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浙江省杭州七校12-13学年高二上学期期中联考(数学)


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2012 学年第一学期杭州地区七校联考
高二年级数学学科试题
命题:富阳中学 丁伟民 严州中学 邵小刚

说明:1.考试时间 100 分钟,满分 120 分 2.所有解答均写在答题卷上,写在试题卷上无效。 一、选择题: (每小

题 4 分,共 40 分,每小题有且只有一个正确答案) . 1.直线 3x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A.300 B.600 2.利用斜二测画法可以得到: ▲ ) C.1200 D.1350

①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形. 以上结论正确的是( A.①② B.① C.③④ D.①②③④ ▲ ) D.-3 ▲ ) ▲ )

3.若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 B.1 C.3

4.设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( A.若 m ? α,n ? β,m∥n,则 α∥β C.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β

B.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α D.若 α⊥β,n⊥β,m⊥n,则 m⊥α )

5.在三棱锥 P-ABC 中,若 PA=PB=PC,则顶点 P 在底面 ABC 上的射影 O 必为△ ABC 的( ▲ A.内心 B. 垂心 C.重心 D. 外心

6.直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M、N 两点,若|MN|≥2 3,则直线倾斜角的取值范围是 ( ▲ ) B. ? 0, ? ? ? ,? ? ? 3? ? 3 ?

A. ? , ?6 6 ? ?

? ? 5? ?

? ??

? 2?

?

C. ? 0,

? ? ? ? 5? ? ? ,? ? ? 6? ? 6 ? ? ?

D. ? , ?3 3 ? ?

? ? 2? ?

7.△ ABC 一边 BC 在平面 ? 内,顶点 A 在平面 ? 外,已知 ?ABC ? 为

?
3

,三角形所在平面与 ? 所成的二面角

? ,则直线 AB 与 ? 所成角的正弦值为( 6
3 2
B.



)

A.

1 4
▲ )

C.

1 2

D.

3 4

8.已知点 P 在直线 x+3y-1=0 上,点 Q 在直线 x+3y+3=0 上,PQ 中点为 M(x0,y0), y0 且 y0≥x0+2,则 的取值范围为( x0 A. ? ? , ?

? 1 ? 3

1? ? 7?

B. ? ??, ? ? ? ? ? , ?? ? 3 7

? ?

1? ?

? 1 ?

? ?

C. ? ? , ? 3 7

? 1 1? ? ?

D. ? ? , ? ? 3 7

? 1 ?

1? ?

9.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在线段 AD1 上移动,则 异面直线 CP 与 BA1 所成的角 ? 的取值范围(
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)

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A. 0 ? ? ? C. 0 ? ? ?

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?

?

3

B. 0 ? ? ? D. 0 ? ? ?

?

?

2

3 2 2 2 10.已知直线 l : x ? y ? 6 ? 0 和圆 M : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,圆心为 M,点 A 在直线 l 上,若圆 M 与直
线 AC 至少有一个公共点 C ,且 ?MAC ? 30 ,则点 A 的横坐标的取值范围是( ▲ )
0

A. (0,5)

B. ?1, 5?

C. ?1, 3?

D. ? 0, 3?

二、填空题: (每小题 4 分,共 28 分) 11.在空间直角坐标系 O-xyz 中,若 A(1, 3 ,2)关于 y 轴的对称点为 A1,则线段 AA1 的长度为 ▲ 12.圆 x2+y2=20 的弦 AB 的中点为 P(2,-3),则弦 AB 所在直线的方程是 13.如右图,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图 都是矩形,则该几何体的体积为 ▲ ▲

14.如下图所示,将平面四边形 ABCD 折成空间四边形,当平面四 边形满足条件 ▲ 时, 空间四边形中的两

条对角线互相垂直(填一个正确答案就可以,不必考虑所有可能 情形)
D C

A

D B C

A B

15.已知直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 与 x、y 轴分别交于点 A、B , 为坐标原点, 则点 O 到 ?BAO 平分线 AD 的 O 距离为
2 2


