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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题


哈师大附中 2015-2016 学年度高三上学期期中考试 数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? x | x

? 3 , B ? ?x | x ? 2 ? 0? ,那么集合 A ? B ? A. ? ??,3? B. ? ??,3? C. ? 2,3? D. ? ?3, 2?

?

?

2.已知不共线的向量 a , b , | a |? 2, | b |? 3 , a ? (b ? a ) ? 1 ,则 | a ? b |? A. 3 B. 2 2 C. 7 D. 23

3.等差数列 ?an ? 中, 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则这个数列的前 13 项和为 A.13 B.26 C.52 D.156 4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是 A.

13 ? 3

B. 7?

C. 11?

D. 12?

5.将函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象 4

关于点 ? A.

? 3? ? , 0 ? 对称,则 ? 的最小值是 ? 4 ?
B.1 C.

1 3

5 3

D. 2

6.设 tan(? ? ? ) ? 2 ,则

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? )
C.3 D. -1

A.

1 3

B.1

7.设 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和,已知 a2 a4 ? 1 , S3 ? 7, 则 S5 ? A.

15 2

B.

31 4

C.

33 4

D.

17 2

8.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 3) ? ? f ( x), 且 f (1) ? 2 ,则 f (2013) ? f(2015) ? A. -2 B.0 C.2

9.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? ? x, 命题 p : ?x ? (0,

?
2

D.4

), f ( x) ? 0 ,则

?p : ?x0 ? (0, A.p 是真命题,

?
2

), f ( x0 ) ? 0

?p : ?x ? (0, B.p 是真命题,

?
2

), f ( x) ? 0

C. p 是假命题, ?p : ?x ? (0,

?
2

), f ( x) ? 0

D



p











?p : ?x0 ? (0, ), f ( x0 ) ? 0 2
10.已知函数 f ( x) ? ? A. ? ??, ?1?

?

?(1 ? 2a) x ? 3a, x ? 1 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是 ?ln x, x ? 1
B. ? ?1, ?

? ?

1? 2?

C. ? ?1, ?

? ?

1? 2?

D. ? 0, ? , 则 ? ABC

? ?

1? 2?

o sB ? ( 2a ? b )c o s A 11. 在 ? ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 c ?a c
的形状是 A.等腰三角形 形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形

D. 等腰或直角三角

12.已知函数 f ( x) ? x ? x ln x ,若 k ? Z ,且 k ( x ? 2) ? f ( x) 对任意 x ? 2 恒成立,则 k 的 最大值为 A.3

B.4

C.5

D.6

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

共 90 分)
. .

13.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 2, a3 ? a4 ? 4 ,则 a5 ? a6 ? 14.设 ? 为锐角,若 cos(? ?

?

3 ? ) ? , 则 sin(? ? ) ? 6 5 12

15.已知向量 OA ? (2,2) , OB ? (4,1) ,在 x 轴上存在一点 P 使 AP ? BP 有最小值,则点 P 的坐标是 . 16.在平面直角坐标系 xoy 中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合.已 知点 P ? x, y ? 是角 ? 终边上一点, OP ? r ? r ? 0? ,定义 f ?? ? ? ①函数 f ③函数 f

x? y .对于下列说法: r

?? ? 的值域是 ? ??

2, 2 ? ?;

②函数 f

?? ? 的图象关于原点对称;

?? ? 的图象关于直线 x ?

2? ;
⑤函数 f

3? 对称; ④函数 f ?? ? 是周期函数,其最小正周期为 4

?? ? 的单调递减区间是 ? ?2k? ?
?

3? ?? , 2k? ? ? , k ? Z . 4 4?

其中正确的是

. (填上所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 10, an?1 ? 9Sn ? 10 . (Ⅰ)求证: {lg an } 是等差数列; (Ⅱ)设 bn ?

2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (lg an )(lg an ?1 )

18. (本题满分 12 分) 已知向量 m ? (2cos2 x, 3), n ? (1,sin 2 x), 函数 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的图象的对称中心和单调递增区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 f (C) ? 3, c ? 1,ab ? 2 3,且

a ? b ,求 a , b 的值.

19.(本题满分 12 分) 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 直 角 梯 形 ABCD 中 , AD⊥CD , AB∥CD , ∠APD=60°, PA=CD=2PD=2AB=2,且平面 PDA⊥平面 ABCD,E 为 PC 的中点. P (Ⅰ)求证:PD⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求直线 PD 与平面 BDE 所成角的大小.

