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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示


3.1.4
学习目标

空间向量的正交分解及其坐标表示

1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题;2.理解基底、基

向量及向量的线性组合的概念;3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量 的坐标.

知识点一 空间向量基本定理 思考 1 平面向量基本定理的内容是什么? 答案 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有 且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中,不共线的 e1,e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底. 思考 2 平面向量的基底惟一确定吗? 答案 不惟一. 梳理 (1)空间向量基本定理 条件 结论 三个不共面的向量 a,b,c 和空间任一向量 p 存在有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc

(2)基底 条件:三个向量 a,b,c 不共面. 结论:{a,b,c}叫做空间的一个基底. 基向量:基底中的向量 a,b,c 都叫做基向量. 知识点二 空间向量的坐标表示 思考 1 平面向量的坐标是如何表示的? 答案 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底, 对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使 a=xi+ yj,这样,平面内的任一向量 a 都可由 x,y 惟一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标. → → → 设OA=xi+yj, 则向量OA的坐标(x,y)就是点 A 的坐标,即若OA=(x,y),则 A 点坐标为(x, y),反之亦成立(O 是坐标原点). 思考 2 基底不同,向量的坐标相同吗? 答案 不同. 梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示

单位正交基底 空间直角坐标系

有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量,记作 e1,e2,e3 以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz 对于空间任意一个向量 p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p=xe1

空间向量的坐标表示

+ye2+ze3,则把 x,y,z 称作向量 p 在单位正交基底 e1,e2,e3 下的坐标,记作 p=(x,y,z)

类型一 基底的概念 例 1 若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基 底? 解 假设 a+b,b+c,c+a 共面, 则存在实数 λ、μ 使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c. ∵{a,b,c}为基底,∴a,b,c 不共面. 1=μ, ? ? ∴?1=λ, ? ?0=λ+μ,

此方程组无解.

∴a+b,b+c,c+a 不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构 成基底. (2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向 量线性表示,则不能构成基底. ②假设 a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立 λ,μ 的方程组,若有解,则共面,不能 作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 跟踪训练 1 (1)已知 a,b,c 是不共面的三个非零向量,则可以与向量 p=a+b,q=a-b 构成基底的向量是( )

A.2aB.2bC.2a+3bD.2a+5c (2)以下四个命题中正确的是________. ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示; ②若{a,b,c}为空间的一个基底,则 a,b,c 全不是零向量;

③如果向量 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有 a 与 b 共线; ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. 答案 (1)D (2)②③ 解析 (2)因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示,故 ①不正确;

②正确;由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底,故③正确;空间向量 基底是由三个不共面的向量组成的,故④不正确. 类型二 用基底表示向量 → → ― → 例 2 如图所示,在平行六面体 ABCDA′B′C′D′中,AB=a,AD=b, AA′ =c,P 是 CA′的中点, M 是 CD′的中点, N 是 C′D′的中点, 点 Q 在 CA′上, 且 CQ∶QA′=4∶1, 用基底{a,b,c}表示以下向量.

→ → → → (1)AP;(2)AM;(3)AN;(4)AQ. 解 连接 AC,AD′.

→ 1 → ― → 1 → → ― → 1 (1)AP= (AC+ AA′ )= (AB+AD+ AA′ )= (a+b+c). 2 2 2 1 1 → 1 → ― → 1 (2)AM= (AC+AD′ )= (a+2b+c)= a+b+ c. 2 2 2 2 1 → 1― → ― → 1 → → ― → → ― → (3)AN= (AC′ +AD′ )= [(AB+AD+ AA′ )+(AD+ AA′ )]= a+b+c. 2 2 2 1 → 4― 4― → → → → 4― → → 4― → → → 1 → → → 1 (4)AQ=AC+CQ=AC+ CA′ =AC+ ( AA′ -AC)= AC+ AA′ = (AB+AD)+ AA′ = a+ 5 5 5 5 5 5 5 1 4 b+ c. 5 5 反思与感悟 用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法 则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.

(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果 中只能含有 a,b,c,不能含有其他形式的向量. → 跟踪训练 2 如图所示,空间四边形 OABC 中,G、H 分别是△ABC、△OBC 的重心,设OA → → → =a,OB=b,OC=c.试用向量 a,b,c 表示向量GH.