2

16.过圆 C: x ? y ? 2 R 内一定点M ( x0 , y0 ) 作一动直线交圆 C 于两点 A、B,过坐标原点 O 作直线 ON⊥AM 于点 N,过点 A 的切线交直线 ON 于点 Q,则 OM ? OQ = 17.如图所示的三棱锥 A-BCD 中,∠BAD=90° ,AD⊥BC,AD=4, AB=AC=2 3 ,∠BAC=120° ,若点 P 为△ ABC 内的动点满足 直线 DP 与平面 ABC 所成角的正切值为 2,则点 P 在△ ABC 内所成的轨迹的长度为 ▲ B C 三、解答题(本题共 4 小题,共 52 分;要求写出详细的演算或推理过程)) 18. (本大题 10 分) 已知点 A(3, 3) 、 B(5, 2) 到直线 l 的距离相等,且直线 l 经过两条直线
C

???? ???? ?



(用 R 表示)

A D
C

l1 : 3x ? y ? 1 ? 0
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和 l2 : x ? y ? 3 ? 0 的交点,求直线 l 的方程。 19. (本大题 12 分)

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如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是一直角梯形,?BAD ? 90 ,AB // DC , PA ? 底面ABCD ,
0

且 PA=AD=DC=

1 AB=1. 2 (1)证明:平面 PAD ? 平面 PCD
(2)设 AB,PA,BC 的中点依次为 M、N、T,求证:PB∥平面 MNT (3)求异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值

20.(本大题 14 分)
1 如图, DC ⊥平面 ABC , ?BAC =90° AC ? BC ? ?CD , , 2 点 E 在 BD 上,点 E 在 BC 上的射影为 F,且 BE ? 3ED .

(1)求证: BC ? 平面AEF ; (2)若二面角 F ? AE ? C 的大小为 45° ,求 ? 的值.

21. (本大题 16 分) 已知圆 O 的方程为 x ? y ? 16 ,过点 M (3, 0) 作直线与圆 O 交于 A 、 B 两点。
2 2

(1)若坐标原点 O 到直线 AB 的距离为

3 ,求直线 AB 的方程; 2

(2)当△ OAB 的面积最大时,求直线 AB 的斜率; (3)如右图所示过点 P(?4, 0) 作两条直线与圆 O 分别交于 R、S, 若 ?OPR ? ?OPS ?

?
4

,且两角均为正角,试问直线 RS 的

斜率是否为定值,并说明理由。

2012 学年第一学期杭州地区七校联考参考答案 高二年级数学学科(仅供参考,请批评指正)
富阳中学 丁伟民 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
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题号 1 2 3 4 5

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6 7 8 9

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10

答案

C

A

B

B

D

C

D

D

A

B

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11、 13、 15、

2 5 9 3

;12、 ;14、 ;16 2R2 ;17

2x-3y-13=0

; ; ;

AC ? BD
2π/3

3 5 5

三、解答题(共 52 分) 18.(本小题 10 分) 解:由 ?

?3 x ? y ? 1 ? 0 得直线 l1、l2 的交点坐标(1,2)………………………2′ ?x ? y ? 3 ? 0

∵点 A(3,3) 、 B(5, 2) 到直线 l 的距离相等,∴ l 平行 AB 或过 AB 中点 ① l 与 AB 平行,则由 k AB ? ?

1 ,得 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ………………………6′ 2

② l 过 AB 中点,则 l : x ? 6 y ? 11 ? 0 ………………………….10 分 19.(本小题 12 分) (1)证明:∵ ?BAD ? 90 , AB // DC ∴ CD ? AD
0

又∵ PA ? 底面ABCD , CD ? 平面ABCD ∴ PA ? CD ,∵ PA ? AD=A ,且 PA ? 平面PAD,AD ? 平面PAD ∴ CD ? 平面PAD ,又∵ CD ? 平面PCD ∴平面 PAD ? 平面 PCD ………………4′ (2)连接 MN,MT,NT; ∵M、N 分别为 AB、AP 中点 ∴MN//PB ∵ MN ? 平面MNT,PB ? 平面MNT ,∴PB∥平面 MNT……………7′

