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高中数学 2.5等比数列的前n项和(第1课时)课件 新人教A版必修5


等差数列的前n项和 (第一课时) 一、复习等差数列的有关概念 an ? an ?1 ? d , ?n ? 2?d为常数 an=a1+(n-1)d an ? am ? ?n ? m?d 若m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq (其中m,n,p,q 均为正整数) 高 斯 的 故 事 高斯上小学时,有一次数学老 师给同 学们出了一道 题:计算从1到100的自然 数之和。那个老师认为,这些孩子算这道 题目需要很长时间,所以他一写完题目, 就坐到一边看书去了。谁知,他刚坐下, 马上就有一个学生举手说:“老师,我做 完了。”老师大吃一惊,原来是班上年纪 最小的高斯。老师走到他身边,只见他在 笔记本上写着5050,老师看了,不由得 暗自称赞。为了鼓励他,老师买了一本数 学书送给他。 高斯,(1777— 1855) 德国著名 数学家。 高斯的方法: 1+2+3+· · · · · · +100=? 首项与末项的和: 1+100=101, 第2项与倒数第2项的和: 2+99=101, ····· 第50项与倒数第50项的和:50+51=101, · 于是所求的和是: 101×50=5050。 数列前n 项和的意义 ? 对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3 +…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表 示,即Sn= a1+a2+a3+?+an . 问题1:怎样才能快速地计算出一堆 钢管有多少根? 高斯方法改进与推广: 1.计算:1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 100 +99+98+ …+2 +1 100 ? (1 ? 100 ) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? ? 5050 2 2.计算: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ?1) ? n n+(n-1) + (n-2) +…+ 2 +1 n ? (n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 二、等差数列的前n项和公式推导 分组讨论:设等差数列 {an} 的首项为 a1,第n项为an,如何求等差数列 的前n项和Sn= ? 公式的推导 设等差数列{an}的前n项和为Sn,即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] ∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) =n(a1+an) n(a1 ? a n ) ? Sn ? ????(1) 2 此种求 和法称 为倒序 相加法 应用:怎样才能快速地计算出下图 中一堆钢管有多少根? 5(5 ? 9) S5 ? 2 所以共35根. =35 探讨:能否用a1,n,d表示Sn 将an=a1+(n-1)d代入 n(n ? 1) 得 : 公式 (2) : S n ? na1 ? d 2 n(a1 ? a n ) 公式(1) : S n ? 2 三、公式应用 例1. 某长跑运动员7天里每天的训 练量(单位:m)是: 7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500 这位运动员7天共跑了多少米? 变用公式 例2 等差数列-10,-6,-2,2,…的前多 少项的和为54? 本例已知首项,前n项和、并且可以求出公差, 利用公式2求项数。 事实上,在两个求和公式中各包含四个元素, 从方程的角度,知三必能求余一。 变式练习 在等差数列?an ?中,a1 ? 20

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