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高中数学2.1.2直线的方程精品课件苏教版必修


第2章

平面解析几何初步

2.1.2 直线的方程

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学习目标 1.掌握直线方程的点斜式、斜截式、 两点式和截距式的特点与适用范围, 会将这四种形式的直线方程化为一般式; 2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系, 正确理解直线方程一般式的含义. 3. 能根据具体问题的具体条件选择恰当的形式 求直线方程.

重点难点

重点:直线方程的五种形式及形

式的选择. 难点:直线方程的点斜式、斜截式、两点式

和截距式的适用范围.

新知初探思维启动
y-y1=k(x-x1) ,它表示经过 1. 点斜式方程: ______________ 点P1(x1,y1),且斜率为k的直线. y=kx+b,它表示经过点P(0, 2.斜截式方程:________ b),且斜率为k的直线方程.b为直线l在y轴上的 截距 ____.

y-y1 x-x1 = (x1≠x2,y1≠y2) y_________________________ x2-x1 2-y1 3.两点式方程: , 它表示经过点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线方 程. x y + =1,它表示经过点 A(a, 4.截距式方程: ______ a b x轴 0), B(0, b)的直线方程. 其中 a 为直线在 ____ 轴 上的 上的截距,也称横截距,b 为直线在 y ____ 截距,也称纵截距.

+By+C=0 其中A、B、C 5.一般式方程:Ax _____________( A、B 不全为0),它可以表示平面内 是常数,______ 的任何一条直线.

想一想
1.平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方 程吗?

提示:平面直角坐标系下,并不是所有的直
线都存在点斜式方程.当直线与x轴垂直时(没 有斜率),不能用点斜式方程来表示.

2.截距与距离是一回事吗?
提示:不是一回事,截距是直线与x轴(y轴)交 点的横(纵)坐标,因此可正,可负也可为零,

而“距离”必须是非负的.

做一做 1 3.已知直线 l 的斜率为 ,且 l 经过点(4,5), 2 则直线 l 的点斜式方程为________.

1 答案:y-5= (x-4) 2

4.已知直线的倾斜角为 60°,在 y 轴上的截距 为-2,则此直线的斜截式方程为________.
解析:∵k=tan60°= 3,且过点(0,-2),∴ 直线方程为 y= 3x-2.
答案:y= 3x-2

5.已知直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 2 和 5, 则直线的截距式方程为________.
x y 答案: + =1 2 5

6.若直线 m 过定点(-1, -1)和(2, 5), 且点(2012, a)在 m 上,则 a 的值为________.
解析:(-1, -1),(2,5),(2012, a)三点共线, 5-(-1) a-5 ∴ = ,∴a=4025. 2-(-1) 2012-2
答案:4025

典题例证技法归纳
题型探究

直线的点斜式、斜截式方 程

例1

根据条件写出下列直线的方程:

(1)过点A(-4,3),斜率k=3; (2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°;

(3)过点C(-1,2)且与y轴平行;
(4)过点D(2,1)和E(3,-4).

【解】 (1)由点斜式方程可知,所求直线的方 程为 y-3=3[x-(-4)],即 3x-y+15=0. (2)由题意知,直线的斜率 k=tan135°=-1, 故所求直线的方程为 y-4=-(x+1),即 x+y -3=0. (3)∵直线与 y 轴平行,斜率不存在,故直线的 方程不能用点斜式表示,由于直线上所有点的 横坐标都是-1,故这条直线的方程为 x=-1.

(4)∵直线过点 D(2,1)和 E(3,-4), -4-1 ∴斜率 k= =-5, 由点斜式得 y-1=- 3-2 5(x-2), 即 5x+y-11=0.
【名师点评】 (1)求直线的点斜式方程.

(2)将直线的方程求出后,为了统一答案的形
式,如果没有特别要求,一般都将直线的方 程化为Ax+By+C=0(A、B不全为0)的形式.

变式训练 1.根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为 2,在 y 轴上的截距是 5; (2)倾斜角为 150°,在 y 轴上的截距是-2; (3)倾斜角为 60°, 与 y 轴的交点到坐标原点的 距离为 3.

解:(1)由直线方程的斜截式可知, 所求直线方程为 y=2x+5. (2)∵倾斜角 α=150°,∴斜率 k=tan150°= 3 - , 3 3 由斜截式可得方程为 y=- x-2. 3

(3)∵直线的倾斜角为 60°, ∴其斜率 k=tan60°= 3, ∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3, ∴直线在 y 轴上的截距 b=3 或 b=-3. ∴所求直线方程 y= 3x+3 或 y= 3x-3.

直线的两点式和截距式方 程
例2 三角形的顶点是 A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)(如图所示),求这个三角形三边所在的 直线的方程.

【解】

直线 AB 过 A(-5,0),B(3,-3)两 y-0 x-(-5) 点,由两点式得 = ,整理得 -3-0 3-(-5) 3x+8y+15=0,这就是直线 AB 的方程. 直线 BC 过 B(3,-3),C(0,2),斜率是 k= 2-(-3) 5 5 =- ,由点斜式得 y-2=- (x- 3 3 0-3 0),

整理得 5x+3y-6=0, 这就是直线 BC 的方程. 直线 AC 过 A(-5,0),C(0,2)两点, x y 由截距式得 + =1, -5 2 整理得 2x-5y+10=0,这就是直线 AC 的方 程.

【名师点评】

(1)直线的两点式可由点斜式

导出,当直线斜率不存在或斜率为0时,不能 用两点式,此时直线与坐标轴重合或平行,

直线方程更简单,即x=x1或y=y1;
(2)截距式方程有很大的局限性,除了不能表 示与坐标轴垂直的直线外,还不能表示过原 点的直线.