解:∵AB 中点 M,AP 中点 N,BC 中点 T, ,则 MN//PB,MT//AC ∴ ?NMT 就是异面直线 AC 与 PB 所成角(或补角)。……………9′

1 5 1 AB ? 1 ,∴在 RT△ PAB 中, PB ? 5 , MN ? PB ? 2 2 2 1 2 10 在 RT△ ADC 中, AC ? 2 , MT ? AC ? ,在 RT△ ACT 中, AT ? , 2 2 2 11 10 在 RT△ NAT 中, NT ? ,∴在△ MNT 中, cos ?NMT ? ? 5 2
∵ PA ? AD ? DC ?
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故异面直线 AC 与 PB 所成的角的余弦值为 20.(本小题满分 14 分)

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10 ………………………12′ 5

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解: (1)∵DC⊥平面 ABC, ∴DC⊥BC ∵ EF ? BC ,∴EF∥CD……………………………………1′ 1 又∵ ?BAC ? 90? , AC ? BC ,所以 ?ABF ? 30? , ……2′ 2 ∴ AB ?
3 3 BF AB 3 BE BF 3 , BC , ? ? ? ? , BF ? BC ,∴ 2 AB BC 2 4 BD BC 4

∴ ?BAF ∽ ?BCA ,∴ ?BFA ? 90? ,即 AF ? BC ;………………5′ ∵ EF ? BC ,又 AF ? EF ? F ,于是 BC ? 平面AEF ,………………7′ (2)过 F 作 FG ? AE 于 G 点,连 GC 由 BC ? 平面AEF 知 AE ? BC ,可得 AE ? 平面FGC ,………9′ 所以 AE ? CG ,所以 ?FGC 为 F-AE-C 的平面角,即 ?FGC =45° ………11′ 设 AC=1,则 AF ?
3 1 3 3 , CF ? ,则在 RT△ AFE 中 GF ? , , EF ? 2 4? 2 2 3 ? 4? 2

在 RT△ CFG 中 ?FGC =45° ,则 GF=CF,即 (注:若用其他正确的方法请酌情给分) 21. (本小题 16 分)

3 2 3 ? 4?
2

?

6 1 得到 ? ? .…………………14′ 2 2

解: (1)设过点 N (3, 0) 的直线方程为 x ? my ? 3 ,∵原点到直线 AB 的距离为

3 3 3 ,∴ ? 则 2 2 m ?1 2

m ? ? 3 ,∴直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 ………4′
(2)直线 AB 的方程: x ? my ? 3 代入圆的方程 x ? y ? 16 得 (m ? 1) y ? 6my ? 7 ? 0
2 2
2 2

由韦达定理得, y1 ? y2 ? ∵ S AOB ?

?6m ?7 , y1 y2 ? 2 2 m ?1 m ?1

1 16m 2 ? 7 16 9 ? ON y1 ? y2 ? 3 ?3 ? 2 ………7′ 2 2 2 2 (m ? 1) ( m ? 1) ( m ? 1) 2

∴当

2 1 8 时△ OAB 面积最大,此时直线 AB 的斜率为 ?2 2 ………10′ ? 时,即 m ? ? 4 m ?1 9
2

(3)设点 R( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 ) ,将直线 RS 的方程 y ? kx ? b ,代入圆的 方程得

(k 2 ? 1) x 2 ? 2kbx ? b2 ? 16 ? 0
由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?

2kb b 2 ? 16 , x1 x2 ? 2 ① k 2 ?1 k ?1
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圆您梦想 y1 y ? 2 y y2 x ? 4 x2 ? 4 ,则 1 tan ?OPR ? 1 , tan ?OPS ? ?1 y1 y2 x1 ? 4 x2 ? 4 1? ? x1 ? 4 x2 ? 4 即 y1 ( x2 ? 4) ? y2 ( x1 ? 4) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? y1 y2 (*), 又∵ y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b ② 则①②代入(*)式整理得 b(k ? 1) ? 4k (k ? 1) ,即 b ? 4k或k ? ?1,当 b ? 4k 时, 直线 RS 过定点 (?4,0) 不成立,故直线 RS 的斜率为定值 ?1 …………………16′
(注:若用其他正确的方法请酌情给分)

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