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第二章-第四节-函数的奇偶性


第二章 第四节 函数的奇偶性 题组一 函数的奇偶性的判定 1.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 解析:∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数, ∴b=0,∴g(x)=ax3+cx. 答案:A 2.(2009·湖南模拟)函数 y=f(x)与 y

=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域 中 任 意 x , 有 f(x) + f( - x) = 0 , g(x)g( - x) = 1 , 且 x ≠ 0 , g(x) ≠ 1 , 则 F(x) = + f(x) ( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 解析:由条件知 f(-x)=-f(x),g(-x)=, ∴F(-x)=+f(-x)=-f(x) ===F(x). 答案:B 题组二 函数奇偶性的应用 3.(2010· 泉州模拟)若 x∈R、 n∈N+, 定义: M=x(x+1)(x+2)…(x+n-1), 例如 M=(-5)(- 4)(-3)(-2)(-1)=-120,则函数 f(x)=xM 的奇偶性为 ( ) A.是奇函数而不是偶函数 B.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 解析:f(x)=x(x-9)(x-8)(x-7)…(x+9), f(-x)=-x(-x-9)(-x-8)(-x-7)…(-x+9) =x(x+9)(x+8)(x+7)…(x-9)=f(x). 答案:B 4.(2010·长郡模拟)已知二次函数 f(x)=x2-ax+4,若 f(x+1)是偶函数,则实数 a 的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:f(x+1)=(x+1)2-a(x+1)+4=x2+(2-a)x+5-a 是偶函数,∴a=2. 答案:D 5.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)= ( )

A.0 B.1 C. D .5 解析:由 f(1)=,对 f(x+2)=f(x)+f(2), 令 x=-1,得 f(1)=f(-1)+f(2). 又∵f(x) 为奇函数,∴f(-1)=-f(1). 于是 f(2)=2f(1)=1; 令 x=1,得 f(3)=f(1)+f(2)=, 于是 f(5)=f(3)+f(2)=. 答案:C 6.(2010·银川模拟)设 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=,则当 x<0 时,f(x)=________. 解析:∵f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=, ∴当 x<0 时,-x>0,f(-x)=,-f(x)=, ∴当 x<0 时,f(x)=. 答案: 7.(2010·龙岩模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=-,当 2≤x≤3 时,f(x) =x,则 f(105.5)=__________. 解析:∵f(x+2)=-, ∴f(x+4)=-=f(x), 即函数 f(x)的周期为 4. ∴f(105.5)=f(26×4+1.5)=f(1.5). 又∵函数 f(x)为偶函数, ∴f(1.5)=f(-1.5)=f(4-1.5)=f(2.5), 又 f(x)=x,x∈[2,3], ∴f(2.5)=2.5,即 f(105.5)=2.5. 答案:2.5 题组三 函数的奇偶性与单调性的综合问题 8.(2009·陕西高考)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0, 则 ( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 解析:由已知<0,得 f(x)在 x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得 f(3)<f(-2)<f(1).此 类题能用数形结合更好. 答案:A 9.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 解析:∵f(2)=0 且 f(x)为偶函数, ∴f(-2)=0. 又∵f(x)在(-∞,0]上递减, ∴f(x)在(-2,0]上递减. ∴对于 x∈(-2,0]必有 f(x)<0.

由对称性得对于 x∈[0,2)必有 f(x)<0. ∴使得 f(x)<0 的范围是(-2,2). 答案:D 10.(2009·福建高考)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分 图象如右图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调性不同的是 ( ) A.y=x2+1 B.y=|x|+1 C.y= D.y= 解析:∵f(x)为偶函数,由图象知, f(x)在(-2,0)上为减函数, 而 y=x3+1 在(-∞,0)上为增函数. 答案:C 11. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x), 且在[-1,0]上是增函数, 给出下列关于 f(x) 的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0). 其中正确的序号是 . 解析:由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确, f(x)关于直线 x=1 对称,②正确, f(x)为偶函数,在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数,在[1,2]上为增函数, f(2)=f(0),因此③、④错误,⑤正确. 答案:①②⑤ 12.(文)已知函数 f(x)=是奇函数. (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合 f(x)的图象知 所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 12.(理)已知定义域为 R 的函数 f(x)=是奇函数. (1)求 a、b 的值;

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 即=0,解得 b=1,从而有 f(x)=. 又由 f(1)=-f(-1),知=-,解得 a=2. 故 a=2,b=1. (2)由(1)知 f(x)==-+. 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 从而判别式Δ =4+12k<0,解得 k<-.


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