解 ∵H 为△OBC 的重心,D 为 BC 的中点, 1 → 1 → → → 2→ 2 1 → → ∴OD= (OB+OC),OH= OD= × (OB+OC)= (b+c). 2 3 3 2 3 → → → → 2→ → → → 又OG=OA+AG=OA+ AD,AD=OD-OA, 3 2→ 1 → → → 1 → → 2 1 → → ∴OG=OA+ × (OB+OC)- OA= (OA+OB+OC)= (a+b+c). 3 2 3 3 3 → → → ∵GH=OH-OG, 1 1 → 1 ∴GH= (b+c)- (a+b+c)=- a. 3 3 3 类型三 空间向量的坐标表示 例 3 棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E、F、G 分别为棱 DD′、D′C′、 → → ― → BC 的中点,以{AB,AD, AA′ }为基底,求下列向量的坐标.

→ → → (1)AE,AG,AF; → → → (2)EF,EG,DG. 1 → → → → 1― → → 1― → ? 解 (1)AE=AD+DE=AD+ DD′ =AD+ AA′ =?0,1,2? ?, 2 2 1 ? → → → → 1→ AG=AB+BG=AB+ AD=? ?1,2,0?, 2 → ― → ― ― → ― → ― → → 1 → ?1 AF= AA′ + A′ D′ +D′ F= AA′ +AD+ AB=?2,1,1? ?. 2 1 → → → ― → → 1→ → 1― → 1― → 1 → ?1 (2)EF=AF-AE=( AA′ +AD+ AB)-(AD+ AA′ )= AA′ + AB=?2,0,2? ?, 2 2 2 2 1 1 → → → → 1→ → 1 → → 1→ 1 → 1,- ,- ?, EG=AG-AE=(AB+ AD)-(AD+ AA′)=AB- AD- AA′=? 2 2? ? 2 2 2 2

1 → → → → 1→ → → 1→ DG=AG-AD=AB+ AD-AD=AB- AD=(1,- ,0). 2 2 2 引申探究 → → ― → → → → 本例中,若以{DA,DC,DD′ }为基底,试写出AE,AG,EF的坐标. 1 → → → → 1― → 解 AE=AD+DE=-DA+ DD′ =(-1,0, ), 2 2 1→ 1→ → 1 → → → → AG=AB+BG=DC+(- DA)=- DA+DC=(- ,1,0), 2 2 2 1 1 → 1― → 1→ EF= DD′ + DC=(0, , ). 2 2 2 2 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤

→ → → 跟踪训练 3 空间四边形 OABC 中, OA=a, OB=b, OC=c, 点 M 在 OA 上, 且 OM=2MA, → N 为 BC 的中点,MN在基底{a,b,c}下的坐标为________. 2 1 1? 答案 ? ?-3,2,2? 解析 ∵OM=2MA,点 M 在 OA 上, 2 ∴OM= OA, 3 2 1 1 2 1 1 → → → → 1 → → - , , ?. ∴MN=MO+ON=-OM+ (OB+OC)=- a+ b+ c=? 2 3 2 2 ? 3 2 2?

1.在以下三个命题中,真命题的个数是(

)

①三个非零向量 a、b、c 不能构成空间的一个基底,则 a、b、c 共面; ②若两个非零向量 a、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a、b 共线; ③若 a、b 是两个不共线的向量,而 c=λa+μb(λ、μ∈R 且 λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的 一个基底. A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 ①正确.基底的量必须不共面;②正确;③不正确.a,b 不共线,当 c=λa+μb 时,a、

b、c 共面,故只有①②正确. 2.已知点 A 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点 A 在基底{i,j,k}下的坐标是( A.(12,14,10) C.(14,12,10) 答案 A 解析 设点 A 在基底{a,b,c}下对应的向量为 p,则 p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k +4i=12i+14j+10k,故点 A 在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10). 3.若 a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则 α, β,γ 的值分别为________. 答案 解析 5 1 ,-1,- 2 2 ∵d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β ) B.(10,12,14) D.(4,3,2)

+γ)e3=e1+2e2+3e3,

?α+β+γ=1,
∴?α+β-γ=2,

?