(3)已知直线上的两点坐标时,通常用两点式
求直线方程. (4)由于减法运算的顺序性,一般用两点式求

直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而
致错,错误的原因是没有将实际解题中的数 与公式中的字母对应起来造成的,只有深刻 理解公式,才能避免类似“低级”错误.

变式训练
2.已知直线l经过点(3,4),且在两轴上的截距 相等,求直线l的方程.

解:法一:设所求的直线方程为 y-4=k(x- 3). 4 令 x=0,得 y=4-3k;令 y=0,得 x=3- . k ∵直线在两轴上的截距相等. 4 4 ∴4-3k=3- .∴k= 或 k=-1. k 3

4 ∴所求直线方程为 y-4= (x-3)或 y-4=- 3 (x-3),即 4x-3y=0 或 x+y-7=0. 法二:当直线过原点时,它在两轴上的截距都 为 0, 4 ∴直线方程为 y= x,即 4x-3y=0. 3 x y 当直线不过原点时,设方程为 + =1, a b 3 4 ∵a=b,且 + =1,∴a=b=7. a b

x y 此时直线方程为 + =1,即 x+y-7=0. 7 7 综上,所求直线方程为 4x-3y=0 或 x+y-7 =0.

直线的一般式方程
例3 (本题满分14分)设直线l的方程为(m2- 2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列 条件分别确定m的值. (1)直线l的斜率为-1; (2)直线l的横、纵截距相等.

【思路点拨】 由一般式直线方程表示出斜率, 得 m 的方程,解之即可.横、纵截距相等,不 可忘记截距为 0 的情形.

【解】 (1)把方程化为斜截式为 -(m2-2m-3) 2m-6 y= x+ 2 ,(3 分) 2m2+m-1 2m +m-1 m2-2m-3 k=- 2 =-1. 2m +m-1

解这个分式方程,注意到分母不能为 0,得 m =-2. (7 分) (2)当两个截距都为 0 时,有 2m-6=0,即 m =3. (10 分) 当两个截距都不为零时,直线与方程可化为

名师微博
注意分类讨论,否则会出错!

x y + =1. 2m-6 2m-6 m2-2m-3 2m2+m-1 ∵横纵截距相等,∴m2-2m-3=2m2+m-1 ≠0, 解得 m=-2,(12 分) 综上所述,m=3 或 m=-2.(14 分)

【名师点评】 直线方程的各种形式之间存在 着内在的联系,它是直线在不同条件下的不同 的表现形式,要掌握好各种形式的适用范围和 它们之间的互化,如把一般式 Ax+By+C=0 化为截距式有两种方法:一是令 x=0,y=0, 求得直线在 y 轴上的截距 B 和在 x 轴上的截距 A;二是移常数项,得 Ax+By=-C,两边除 以-C(C≠0),再整理即可.

变式训练
3.根据下列条件分别求出直线的方程,并化为 一般式方程. (1)斜率为3,经过点(5,-4); (2)斜率为-2,经过点(0,2); (3)经过两点(2,0)和(0,-3); (4)斜率为2,经过点(2,0).

解:(1)∵k=3,过点(5,-4).
由直线的点斜式方程,得y+4=3(x-5), ∴所求直线方程为3x-y-19=0.

(2)∵k=-2,在y轴上的截距为2,
由直线的斜截式方程,得y=-2x+2, ∴所求直线方程为2x+y-2=0.

(3)∵直线在两轴上的截距分别为 2 和-3, x y 由直线的截距式方程,得 + =1. 2 -3 ∴所求直线方程为 3x-2y-6=0. (4)∵k=2,在 x 轴上的截距为 2, 由直线的点斜式方程,得 y=2(x-2), ∴所求直线方程为 2x-y-4=0.

备选例题
1.求与两坐标轴围成的三角形面积为4,且斜

率为-2的直线l的方程.

解:设直线 l 的方程为 y=-2x+b,则它与两 1 1 1 坐标轴的交点分别为( b, 0), (0, b), 于是有 · | 2 2 2 b2 b|·|b|= =4,解之得 b=± 4,所以直线 l 的 4 方程为 y=-2x± 4.

2.已知直线 l 过三个点 A(3, a), B(b, 4), C(1, 1). (1)求 a,b 满足的关系式; 3 (2)若 l 的斜率为- , 求 a,b 的值; 2 (3)在(2)的条件下,求直线 l 与坐标轴所围成的 三角形的面积.

a-1 4-1 解:(1)由三点共线知, = ,则 ab-a 3-1 b-1 -b-5=0. a-1 3 4-1 3 (2) =- 且 =- ,∴a=-2,b=-1. 2 b-1 2 3-1 3 5 (3)l 的方程为 y-1=- (x-1). 令 x=0 得 y= , 2 2 5 令 y=0 得 x= . 3 1 5 5 25 ∴S= ×| |×| |= . 2 3 2 12

方法感悟
方法技巧

1.一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜
率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选 择截距式或两点式.另外,从所求的结论来

看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或
周长,则应选用截距式.

2.待定系数法是求直线方程最基本最常用的方 法,但要注意选择形式.一般地,已知一点和 待定斜率 k,但应注意讨论当斜率 k 不存在时 的情形;如果已知斜率 k,一般选择斜截式, 待定纵截距 b;如果已知直线与坐标轴围成三 角形的问题就选择截距式,待定横截距和纵截 距.一般来说,待定几个系数就应列出几个方 程,有的直线方程可以同时选用几种形式,但 选择的形式不同,运算的繁简程度就不同.

失误防范 1.选用直线方程的点斜式、斜截式时,不要忘 记研究斜率不存在的情况. 2.对于截距要理解准确,为实数而不是距离, 在应用与截距有关的直线方程时,不要忽略截 距为 0 的情形的研究.


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