E

D A 20.(本题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=1,E 为 BC 中点. (Ⅰ)求证:C1D⊥D1E;
(Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 M,使得 BM∥平面 AD1E ? 若存在,求 存在,说明理由; (Ⅲ)若二面角 B1-AE-D1 的大小为 90° ,求 AD 的长.

C B

AM 的值;若不 AA1 D1
B1

C1

A1

D
21.(本题满分 12 分)

C E B

A

设函数 f ?x? ? x 2 ? a ln?x ? 1? ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ?x ? 在原点处的切线方程; (Ⅱ)试讨论函数 f ?x ? 极值点的个数; (Ⅲ)求证:对任意的 n ? N ,不等式 ln?
*

n ?n? 2? 恒成立. ?? 3 ? n ? 1 ? ?n ? 1?

请从下面所给的 22 , 23 ,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 AB 是半圆 O 的直径,AB=4,点 C 是半圆 O 上一点,过 C 作半圆 O 的切线 CD,过 点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于 E,DE=1. D (Ⅰ)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长. E C

A

O

B

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? , ? ? ?0, (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,根据(Ⅰ)中的 参数方程,确定点 D 的坐标.

? ?? . ? 2? ?

24. (本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)已知不等式 2x ? t ? t ? 8 的解集是 x ?5 ? x ? 4 ,求实数 t 的值; (Ⅱ)已知实数 x, y, z 满足 x ?
2

?

?

1 2 1 2 y ? z ? 2 ,求 x ? y ? z 的最大值. 4 9

哈师大附中 2015-2016 学年度高三上学期期中考试 数学(理科)答案
1-6:BABADC 7-12:BAACDB

13、

6

14、

2 10

15、(3,0)

16、

①③④

17.(1)当 n ? 2 时,由 an?1 ? 9S n ? 10 ,得 an ? 9S n?1 ? 10 ,相减得: an?1 ? 10an

* 当 n ? 1 时, a2 ? 9S1 ? 10 ? 100 ? 10a1 ,∴ an?1 ? 10an (n ? N ) ,

? lg an?1 ? lg(10an ) ? 1 ? lg an , ? lg an?1 ? lg an ? 1 ,又 lg a1 ? 1 ? ?lg an ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列.
(2)bn ? 12‘

L L 6‘

2 1 ? 1 1 ?1 ? 1 1 1 ? 2n ? 2? ? ? ,则 Tn ? 2 ?1 ? ? ? ? L ? ? ?= n?n ? 1? n n ?1 ? n ? 1 ? 2 2 3 ? n n ? 1?

LL

18、解: (1) f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? cos 2x ? 1 ? 3sin 2 x ? 2sin(2 x ? 2‘

?
6

) ?1 L L

令 2x ?

?
6

? k? , k ? Z ,? x ?

k? ? ? k? ? ? ? , k ? Z ,? 对称中心为 ? ? ,1? k ? Z L L 4‘ 2 12 ? 2 12 ? 2 , k ? Z ,? k? ?

令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

? ?? ? ? 增区间: ? k? ? , k? ? ? k ? Z 3 6? ?
(2) f (C ) ? 2sin ? 2C ?

L L 6‘

? ?

??

?? ? ? ? 1 ? 3 ,? sin ? 2C ? ? ? 1 , 6? 6? ?

Q 0 ? C ? ? ,?

?
6

? 2C ?

?
6

?

13? ? ? ? , ? 2C ? ? ? C ? , 6 6 2 6
2

L L 8‘

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b 2 ? 3ab ? ? a ? b ? ? 2ab ? 3ab
且a ? b, ? a ? b ? 2 ? 3 ,ab ? 2 3 , ?a ? 2, b ? 3 ‘ 19、解: (1) Q PA ? 2, PD ? 1, ?PAD ? 60o ,

Q c ? 1, ab ? 2 3 ,
L L 12

? AD2 ? PA2 ? PD2 ? 2PA ? PD cos ?PAD ? 3 ,? AD ? 3 ,? PA2 ? AD2 ? PD2
? PD ? AD ,又 Q PD ? 平面 PDA ,平面 PDA I 平面 ABCD ? AD ,平面 PDA ? 平面 ? PD ? ABCD A , 平 面 L L 6‘
(2) Q AD ? CD ,? 以 DA, DC , DP 分别为 x 轴, y 轴 , z 轴,建立空间直角坐标系

B

uuu r r 1 1 uuu D(0, 0, 0), P(0, 0,1), E (0,1, ), B( 3,1, 0) ? DE ? (0,1, ), DB ? ( 3,1, 0) ,设平面 BDE 2 2

1 ? r r ?y ? z ? 0 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ,令 x ? 1 ,?n ? (1, 3, 2 3) 2 ? 3x ? y ? 0 ?
uuu r r 2 3 3 3 ,设直线 PD 与平面 BDE 所成的角为 ? , sin ? ? ,? 直线 ? cos? DP, n? ? ? 1? 4 2 2
PD
与 平 面

BDE











60o.