? ?α-β+γ=3,

α= , ? ? 2 ∴?β=-1, 1 ? ?γ=-2.

5

4.如图所示, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间直角坐标系.已知 AB=AD=2, BB1=1, → → 则AD1的坐标为________,AC1的坐标为________.

答案 (0,2,1) (2,2,1) → 解析 根据已建立的空间直角坐标系知 A(0,0,0),C1(2,2,1),D1(0,2,1),则AD1的 → 坐标为(0,2,1),AC1的坐标为(2,2,1). → → → → 5.在四面体 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则OE= ________.(用 a,b,c 表示) 答案 1 1 1 a+ b+ c 2 4 4

→ → 1→ → 1 1 → → → 1 → → → → 解析 OE=OA+ AD=OA+ × (AB+AC)=OA+ ×(OB-OA+OC-OA) 2 2 2 4 1→ 1→ 1→ 1 1 1 = OA+ OB+ OC= a+ b+ c. 2 4 4 2 4 4

1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量, 与任意两个非零向量都 共面,所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. 2.空间几何体中,欲得到有关点的坐标时,先建立适当的坐标系,一般选择两两垂直的三条 线段为坐标轴,然后选择基向量,根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示,即得 所求向量的坐标. 3.用基底表示空间向量,一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则,及加法的平行四边 形法则,加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡,直到全部用基向量表示.

40 分钟课时作业
一、选择题 1.以下四个命题中正确的是( )

A.基底{a,b,c}中可以有零向量 B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 → → C.△ABC 为直角三角形的充要条件是AB· AC=0 D.空间向量的基底只能有一组 答案 B 解析 使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面,故 A 不正确;△ABC 为直角三 → → → → → → 角形并不一定是AB· AC=0,可能是BC· BA=0,也可能是CA· CB=0,故 C 不正确;空间基 底可以有无数多组,故 D 不正确. 2.下列说法中不正确的是( )

A.只要空间的三个向量的模为 1,那么它们就能构成空间的一个单位正交基底 B.竖坐标为 0 的向量平行于 x 轴与 y 轴所确定的平面 C.纵坐标为 0 的向量都共面 D.横坐标为 0 的向量都与 x 轴上的基向量垂直 答案 A 解析 单位正交基底除要求模为 1 外,还要求三个向量两两垂直. → → → → 3.若向量MA,MB,MC的起点 M 和终点 A,B,C 互不重合且无三点共线,则能使向量MA, → → MB,MC成为空间一组基底的关系是( → 1→ 1→ 1→ A.OM= OA+ OB+ OC 3 3 3 )

→ → → B.MA=MB+MC

→ → → → C.OM=OA+OB+OC 答案 C

→ → → D.MA=2MB-MC

→ → → → 解析 对于选项 A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)?M,A,B,C 四点共面知, → → → → → → → → MA,MB,MC共面;对于 B,D 选项,易知MA,MB,MC共面,故只有选项 C 中MA,MB, → MC不共面. → → → → → 4.已知点 O,A,B,C 为空间不共面的四点,且向量 a=OA+OB+OC,向量 b=OA+OB- → OC,则与 a,b 不能构成空间基底的向量是( → → → → → A.OAB.OBC.OCD.OA或OB 答案 C → 1 1 解析 ∵OC= a- b 且 a,b 不共线, 2 2 → → ∴a,b,OC共面,∴OC与 a,b 不能构成一组空间基底. → 5.已知 i、 j、 k 是空间直角坐标系 Oxyz 的坐标向量, 并且AB=-i+j-k, 则 B 点的坐标为( A.(-1,1,-1) C.(1,-1,-1) 答案 D → 解析 向量AB的坐标与 B 点的坐标不同. 由于 A 点的坐标未知,故无法确定 B 点坐标. → → 6.设 OABC 是四面体, G1 是△ABC 的重心, G 是 OG1 上的一点, 且 OG=3GG1, 若OG=xOA → → +yOB+zOC,则(x,y,z)为( ) B.(-i,j,-k) D.不确定 ) )

