三点共线,只需证EB → mEF(m∈R)即可. 即可. ∈ 即可

→ → → 证明】 【证明】 设AB=a,AD=b,AA1=c. , , → → → 2→ ∵A1E=2ED1,A1F= FC, 3 → 2 → → ∴A1E= A1D1,A1F 3 2→ C. = A1C. 5 → 2→ 2 ∴A1E= AD= b, , 3 3 2 → → → 2 → → → A1F= (AC-AA1)= (AB+AD-AA1) = 5 5 2 2 2 = a+ b- c. + - 5 5 5

→ → → ∴EF=A1F-A1E 4 2 2 2 2 = a- b- c= (a- b-c). - - = - - . 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB=EA1+A1A+AB=- b-c+a=a- b-c, - + = - - , 3 3 → 2→ 所以 , , 三点共线. ∴EF= EB.所以 E,F,B 三点共线. 5

向量共面问题 证明三个向量共面的常用方法: 设法证明其中 证明三个向量共面的常用方法 : (1)设法证明其中 一个向量可表示成另两个向量的线性组合; (2) 寻 一个向量可表示成另两个向量的线性组合 ; (2)寻 找平面α,证明这些向量与平面 平行 平行. 找平面 ,证明这些向量与平面α平行.

例3 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F 分 如图, 、

→ → 的中点.证明:向量A 别为 BB1 和 A1D1 的中点.证明:向量 1B、B1C、 → EF是共面向量. 是共面向量.

思路点拨】 【思路点拨】

利用向量共面的充要条件或向

量共面的定义来证明. 量共面的定义来证明.

→ → → → 证明】 法一: 【证明】 法一:EF=EB+BA1+A1F 1→ → 1 → = B1B-A1B+ A1D1 2 2 1 → → → - = (B1B+BC)-A1B 2 1→ → = B1C-A1B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知, 由向量共面的充要条件知,A1B、B1C、EF是共面向 量.

法二: 法二:连结 A1D、BD,取 A1D 中点 G,连结 、 , , FG、BG, 、 , 1 1 则有 FG 綊 DD1,BE 綊 DD1, 2 2 ∴FG 綊 BE. 为平行四边形. ∴四边形 BEFG 为平行四边形. ∴EF∥BG. ∥ ∴EF∥平面 A1BD. ∥ 同理, 同理,B1C∥A1D,∴B1C∥平面 A1BD, ∥ , ∥ , → → → 平行. ∴A1B、B1C、EF都与平面 A1BD 平行. → → → 共面. ∴A1B、B1C、EF共面.

方法感悟 1.向量共线的充要条件及其应用 . (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样, 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样, 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样 当我们说a, 共线时 表示a, 的两条有向线段所 共线时, 当我们说 ,b共线时,表示 ,b的两条有向线段所 在直线既可能是同一直线,也可能是平行直线; 在直线既可能是同一直线,也可能是平行直线;当 我们说a 我们说 ∥b时,也具有同样的意义. 时 也具有同样的意义. (2)“共线 ” 这个概念具有自反性 ∥a),也具有对 “ 共线”这个概念具有自反性(a , 称性,即若a , 称性,即若 ∥b,则b∥a. (3)如果应用上述结论判断 ,b所在的直线平行,还 如果应用上述结论判断a, 所在的直线平行 所在的直线平行, 如果应用上述结论判断 需说明a(或 上有一点不在 上有一点不在b(或 上 需说明 或b)上有一点不在 或a)上.

(4)用上述结论证明 或判断 三点 A、B、C 共线时,只需证 用上述结论证明(或判断 用上述结论证明 或判断)三点 、 、 共线时, → → → → 即可.也可用“ 明存在实数 λ,使AB=λBC或AB=?AC即可.也可用“对 , → → → 空间任意一点 O,有OB=tOA+(1-t)OC”来证明三点共 , - 线. 2.对向量共面的充要条件的理解 . (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有 空间一点 → → → 序实数对(x, 使 y), 序实数对 , , MP=xMA+yMB.满足这个关系式的点 满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内; 反之, 反之, 平面 MAB 内的任一点 P 都满 足这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面. 足这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面.

(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表 共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表 示式, 示式,即任意一个空间平面可以由空间一点及两 个不共线的向量表示出来,它既是判断三个向量 个不共线的向量表示出来, 是否共面的依据, 是否共面的依据,又可以把已知共面条件转化为 向量式,以便于应用向量这一工具. 向量式,以便于应用向量这一工具.


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