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椭圆相关的综合题


椭圆相关的综合题
基础训练: 1.一广告气球被一束平行光线投射到水平面上,形成一个离心率为 与水平面的入射角大小为________
3 的椭圆,则这束光线 2

x2 y2 F 2.已知 F1 、 2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a > b >0) ( 的两个焦点, 为椭圆 C 上一点, PF1 ? PF2 . 且 P a b

若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =____________

3. 已 知 F1、F2 为 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的 两 个 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 , 若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =_________

4.椭圆

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

1 2

,右焦点 F(c,0) ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两 .

个根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)在与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系是

5. 若直线 l: mx ? ny ? 4 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 没有公共点, 则过点 (m, n) 的直线与椭圆 的公共点个数为 .

x2 y 2 ? ?1 9 4

6.椭圆 ax2 ? by 2 ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为
3 a , 则 =________ 2 b

典型例题: 如图,已知 F1 , F2 是椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 a 2 b2

与圆 x 2 ? y 2 ? b2 相切于点 Q ,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为
y P Q F1 O F2 x

如图, P 是椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 上的一点, F 是椭圆的左焦点,且 OQ ? (OP ? OF ) ,| OQ |? 4 则点 25 9 2

P 到该椭圆左准线的距离为

.

3.如图,已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 2) 的左右焦点分别为 F1、F2,点 B 为椭圆与 y 轴的正 a2 2

半轴的交点,点 P 在第一象限内且在椭圆上,且 PF2 与 x 轴垂直, F1 P ? OP ? 5 , (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 B 关于直线 L : y ? ? x ? m 的 对称点 E(异于点 B)在椭圆 C 上,求 m 的值。

检测与反馈:

???? ??? ? ? 1.在周长为 16 的 ?PMN 中, MN ? 6 ,则 PM ? PN 的取值范围是

2.椭圆

x2 y2 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 横坐标的 9 4

取值范围是

3.已知三角形 ?ABC 的两顶点 A、C 是椭圆
sin B ? _______ sin A ? sin C

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,顶点 B 在椭圆上,则 25 9

18.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦,若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将 该弦称之为垂轴弦,已知点 P( x0 , y 0 )、M(m, n) 是圆锥曲线 C 上不与顶点重合的任意两点, MN 是垂直于 x 轴的一条垂轴弦,直线 MP、NP 分别交 x 轴于点 E ( x E ,0) 和点 F ( x F ,0) , (1)试 用 x0 , y 0 , m, n 的代数式分别表示 x E 和x F ; (2) 已知点 P( x0 , y 0 ) 是圆 C : x 2 ? y 2 ? R 2 上任意一点 ( x0 ? y 0 ? 0 )MN 是垂直于 x 轴的垂轴弦, , 直线 MP、 分别交 x 轴于点 E ( x E ,0) 和点 F ( x F ,0) , NP 则 x E ? x F ? R 2 ,类比这一结论,我们猜想: “若曲线 C 的方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a2 b2

x E ? x F 也是与点 M、N、P 位置无关的定值,请你对该猜想给出证明。
18. (本小题满分 16 分)如图,在直角坐标系中, A, B, C 三点在 x 轴上,原点 O 和点 B 分别 是线段 AB 和 AC 的中点,已知 AO ? m ( m 为常数) ,平面上点 P 满足 PA ? PB ? 6m .⑴求点
?x y ? P 的轨迹 C1 的方程;⑵若点 ? x, y ? 在曲线 C1 上,求证:点 ? , ? 一定在某圆 C2 上;⑶过点 ?3 2 2?

C 作直线 l ,与圆 C2 相交于 M , N 两点,若点 N 恰好是线段 CM 的中点,试求直线 l 的方程.
y
P

A

O

B

? C

x


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