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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(68)


加试模拟训练题(68) (附详细答案) 1.A、B、C 三点共线,O 点在直线外,O1,O2,O3 分别为△OAB,△OBC, △OCA 的外心.求证:O,O1,O2,O3 四点共圆. O O1 ? ? O3 A B O2 C 2.一个数列的前五项是 1,2,3,4,5,从第六项开始,每项比前面所有项的乘积 少 1.证明:此数列的前 70 项的乘积恰是它们的平方和. 3. 按某种顺序把从 1 到 1993 的自然数排成一行, 对这一行数实行下述变换: 如果数 k 占有 第一个位置,则把这行中的前 k 个数按相反的顺序重新进行排列,证明:经过有限次这种变 换以后,一定可以使数 l 占有第一个位置. 4.设 x, y 是区间[2,100]中的整数,证明存在正整数 n 使得 x 2 ? y 2 是合数. n n 加试模拟训练题(68) 1.A、B、C 三点共线,O 点在直线外, O1 O1,O2,O3 分别为△OAB,△OBC, △OCA 的外心.求证:O,O1,O2, O3 四点共圆. (第 27 届莫斯科数学奥林匹克) 分析:作出图中各辅助线.易证 O1O2 垂直平分 OB,O1O3 垂直平分 OA.观察△OBC 及其外接圆, A 1 立得∠OO2O1= ∠OO2B=∠OCB.观察△OCA 及其外接圆, 2 1 立得∠OO3O1= ∠OO3A=∠OCA. 2 由∠OO2O1=∠OO3O1 ? O,O1,O2,O3 共圆. 利用对角互补,也可证明 O,O1,O2,O3 四点共圆,请同学自证. 2.一个数列的前五项是 1,2,3,4,5,从第六项开始,每项比前面所有项的乘积 少 1.证明:此数列的前 70 项的乘积恰是它们的平方和. 【题说】1995 年城市数学联赛低年级高水平题 2. 【证】设第 n 项为 an,a6=119.n≥6 时, an+1=a1a2·…·an-1=a1a2·…·an-1·an-1 =an(an+1)-1 O ? ? O3 B O2 C =a71-119+65+55 =a1a2·…·a70 [别证]记第 n 项为 an,则 a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,a6=119,n ≥6 时, an+1=a1·a2·…·an-1 =(an+1)an-1 =55+(a71-a6+65)=a71+1=a1·a2·…·a70 3. 按某种顺序把从 1 到 1993 的自然数排成一行, 对这一行数实行下述变换: 如果数 k 占有 第一个位置,则把这行中的前 k 个数按相反的顺序重新进行排列,证明:经过有限次这种变 换以后,一定可以使数 l 占有第一个位置. 【题说】第十九届(1993 年)全俄数学奥林匹克十一年级二试题 6. 【解】将 1993 改为 n 并用归纳法来证明. n=1 显然.设对 n-1,结论成立,考虑 n 个数的情形,如果经过有限次变换,数 n 排在最 后则对前 n-1 个数应用归纳假设便得到所需的结论(因为 n 已不会再移动). 如果数 n 不可能移到最后,这时它也不可能占有第一个位置.所以,位于最后的数在任何一 次变换中不会移动.从而参与变动的仅有前面的 n-1 个数,应用归纳假设就可以达到我们 的目的. 4.设 x, y 是区间[2,100]中的整数,证明存在正整数 n 使得 x 2 ? y 2 是合数. n n 证 如果 x=y,令 n=1,则 x 2 ? y 2 是一个大于 2 的偶数,故为合数。 n n 假设 x ? y ,下面证明存在正整数 n,使得 x

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