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郑州市2011-2012高一下数学期末(含详细答案)


郑州市 2011-2012 学年下期期末试题

高一数学
第Ⅰ卷
(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 e1 、 e2 是两个单位向量,下列命题正确的是 A. e1 ? e2 ? 1 B. e1 ? e2 C. e1 // e2 D. e1 ? e2
2 2

2.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为 7,那么从高二学生中抽取的人数应为 A.10 B.9 C.8 D.7 INPUT A ,B A=5 B=3 x =A A=B B=x PRINT A ,B END C

3.读右面的程序,程序的运行结果是 A.5 ,5 B.5 ,3 C.3 ,3 D.3 ,5

4.如图所示,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 ,在矩形中撒一 把豆子,则豆子落在圆形阴影部分的概率是 A.

? 8

B.

? 4

C.

? 2

D.

1 2

D

5.把 389 化为四进制数为 A.11021 (4 ) B.12001 (4 ) C.12011 (4 ) D.10211 (4 )

6. 函数 f ( x) ? 2 sin( kx ? A.

?
3

) 与函数 g ( x) ? 3 tan( kx ?
C.

?
6

A

B

) 的周期之和为 2? , 则正实数 k ?

3 2

B.2

5 2

D.3

7.已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?1,3) ,则 a 与 b 夹角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90°

8.两个袋内,分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片,从每个袋中各任取一 张卡片,则两数之和等于 5 的概率为 A.

1 3

B.

1 6

C.

1 8

D.

1 9

9.下列函数中周期为 ? 的奇函数为

A. y ? 1 ? 2 sin 2 x

B. y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) C. y ? tan

x 2

D. y ? 2 sin(2 x ? ? )

10. 如图所示, 两射线 OA 与 OB 交于 O , 则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内 (不 含边界)① OA ? 2OB ③

1 1 OA ? OB 2 3

3 1 OA ? OB 4 3 3 1 ④ OA ? OB 4 5
② B.①②④ D.③④

A.①② C.①②③

11. 稳定房价是我国近年实施宏观调控的重点, 国家出台的一系列政策已对各地的房地产市 场产生了影响,郑州市某房地产中介公司对本市一楼盘在今年的销售房价作了统计与预测: 发现每个月的平均单价 y (每平方面积的价格,单位为元)与第 x 月之间近似满足:

y ? 500sin(?x ? ? ) ? 6500(? ? 0) ,已知第 3、5 两月
平均单价如右表所示,则次楼盘在 7 月的平均单价大约是 A.7000 元 B.6500 元 C.6000 元

x y

3 7000

5 6500

7 ?

D.5500 元

12.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l ,弦 AP 的长为 d ,则函数 d ? f (l ) 的图象大致是
d 2 d 2 P d A O π 2π l O π 2π l O x

y l

A.
d 2 d 2

B.

O

π



l

O

π



l

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x,?3) ,且 a ? b ,则 x ? .

14.如果 tan ? sin ? ? 0 ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,那么 ? 的终边在第

象限. .

? ? ? ) ? 3 , tan( ? ? 15.若 tan(

?
4

) ? 2 ,则 tan(? ?

?
4

)?

16.某校为了解高中生用电脑输入汉字 0.0150 0.0125 钟输入的汉字个数测试.右图是根据抽 0.0100 样测试后的数据绘制的频率分布直方图, 0.0075 0.0050 其中每分钟输入汉字个数的范围是[50, 的水平,随机抽取了部分学生进行每分 150],样本数据分组为[50,70),[70,90), O

频率∕组距

50

70

90

110 130

150

字数∕分钟

[90,110),[110,130),[130,150],已知样本中每分钟输入汉字个数小于 90 的人数为 36, 则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于 70 个并且小于 130 个的人数是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? (I)列表并用五点法画出 f ( x) 在 [

?
4

).

y
2

? 9? , ]上的简图; 8 8
(II)说明由 y ? sin x 的图象经过

o ?
-2

怎样的变换得到 y ? f ( x) 的图象.

