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2013高考数学能力加强集训:专题一第1讲 集合、常用逻辑用语(含详解)


专题一

第1讲

集合、常用逻辑用语

一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.(2012· 银川模拟)已知集合 M={x| -3<x≤5},N={x| x<-5,或 x>5}, 则 M∪N= A.{x| x<-5,或 x>-3} C.{x| -3<x<5} 解析 B.{x| -5<x<5} D.{x| x<-

3,或 x>5}

如图可知,M∪N={x| x<-5,或 x>-3}.

答案

A

2.(2012· 东莞模拟)“a=-1”是“直线 a2x-y+6=0 与直线 4x-(a-3)y+9 =0 互相垂直”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 ks5u B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

当 a=-1 时,两直线方程为 x-y+6=0,4x+4y+9=0,显然垂直;

3 当两直线垂直时,4a2+a-3=0,得 a=-1 或 a= ,故选 A. 4 答案 A

3.(2012· 丰台二模)已知全集 U=R,集合 A={x| 2x>1},B={x| x2-3x-4 >0},则 A∩(?UB)= A.{x| 0≤x<4} C.{x| -1≤x≤0} 解析 B.{x| 0<x≤4} D.{x| -1≤x≤4}

解不等式 2x>1,得 x>0,∴A=(0,+∞),

解不等式 x2-3x-4>0,得 x>4 或 x<-1,∴B=(-∞,-1)∪(4,+∞), 则?UB=[-1,4],∴A∩(?UB)=(0,4]. 答案 B
x0

4.(2012· 海淀模拟)已知命题 p:?x0∈R, 2 A.?x0∈R, C.?x0∈R,

=1,则綈 p 是 B.?x0?R, D.?x0?R,

2 x0 ≠1 2 x0 ≠1

2 x0 ≠1 2 x0 ≠1

解析 答案

根据命题的否定的概念知选 A. A

5. (2012· 天水模拟)“a<4”是“对任意的实数 x, |2x-1|+|2x+3|≥a 成立” 的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件 解析 B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件

? 1? ? 3? a 把|2x-1|+|2x+3|≥a 变形为?x-2?+?x+2?≥2, ? ? ? ?

? 1? ? 3? 由绝对值的几何意义知?x-2?+?x+2?≥2,ks5u ? ? ? ? a 据题意得2≤2,即 a≤4, 由 a<4?a≤4 但 a≤4D/?a<4,故选 B. 答案 B

6.命题 p:若 a· b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角.命题 q:如果 y=f(x)是可导 函数,则 f′(x0)=0 是函数 y=f(x)在 x=x0 处取到极值的必要不充分条件.下列 说法不正确的是 A.“p∨q”是真命题 C.“綈 p”为假命题 解析 B.“p∧q”是假命题 D.“綈 q”为假命题

因为 a,b 反向共线时,a· b<0,但 a 与 b 的夹角为 π,而不是钝角,

故命题 p 是假命题;对于命题 q,如果 y=f(x)是可导函数,则 f′(x0)=0,如果 x0 的左右邻域内 f′(x)符号相同,则函数 y=f(x)在 x=x0 处取不到极值,反之, 若函数 y=f(x)在 x=x0 处取到极值,则必有 f′(x0)=0,故命题 q 是真命题.故 “p∨q”为真,“p∧q”为假,“綈 p”为真,“綈 q”为假,故选 C. 答案 C

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.若集合 A={x| x2+ax+1=0,x∈R},集合 B={1,2},且 A∪B=B,则 实数 a 的取值范围是________. 解析 (1)若 A=?,则 Δ=a2-4<0,解得-2<a<2;

(2)若 1∈A,则 12+a+1=0, 解得 a=-2,此时 A={1},符合题意;

(3)若 2∈A,则 22+2a+1=0,
? 1? 5 解得 a=-2,此时 A=?2,2?,不合题意; ? ?