1 1 1? ?3 3 3? ?1 1 1? ?2 2 2? A.? ?4,4,4?B.?4,4,4?C.?3,3,3?D.?3,3,3? 答案 A → 1 → → 1 → → 解析 如图所示, 连接 AG1 交 BC 于点 E, 则点 E 为 BC 中点, AE= (AB+AC)= (OB-2OA 2 2 → → 2→ 1 → → → +OC),AG1= AE= (OB-2OA+OC), 3 3

→ → → → ∵OG=3GG1=3(OG1-OG), → 3→ 3 → → ∴OG= OG1= (OA+AG1) 4 4 3 → 1→ 2→ 1→ = (OA+ OB- OA+ OC) 4 3 3 3 1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC,故选 A. 4 4 4 二、填空题 → 7.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为 1,则AB → → 的坐标为________,DC1的坐标为______,B1D的坐标为________.

答案 (1,0,0) (1,0,1) (-1,1,-1) → → → → → → → → → → 解析 DC1=AA1+AB,B1D=B1A1+B1C1+B1B=-AB+AD-AA1. 8.{a,b,c}为空间的一个基底,且存在实数 x,y,z 使得 xa+yb+zc=0,则 x=________, y=________,z=________. 答案 0 0 0

y z 解析 若 x,y,z 中存在一个不为 0 的数,不妨设 x≠0,则 a=- b- c,∴a,b,c 共面. x x 这与{a,b,c}是基底矛盾,故 x=y=z=0. → → 9.已知四面体 ABCD 中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,对角线 AC,BD 的中点分别为 E, → F,则EF=________. 答案 3a+3b-5c 解析 如图所示,取 BC 的中点 G,连接 EG,FG,

1 → → → 1 → 1→ 1 → 1→ 1 则EF=GF-GE= CD- BA= CD+ AB= (5a+6b-8c)+ (a-2c)=3a+3b-5c. 2 2 2 2 2 2 10.若四边形 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点 D 的坐标为____________. 答案 (5,13,-3)

→ → 解析 由四边形 ABCD 是平行四边形知AD=BC, → → 设 D(x,y,z),则AD=(x-4,y-1,z-3),BC=(1,12,-6), x-4=1 ? ? 所以?y-1=12 ? ?z-3=-6 x=5 ? ? ,解得?y=13 ? ?z=-3



即 D 点坐标为(5,13,-3). 三、解答题 11.已知向量 p 在基底 a,b,c 下的坐标是(2,3,-1),求 p 在基底{a,a+b,a+b+c}下 的坐标. 解 由已知 p=2a+3b-c, 设 p=xa+y(a+b)+z(a+b+c)=(x+y+z)a+(y+z)b+zc, x+y+z=2, ? ? 则有?y+z=3, ? ?z=-1, x=-1, ? ? 解得?y=4, ? ?z=-1,

故 p 在基底{a,a+b,a+b+c}下的坐标为(-1,4,-1). 12.已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,E,F 分别为 BB1 和 DC 的中点,建立如图 → → → 所示的空间直角坐标系,试写出DB1,DE,DF的坐标.

解 设 x,y,z 轴的单位向量分别为 e1,e2,e3, 其方向与各轴的正方向相同, → → → → 则DB1=DA+AB+BB1=2e1+2e2+2e3, → ∴DB1=(2,2,2). → → → → ∵DE=DA+AB+BE=2e1+2e2+e3, → → → ∴DE=(2,2,1).∵DF=e2,∴DF=(0,1,0). 1 2 13.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, F 分别在 B1B 和 D1D 上, 且 BE= BB1, DF= DD1. 3 3 (1)证明:A,E,C1,F 四点共面; → → → → (2)若EF=xAB+yAD+zAA1,求 x+y+z 的值.

→ → → → → → 1→ 2→ (1)证明 因为AC1=AB+AD+AA1=AB+AD+ AA1+ AA1 3 3 → 1→ → 2→ → → → → → → =(AB+ AA1)+(AD+ AA1)=(AB+BE)+(AD+DF)=AE+AF, 3 3 所以 A,E,C1,F 四点共面. → → → → → → → (2)解 因为EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE) → 2 → → 1→ → → 1→ =AD+ DD1-AB- BB1=-AB+AD+ AA1, 3 3 3 1 1 所以 x=-1,y=1,z= ,所以 x+y+z= . 3 3


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