8

9? 8

x

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? 为 1. (I)求常数 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的单调区间.

?
6

) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? cos 2 x ? a 的最大值

19. (本小题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加 5 次预 赛,成绩记录如下: 甲 乙 82 95 82 75 79 80 95 90 87 85

(I)用茎叶图表示这两组数据; (II)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙的成绩高的概率; (III)现在要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪 位学生参赛更合适?并说明理由.

20 . (本小题满分 12 分)已知 a ? ( 3 sin x , m ? cos x) , b ? (cosx , ? m ? cos x) ,且

f ( x) ? a ? b .
(I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)当 x ? [ ?

? ?

, ] 时, f ( x) 的最小值是 ? 4 ,求此时函数 f ( x) 的最大值,并求出 6 3

函数 f ( x) 取得最大值时自变量 x 的值.

21. (本小题满分 12 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量

x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据.

x
y

3
2.5

4

5
4

6
4.5

3

(I)请画出上表数据的散点图; (II)请根据上表提供的数据,用最小二乘法

y 5 4 3 2

? ? bx ? a ; 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(III)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能 耗为90吨标准煤.试根据(II)求出的线性回 归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比 技改前降低多少吨标准煤?

0

3

4

5

6

x

? ? bx ? a , (参考公式:回归直线方程 y

其中 b ?

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y
, a ? y ? bx . )

i

? x)

2

?x
i ?1

2 i

? nx

2

22. (本小题满分12分)我市某校在申办省级示范高中期间,征得一块形状为扇形的土地用 于建设新的田径场,如图,已知扇形圆心角 ?AOB ?

2? ,半径 OA ? 120 米, A 、 B 关 3

于 x 轴对称.欲在该地截出内接矩形 MNPQ 建田径场,并保证矩形的一边平行于扇形弦

AB ,设 ?POA ? ? ,记 PQ ? t .
(I)写出 P 、 Q 两点的坐标,并以 ? 为自变量,写出

y

t 关于 ? 的函数关系式;
(II)当 ? 为何值时,矩形田径场的面积 S 最大?并求 出最大面积.

x

2011—2012 学年度下期期末考试 高中一年级 数学
一.选择题 DBDAC ABBDA CC

参考答案

二.填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 13.1 14. 二 15. 16. 90 7 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. 解:(I) 按五个关键点列表: ? 3? 5? x 8 8 8 ? ? ? 2x 0 4 2 ? 2sin(2x- ) 0 2 0 4 描点并将它们用光滑的 曲线连接起来,如图
-----------------------------7 分

7? 8 3? 2

9? 8
2?

-2

0

------------------------------5 分

y
2

? o 9? ? 4 x 个单位后, 再保持纵坐标 8 8 -2 1 不变, 横坐标缩为原来的 , 2 最后横坐标不变, 纵坐标伸 长到原来的 2 倍, 便得到 y=f(x)的图象. 也可先伸缩后平移--------------------10 分 ? 18.解:(I) f ( x) ? 2 sin 2 x cos - cos 2 x ? a 6 ? ------------------------------4 分 ? 3 sin 2 x - cos2 x ? a ? 2 sin( 2 x - ) ? a 6 由题意, 2 ? a ? 1 ,得 a ? ?1 -------------------------------6 分 ? ? ? ? (II)故 f ( x) ? 2 sin( 2 x - ) ? 1 当 2k? ? ? 2 x- ? 2k? ? , k ? Z 时, 6 2 6 2 ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 时,函数 f ( x) 单调递增; ----------------------8 分 6 3 ? 5? , k ? Z 时,函数 f ( x) 单调递减. -------------------10 分 同理,当 k? ? ? x ? k? ? 3 6
(II)由 y=sinx 图象像右移

? ?? ? 故,函数 f ( x) 单调递增区间为: ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 6 3? ?