L L 12‘
20.方法一: 证明: (1)连 D1C,长方体中,EC⊥平面 DCC1D1,∴EC⊥DC1 ∵AB=AA1,∴正方形 DCC1D1 中,D1C⊥DC1 又 EC∩D1C=C,∴DC1⊥平面 ECD1 L L 4‘ ∵D1E ? 面 ECD1,∴C1D⊥D1E 解: (2)存在点 M 为 AA1 中点,使得 BM∥平面 AD1E. 证明:取 A1D1 中点 N,连 BM,MN,NB ∵E 为 BC 中点,∴ND1 BE ∴四边形 BED1N 是平行四边形,∴BN∥D1E 又 BN ? 平面 AD1E,D1E ? 平面 AD1E ∴BN∥平面 AD1E ∵MN

N A1 M

D1 B1

C1

D A E B

C

1 AD1,MN ? 平面 AD1E,AD1 ? 平面 AD1E 2

z D1 A1 M D A x E B B1

C1

∴MN∥平面 AD1E ∵BN∩MN=N,∴平面 BMN∥平面 AD1E ∵BM ? 平面 BMN,∴BM∥平面 AD1E

C

y

此时,

AM 1 ? AA1 2

L L 8‘

方法二: 证明: (1)以 D 为原点,如图建立空间直角坐标系 D-xyz,设 AD=a, 则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,1,0),B1(a,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E(

uuur uuur a 2 uuu r uuur uuu r a AM 解: (2) 设 ) ,∴ B ? h ,则 M (a,0, h M ? (0 ,1 , ? h ) , AE ? (? ,1, 0) , AD1 ? (?a, 0,1) , 2 AA1
∴ C1 D ? (0, ?1, ?1), D1 E ? ( ,1, ?1) ,∴ C1D ? D1E ? 0 ,∴C1D⊥D1E L L 4‘

uuur

uuur

a ,1,0), 2

r a ? uuu ? AE ? n ? ? x ? y ? 0 2 ) ? 设平面 AD1E 的法向量 n ? ( x , y , z ,则 , uuur ? AD ? n ? ?ax ? z ? 0 ? 1
∴平面 AD1E 的一个法向量

n? ( 2a , ,a2 )
uuu r 1 n ,即 BM ? n ? a ? 2ah ? 0 ,∴ h ?
2

∵BM∥平面 AD1E,∴ BM ?

uuur

即在存在 AA1 上点 M,使得 BM∥平面 AD1E,此时

AM 1 L L 8‘ ? . AA1 2

) AE ? (? 解: (3)设平面 B1AE 的法向量 m? ( x? , y? , z? ,

uuu r

uuu r a ,1, 0) , AB1 ? (0,1,1) 2

r a ? uuu AE ? ? m? ? x? ? y? ? 0 2 , ? ,a ) 则? ,∴平面 B1AE 的一个法向量 m ? ( 2 a uuu r ? AB ? m ? y ? z ? 0 ? 1
∵二面角 B1-AE-D1 的大小为 90° ,∴ m⊥ n ,∴ ∵a>0,∴a=2,即 AD=2.

m? n ? 4 ? a2 ? 2a2 ? 0

L L 12‘ 1 ' 2 ' 21.解: (1)当 a ? ?1 时, f ?x? ? x ? ln?x ? 1? ,则 f ? x ? ? 2 x ? ,? f ?0? ? ?1 x ?1

? 曲线 y ? f ?x ?在原点处的切线方程为 y ? ? x
(2) f 当a ?
'

L L 2‘

?x ? ? 2 x ?

a 2x 2 ? 2x ? a ? , x ? ?1 ,令 g ?x? ? 2x 2 ? 2x ? a, x ? ?1 x ?1 x ?1

1 ' 时, ? ? 0 ,所以 g ?x ? ? 0,则 f ? x ? ? 0,所以 f ?x ? 在 ?? 1,??? 上为增函数, 2 1 ' 时, ? ? 0 ,所以 g ?x ? ? 0,则 f ? x ? ? 0,所以 f ?x ? 在 ?? 1,??? 上为增函数, 2

所以无极值点; 当a ?

