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含参数一元二次型不等式的解法


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思想方法技巧
分类讨论思想在含参数的一元二次不等式中的应用 从含参数的一元二次不等式的解法看分类讨论思想, 从含参数的一元二次不等式的解法看分类讨论思想,解含参数的不等 式时,一般都需要对参数分类讨论,但分类标准很难把握. 式时,一般都需要对参数分类讨论,但分类标准很难把握.对含参数 的一元二次不等式,其分类标准有一定规律, 的一元二次不等式,其分类标准有一定规律,其规律为

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解关于x的不等式 解关于 的不等式x2-2mx+m+1>0. 的不等式 + + 【思路点拨】 这个不等式左端的二次三项式的二次项系数为正, 思路点拨】 这个不等式左端的二次三项式的二次项系数为正, 其对应方程的判别式为?= 其对应方程的判别式为 =4(m2-m-1),这个判别式的符号不确定, - ,这个判别式的符号不确定, 我们就要根据这个判别式与0的大小关系确定不等式的解. 我们就要根据这个判别式与 的大小关系确定不等式的解. 的大小关系确定不等式的解

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【解】 不等式对应方程的判别式 ?=(-2m)2-4(m+1)=4(m2- =- + = m-1). - . 1- 5 1+ 5 + - (1)当 ?>0,即 m> 当 , 或 m< 时,由于方程 x2-2mx+m+1 + + 2 2 = 0 的 根 是 x = m± m2-m-1 , 所 以 不 等 式 的 解 集 是 {x|x<m - - m2-m-1或 x>m+ m2-m-1}; - 或 + - ; 1± 5 (2)当 ?=0,即 m= 不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠m}; 当 = , = 时,不等式的解集为 ∈ , ≠ ; 2 1- 5 1+ 5 - + (3)当 ?<0,即 <m< 当 , 时,不等式的解集为 R. 2 2 1+ 5 1- 5 + - 综上 , 当 m> 或 m< 时 , 不等式的解集为 {x|x<m - 2 2 m2-m-1或 x>m+ m2-m-1}; - 或 + - ; 1± 5 不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠m}; 当 m= = 时,不等式的解集为 ∈ , ≠ ; 2 1+ 5 1- 5 + - <m< 时,不等式的解集为 R. 当 2 2

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解关于x的不等式 解关于 的不等式ax2+2x+1<0. 的不等式 + 三种情况讨论, 【思路点拨】 对二次项系数 分a>0,a=0,a<0三种情况讨论, 思路点拨】 对二次项系数a分 , = , 三种情况讨论 并且对a>0这种情况还需分 这种情况还需分?>0,?≤0讨论. 讨论. 并且对 这种情况还需分 , 讨论
【解】 当 a=1 时,(x+1)2<0,解集为?;当 a=0 时,不等式的 = + ,解集为? = 1 解集为{x|x<- }, 解集为 - , 2 当 a>0 时,?=4-4a, = - , ①?>0 即 0<a<1 时 -1+ 1-a + - -1- 1-a - - <x< }; 不等式的解集为{x| ; 不等式的解集为 a a ②?≤0 即 a≥1 时, ≤ ≥ 不等式的解集为? 不等式的解集为?. 当 a<0 时,?=4-4a>0, = - , -1+ 1-a + - -1- 1-a - - 不等式的解集为{x|x< }. 不等式的解集为 或 x> . a a

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解关于x的不等式 - + - 解关于 的不等式[(a-1)x+(2-a)](x-2)>0. 的不等式 - 【思路点拨】 对二次项系数 -1分a-1>0,a-1=0,a-1<0 思路点拨】 对二次项系数a- 分 - , - = , - 三种情况讨论,并且对 - 时还要对两根大小分三种情况讨论. 三种情况讨论,并且对a-1<0时还要对两根大小分三种情况讨论. 时还要对两根大小分三种情况讨论
【解】 当 a=1 时,有 x-2>0,解集为 = - ,解集为{x|x>2}. . a-2 - )>0, 当 a>1 时,有(x-2)(x- - - , a-1 - a-2 a-2 - - 1 <2,解集为 }. 此时 =1- - ,解集为{x|x>2 或 x< . a-1 a-1 a-1 - - - a-2 - )<0, 当 a<1 时,有(x-2)(x- - - , a-1 - a-2 a-2 - - >2,即 0<a<1 时,解集为 解集为{x|2<x< }; ① , ; a-1 a-1 - - a-2 - 解集为? ② =2,即 a=0 时,解集为?; , = a-1 - a-2 a-2 - - <2,即 a<0 时,解集为 解集为{x| <x<2}. ③ , . a-1 a-1 - -

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上面三个例子,分别代表了三种不同的类型,但它们对参数 都进行了 上面三个例子,分别代表了三种不同的类型,但它们对参数a都进行了 讨论,看起来比较复杂,但通过对它们解题过程的分析, 讨论,看起来比较复杂,但通过对它们解题过程的分析,我们可以发 现一个规律:原来参数 的分类要么根据一元二次不等式中二次项系数 现一个规律:原来参数a的分类要么根据一元二次不等式中二次项系数 等于零和判别式?= 时所得到的 的值为数轴的分点进行分类, 时所得到的a的值为数轴的分点进行分类 等于零和判别式 =0时所得到的 的值为数轴的分点进行分类,要么是 根据一元二次不等式中二次项系数等于零和两根相等时所得的a值为数 根据一元二次不等式中二次项系数等于零和两根相等时所得的 值为数 轴的分点进行分类. 轴的分点进行分类.

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