? 5? ? ? 函数 f ( x) 单调递减区间为: ?k? ? , k? ? ? , k ? Z 3 6 ? ?
19.解: (I)作出茎叶图如下

------------------12 分

甲 9 7 2 2 5 7 8 9

乙 5 0 5 0 5 ------------------------------3 分

(II)记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件数 m=12 m 12 因为基本事件总数 n=25,所以 p ( A) ? ? -----------------------------6 分 n 25 (III)派甲参赛比较合适,理由如下:

1 x甲 ? (82 ? 82 ? 79 ? 95 ? 87 ) ? 85 5
x乙 ? 1 (95 ? 75 ? 80 ? 90 ? 85) ? 85 5
--------------8 分

1 2 2 2 2 2 2 s甲 ? (79 ? 85) ? (82 ? 85) ? (82 ? 85) ? (87 ? 85) ? (95 ? 85) ? 31.6 5 1 2 2 2 2 2 2 s乙 ? (75 ? 85) ? (80 ? 85) ? (85 ? 85) ? (90 ? 85) ? (95 ? 85) ? 50 5

?

?

?

?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分

? x甲 ? x乙;s甲 ? s乙

2

2

? 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.

--------------12 分

20.解: (I) f ( x) ? a ? b ? ( 3sin x, m ? cos x)(cos x, ?m ? cos x) 即 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? m2 ----------------3 分
?

? 1 3 sin 2 x 1 ? cos 2 x ? ? m2 ? sin(2 x ? ) ? ? m 2 6 2 2 2

--------------5 分

? ? 1 ? ? ? ? 5? ? ? ? ?? (II)由 x ? ? ? , ? , ? 2 x ? ? ?? , ? , ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 6 ? 2 ? 6 ? 6 6 ? ? 6 3?
1 1 ?? ? ? m 2 ? ?4 , ? m ? ?2 2 2
--------------8 分

? f ( x) max ? 1 ?

1 5 ?4? ? , 2 2

--------------10 分

? ? ? ? ? ? ?? 此时, sin(2 x ? )=1, x ? ?? , ? ? 2 x ? = , ?x ? 6 6 2 6 ? 6 3?
21.(I)散点图如下

--------------12 分 --------------4 分

(II)

? xi yi ? 66.5
i ?1

4

y 5

?x
i ?1

4

2 i

? 3 2 ?4 2 ?5 2 ?6 2 ?8 6
--------------6 分

4 3 2

. ..
3 4 5



x ? 4 . 5 y ? 3.5

0 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ?? b ? ? 0.7 ; 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

6

x

? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ------------------------------8 分 ? ? Y ? bX a
所求的回归方程为
y?0.7 x? 0 . 3 5

--------------10 分

(III) x ? 100 时, y ? 70.35 (吨) 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗 比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨) --------------12 分 ? ? 22.解(I) 依题意如图, P(120 cos( ? ? ),120sin( ? ? )) , y 3 3 ? ? Q(40 3 sin( ? ? ),120sin( ? ? )) -------------2 分 3 3 ? ? ∴ t ? 120 cos( ? ? ) ? 40 3 sin( ? ? ) 3 3
? 3 ? ? 1 ? ? 80 3 ? cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 2 3 ? 2 ?
? 80 3 cos( ? ? ? ) 3 6

x

?

?

? ? 80 3 sin ? . ? ? (0, ) 3

--------------6 分

(II) S ? 80 3 sin ? ? 240sin(

?

? ? ) ? 19200 3 sin ? ? sin( ? ? ) --------------8 分 3 3

?

? 3 ? ? 3 1 1 1? ? 19200 3 sin ? ? ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? ? ? 9600 3 ? 2 sin 2? ? 2 cos 2? ? 2 ? ? ? ? ?

? ? 1? ? ? 9600 3 ?sin(2? ? ) ? ? . ? ? (0, ) 3 6 2? ?
∴当 ? ?

--------------10 分

?
6

时,S最大 ? 4800 3.

--------------12 分


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