综上所述,实数 a 的取值范围为[-2,2). 答案 [-2,2)

8.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实数根”的逆否命题是________ 命题(填“真”或“假”). 解析 解法一 ∵m>0,∴4m>0,4m+1>0,

∴方程 x2+x-m=0 的判别式 Δ=4m+1>0, ∴方程 x2+x-m=0 有实数根,即原命题为真. ∴命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实数根”的逆否命题是真命题. 解法二 原命题的逆否命题为“若方程 x2+x-m=0 无实数根, m≤0”, 则

∵方程 x2+x-m=0 无实数根,∴Δ=4m+1<0. 1 ∴m<-4<0,∴原命题的逆否命题为真. 答案 真

9.给出下列命题: ①y=1 是幂函数; ②函数 f(x)=2x-log2x 的零点有 1 个; ③ x-1(x-2)≥0 的解集为[2,+∞); ④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件; ⑤函数 y=x3 在点 O(0,0)处切线是 x 轴. 其中真命题是________(写出所有正确命题的编号). 解析 y=1 不是幂函数,①是假命题;作出函数 y=2x 与 y=log2x 的图象,

知函数 f(x)=2x-log2x 没有零点,②错误;x=1 是不等式 x-1(x-2)≥0 的解, ③错误;x<1?x<2,而 x<2 x<1,④正确;y′=(x3)′=3x2,k 切=0,

过原点的切线方程为 y=0,⑤正确. 答案 ④⑤

三、解答题(每小题 12 分,共 36 分)

10.(2012· 潍坊模拟)已知命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0;命题 q:?x0∈R,
2 使得 x0+(a-1)x0+1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范

围. 解析 p 真,则 a≤1,q 真,则 Δ=(a-1)2-4>0,即 a>3 或 a<-1.

∵“p∨q”为真,p∧q 为假, ∴p、q 中必有一个为真,另一个为假, ?a≤1 当 p 真 q 假时,有? 得-1≤a≤1,ks5u ?-1≤a≤3 ?a>1 当 p 假 q 真时,有? 得 a>3, ?a>3或a<-1 实数 a 的取值范围为-1≤a≤1 或 a>3. 11.(2012· 新乡模拟)已知 p: |x-4|≤6,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若 綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解析 由题知,若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件的等价命题为:p 是 q 的充

分不必要条件. p:|x-4|≤6?-2≤x≤10; q:x2-2x+1-m2≤0?[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0① 又∵m>0,∴不等式①的解集为 1-m≤x≤1+m. ∵p 是 q 的充分不必要条件 ?1-m≤2 ?1-m<2 ∴? 或? ,∴m≥9, ?1+m>10 ?1+m≥10 ∴实数 m 的取值范围是[9,+∞). 12.(2012· 奉贤区模拟)设关于 x 的不等式 x(x-a-1)<0(a∈R)的解集为 M, x+1 不等式 ≤0 的解集为 N. x-3 (1)当 a=1 时,求集合 M; (2)若 M?N,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)当 a=1 时,由已知得 x(x-2)<0.

所以 M={x| 0<x<2}. (2)解法一 由已知得 N={x| -1≤x<3}.

①当 a<-1 时,因为 a+1<0, 所以 M={x| a+1<x<0}. 因为 M?N,所以-1≤a+1<0,解得-2≤a<-1.

②若 a=-1 时,M=?,显然有 M?N, 所以 a=-1 成立. ③若 a>-1 时,因为 a+1>0,ks5u 所以 M={x| 0<x<a+1}. 又 N={x| -1≤x<3},ks5u 因为 M?N,所以 0<a+1≤3,解得-1<a≤2. 综上所述,a 的取值范围是[-2,2]. 解法二 由(1)与解法一:

由已知得 N={x| -1≤x<3}. ?a+1≥-1, 由题得? 解得-2≤a≤-1, ?a+1≤0, ?a+1≥0, ? 解得-1≤a≤2. ?a+1≤3, 所以 a∈[-2,2].


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