所以无极值点; 当a ?

1 ? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a 时, ? ? 0 ,令 f ' ? x ? ? 0,则 x1 ? , x2 ? 2 2 2

当0 ? a ?

1 1? ? ? 1 ? 时, x1 ? ? ? 1,? ? , x 2 ? ? ? ,?? ? ,此时有2个极值点; 2 2? ? ? 2 ?

当 a ? 0 时, x1 ? ?? ?,?1? , x2 ? ?0,??? ,此时有1个极值点; 综上:当 a ?

L L 8‘ 2 2 (3)对于函数 f ? x ? ? x ? ln( x ? 1) ,令函数 h ? x ? ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln( x ? 1)
3 3
2 则 h? ? x ? ? 3x ? 2 x ?

1 时,无极值点; 2 1 当 0 ? a ? 时,有2个极值点; 2 当 a ? 0 时,有1个极值点;

1 3x3 ? ( x ? 1) 2 ? , 当x ?[0, ??)时,h? ? x ? ? 0 ,所以函数 h ? x ? x ?1 x ?1

在 [0, ??) 上单调递增, 又 h(0) ? 0,? x ? (0, ??) 时,恒有 h ? x ? ? h(0) ? 0 即

x 2 ? x3 ? ln( x ? 1) 恒成立.
1 1 ? 1 1 ? ,则有 ln?1 ? 恒成立, ? ?? 2 n ?1 ?n ? 1?3 ? n ? 1 ? ?n ? 1?

取x ?

即不等式 ln?

n ?n? 2? 恒成立. ?? 3 ? n ? 1 ? ?n ? 1?

L L 12‘

22.解:(1)连接 OC, 因为 OA=OC,所以∠OAC=∠OCA 因为 CD 为半圆 O 的切线,所以 OC⊥CD, 因为 AD⊥CD,所以 OC∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以 AC 平分∠BAD ………………5 分 (2)连接 CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以 BC=CE. 因 A,B,C,D 四点共圆,故∠ABC=∠CED, 因为 AB 是半圆 O 的直径, 所以∠ACB 是直角, Rt△CDE 相似于 Rt△ACB, DE:CE=CB:AB,BC=2. 23. 解 (I) 半 圆 C 的 ………………10 分 普 通 方 程 为 ;

x2 ? y2 ? 2 y ? 0, x ??0,1?,

………………2 分

半圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ? ? ? ? ?? ? ? ?? , ? 为参数 ? ? ? 2 2? ? ? y ? 1 ? sin ? . ?

………………5 分

(II)设点 D 对应的参数为 ? ,则点 D 的坐标为 ? cos? ,1 ? sin ? ? 且 ? ? ? ?

? ? ?? , ? 2 2? ?

由(1)可知半圆 C 的圆心是 C(0,1), 因半圆 C 在 D 处的切线与直线 l 垂直,故直线 DC 的斜率与直线 l 的斜率相等,

(1 ? sin ? ) ? 1 3 3 ? ? ? ?? ? ,即 tan ? ? , ?? ? ? ? , ? ,?? ? , ………………8 分 cos ? 3 3 6 ? 2 2?
所以点 D 的坐标为 ?

? 3 3? ? 2 ,2? ? ? ?

………………10 分

24.解 (I) 2x ? t ? 8 ? t, 得8 ? t ? 0, 所以t ? ?8 ,

?8 ? t ? 2 x ? t ? 8 ? t , ?4 ? t ? x ? 4,
由 f ? x ? ? 8 的解集是 x ?5 ? x ? 4 , 得 ?4 ? t ? ?5, t ? 1 (II)由柯西不等式得 ? x ?
2

?

?

? ?

y2 z2 ? y z? 2 ? ? ? ?1 ? 4 ? 9 ? ? ?1?x ? 2? ? 3? ? ? ? x ? y ? z ? 4 9 ? 2 3? ?

2

28 ? ? x ? y ? z ? , ?2 7 ? x ? y ? z ? 2 7
2

y z y z y2 z2 x 2 ? ? 2, 当且仅当 ? 2 ? 3 ? 0 即 x ? ? >0且x ? 4 9 4 9 1 2 3
亦即 x ?

1 4 9 ,y? ,z ? 时( ? x ? y ? z ?max ? 2 7 ) 7 7 7


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