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数学:1.3《算法案例---秦九韶算法》教案(新人教A版必修3)


〔教案〕 教学目标:

1.3

算法案例――-秦九韶算法

(1) 在学习中国古代数学中的算法案例的同时,进一步体会算法的 特点。 (2) 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 教学重点和难点 (1) 重点:理解秦九韶算法的思想。 (2) 难点:用循环结构表示算法的步骤。 教学基本流程 (1) 设计算法,求具体多项式

的值 (2) 改进算法,提高运算效率 (3) 介绍秦九韶算法,求一般多项式的值 (4) 用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤 (5) 对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结 教学情景设计 一、新课引入 在数学的发展史上,从公元前 2、3 世纪公元 14 世纪,中国的数学虽有过高 潮,也有过低落,但一直走在世界的前列,是世界数学的中心。中国古代数 学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一 枝奇葩。今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。 二、问题设计 问题 问题设计意 师生互动

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图 (1)设计求多项式 使学生在自 S 提出一般的解决方案,如:

f ( x) ? 2 x 5 ? 5x 4 ? 4 x 3 ? 3x 2 己操作的过 x=5 ? 6x ? 7

当 x=5 时的值的算法, 程中进一步 并写出程序。 PRINT“f=” ;f 认识问题本 身及其算 法。

f ? 2 * x? 5 _ 5* x? 4 ? 4 * x? 3 ? 3* x? 2 ? 6 * x ? 7

END T 点评:上述算法一共做了 15 次乘法运算,5 次加法 运算。优点是简单、易懂,缺点是不通用,不能解决 任意多项式求值问题,而且计算效率不高。

(2)有没有更高效的算 法?

帮助学生建 T:计算 x 的幂时,可以用前面的计算结果,以减少计 立改进算 算量,即现计算 x 2 ,然后依次计算

法、提高计 x 2 ? x,(x 2 ? x)x,((x 2 ? x)x)x 的值。这样计算上述 ? ? ? 算效率得意 多项式的值,一共需要多少次乘法,多少次加法? 识。 S:9 次乘法运算,5 次加法运算。 T: 第二种做法和第一种做法相比, 乘法的运算次数减 少了,因而能提高运算效率。而且对于计算机来说, 做一次乘法运算所需的时间比做一次加法运算需要的 时间要长得多,因此第二种算法能更快的得到结果。 (3)能否探求更好的 进一步探索 T 引导学生把多项式变形为: 算法, 来解决任意多项 具有一般意 式的求解问题? 义的算法。 并提问:从内到外,如果把每一个括号都看成一个常
f ( x) ? 2 x 5 ? 5 x 4 ? 4 x 3 ? 3x 2 ? 6 x ? 7 ? (((( 2 x ? 5) x ? 4) x ? 3) x ? 6) x ? 7

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数,那么变形后的式子中有哪些“一次式”?x 的系 数依次是什么? S: 2 x ? 5, Ax ? 4, Bx ? 3, Cx ? 6, Dx ? 7 共五个一次式, x 的系数依次是:
2,x ? 5, (2 x ? 5) x ? 4, (( 2 x ? 5) x ? 4) x ? 3, 2 ((( 2 x ? 5) x ? 4) x ? 3) x ? 6

(4)若将 x 的值代入 引导学生发 变形后的式子中, 那么 现规律,归 求值的计算过程是怎 样的? 纳总结。

原多项 式x的 系数

2 -5

-4

3

-6

7

运 算

10 变形后 x的 “系 数” 2 5

25 21

105 108

540 534

2670 2677


?5

最后得系数 2677 即为所求的值。让学生描述上述计 算过。 S:将变形前 x 的系数乘以 x 的值,加上变形前的第 2 个系数,得到一个新的系数;将此系数继续乘以 x 的 值,再,加上变形前的第 3 个系数,又得到一个新的 系数;继续对新系数做上面的变换,直到与变形前的 最后一个系数相加,得到一个新的系数为止。这个系 数即为所求多项式的值。 T:这种算法即是“秦九韶算法” ,同时介绍秦九韶的

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生平。

(5)用秦九韶算法求 引导学生分 教是引导学生发现在求值过程中,计算只与多项式的 多项式的值, 与多项式 析秦九韶算 系数有关, 让学生统计所进行得乘法和加法运算次数。 组成有直接关系吗? 用秦九韶算法计算上 述多项式的值, 需要多 少次乘法运算和多少 次加法运算? (6)秦九韶算法适用 说明秦九韶 T:怎样用秦九韶算法求一般的多项式 于一般的多项式
f ( x) ? a n x n ? a n ?1 x
n ?1

法的特点。 S:共做了 5 次乘法运算,5 次加法运算。

算法的通用 性。

f ( x) ? a n x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? ? ? a1 x ? a0 的值?

? ? ? ? 的求值问

S:先将多项式变形为
f ( x) ? a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? ? ? ? ? a1 x ? a 0 ? ? ?(a n x ? a n ?1 ) x ? a n ? 2 ) x ? ? ? ? ? a1 ) x ? a 0 ( ?

? a1 x ? a 0

题吗?

然后由内向外逐层计算一次多项式的值。 T 引导 S 思考:把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题,即求:
v1 ? a n x ? a n ?1 v 2 ? v1 x ? a n ? 2 v3 ? v 2 x ? a n ?3 ??? v n ? v n ?1 x ? a 0

的值的过程,共做了多少次乘法运算,多少次加法运
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算? S:n 次乘法运算,n 次加法运算。 (7)怎样用程序框图 引导学生认 T:观察秦九韶算法的数学模型,计算 v k 时要用到 vk ?1 的 表示秦九韶算法? 识秦九韶算 值,若令 法中的循环 v0 ? a n ,我们可以得到下面的递推公式: 过程,并用 算法的循环 结构来表示 环结构来实现。 这个过程。 S:画出程序框图。 (8)小结:通过对秦 进一步体会 T 引导 S 思考、讨论、概括。小结时要关注以下几点: 九韶算法的学习, 你对 算法的特 算法本身有哪些进一 步认识? 点。 (1) 算法具有通用的特点, 可以解决一类问题; (2) 解决同一类问题,可以有不同的算法,但计算的效 率是不同的,应选择高效的算法; (3)算法的种类 虽多,但三种逻辑结构可以有效的表达各种算法; 等。 (9)课后作业:习题 1.3A 组第 2 题
v0 ? a n ? (k ? 1,2,? ? ?n) ? ?v k ? v k ?1 x ? a n ? k

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,可以用循

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