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2012年第29届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案


第 29 届全国中学生物理竞赛预赛试题
一、选择题.本题共 5 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项符合题意,有 的小题有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1.下列说法中正确的是 A.水在 0℃ 时密度最大 B.一个绝热容器中盛有

气体,假设把气体中分子速率很大的如大于 v A 的 分子全部取走,则气体的温度会下降,此后气体中不再存在速率大于 v A 的分子. C.杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的,两层玻璃之间抽成真空,抽成真空的主要作用是既可降低热 传导,又可降低热辐射. D.图示为一绝热容器,中间有一隔板,隔板左边盛有温度为 T 的理想气体,右边为真空.现抽掉隔 板,则气体的最终温度仍为 T. 答案:D 2.如图,一半径为 R 电荷量为 Q 的带电金属球,球心位置 O 固定, 为球外一点.几位同学在讨论 P 点的场强时,有下列一些说法,其中哪些说法是正确的? A.若 P 点无限靠近球表面,因为球表面带电,根据库仑定律可推知,P 点的场强趋于无穷大. B.因为在球内场强处处为 0,若 P 点无限靠近球表面,则 P 点的场强趋于 0 C.若 Q 不变,P 点的位置也不变,而令 R 变小,则 P 点的场强不变. D.若保持 Q 不变,而令 R 变大,同时始终保持 P 点极靠近球表面处,则 P 点的场强不变. 答案:C 3.图中 L 为一薄凸透镜,ab 为一发光圆面,二者共轴,S 为与 L 平行放置的屏,已知这时 ab 可在屏上成 清晰的像.现将透镜切除一半,只保留主轴以上的一半透镜,这时 ab 在 S 上的像 A.尺寸不变,亮度不变. B.尺寸不变,亮度降低. C.只剩半个圆,亮度不变. D.只剩半个圆,亮度降低. 答案:B 4.一轻质弹簧,一端固定在墙上,另一端连一小物块,小物块放在摩擦系数为 μ 的水平面上,弹簧处在自 然状态,小物块位于 O 处.现用手将小物块向右移到 a 处, 然后从静止释放小物块,发现小物块开始向左移动. A.小物块可能停在 O 点. B.小物块停止以后所受的摩擦力必不为 0 C.小物块无论停在 O 点的左边还是右边,停前所受的 摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同,也可能相反. D.小物块在通过 O 点后向右运动直到最远处的过程中,速度的大小总是减小;小 物块在由右边最远处回到 O 点的过程中,速度的大小总是增大. 答案:AC 5.如图所示,一内壁光滑的圆锥面,轴线 OO’是竖直的,顶点 O 在下方,锥角为 2α, 若有两个相同的小珠(均视为质点)在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道运动,则有: A.它们的动能相同. B.它们运动的周期相同.
O?

2?

O

C.锥壁对它们的支撑力相同. D.它们的动能与势能之比相同,设 O 点为势能零点. 答案:CD 二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果,不需写出求 得结果的过程. 6. (6 分)铀 238(92 U)是放射性元素,若衰变时依次放出 α,β,β,α,α,α,α,α,β,β,α,

β,β,α 粒子,最终形成稳定的核 X Pb ,则其中 X=
答案:82,206(各 3 分) 7. (10 分)在寒冷地区,为了防止汽车挡风玻璃窗结霜,可用 通电电阻加热.图示为 10 根阻值皆为 3Ω 的电阻条,和一个内 阻为 0.5Ω 的直流电源,现在要使整个电路中电阻条上消耗的 功率最大, i.应选用_________根电阻条. ii.在图中画出电路连线.

Y

, Y=



答案:i.当外电路与内电路电阻值相等时电源的输出功率最大,电 阻条上消耗的功率也最大,因此需用 6 根电阻条并联。(7 分) ii.如图所示(任意 6 根电阻条并联均可)(3 分)。 8. (10 分)已知:光子有质量,但无静止质量,在重力场中也有重 力势能. 若从地面上某处将一束频率为 ν 的光射向其正上方相距为 d 的空间站,d 远小于地球半径,令空间站接收到的光的频率为 ν’,则差 ν’-ν= 附近的重力加速度为 g. 答案: ? ,已知地球表面

gd ? c2

(10 分)

? 解析:由能量守恒得 h
gd c2

? h? ? ? mgd ,而光子能量 h? ? ? mc2 ,联立消除质
gd ? c2

gd ? 2 c 量即得? ? ?? ? gd 1? 2 c

,其中

1 ,所以? ? ?? ?



9. (10 分)图中所示两物块叠放在一起,下面物块位于光滑水平桌面上,其质量为 m,上面物块的质量为 M,两物块之间的静摩擦系数为 μ.现从静止出发对下面物块施以随时间 t 变化的水平推力 F=γt,γ 为一常 量,则从力开始作用到两物块刚发生相对运动所经过的时间等于 于 . ,此时物块的速度等

答案:

( M ? m) ? g

?



? 2 g 2 ( M ? m) 2?
?

(各 5 分)

M

解析:由牛顿第二定律得 a

?t
M ?m

m

F

,两物块刚发生相对运动的条

件为 a

? ? g ,解得 t ?

( M ? m) ? g

?

; 由动量定理得 Ft

? (M ? m)v ,

代入 F

? ? t 和 t 解即得。

10. (16 分)图中 K 是密封在真空玻璃管内的金属电极,它受光照射后能释 放出电子;W 是可以透光的窗口,光线通过它可照射到电极 K 上;C 是密封

在真空玻璃管内圆筒形的收集电极,它能收集 K 所发出的光电子.R 是接在电池组 E(电压足够高)两端 的滑动变阻器,电极 K 通过导线与串联电池组的中心端 O 连接;G 是用于测量光电流的电流计.已知当某 一特定频率的单色光通过窗口照射电极 K 时,能产生光电子.当滑动变阻器的滑动接头处在某一点 P 时, 可以测到光电流,当滑动头向右移动时,G 的示数增大,使滑动头继续缓慢向右不断移动时,电流计 G 的 示数变化情况是: 点缓慢向左不断移动时,电流计 G 的示数变化情况是:_ .当滑动变阻器的滑动接头从 P .

若测得用频率为? 1 的单色光照射电极 K 时的遏止电压为 V1 ,频率为? 2 的单色光照射电极时的遏止电压为

V2 ,已知电子的电荷量为 e,则普朗克常量 h=
答案:逐渐增大,最后趋向一恒定值。(4 分) 逐渐减小,最后变到零。(4 分)

,金属电极 K 的逸出功 W0 =



e

V1 ? V2 ? 1 ?? 2



V1? 2 ? V2? 1 (各 4 分) ? 1 ?? 2

解析:滑动触头向右滑动时,加在光电管上的电压向正向增大,光电流随正向电压的增大先逐渐增大,当 达到饱和光电流值后不再改变。滑动触头向左滑动到某位置后,光电管加反向电压,反向电压随滑动触头 向左滑动而增大,当确定遏止电压时,光电流减小为 0。 由爱因斯坦光电效应方程可得

h? ? W0 ? Ek
代入相关量解得 h

而 eV

? Ek
W0 ? V1? 2 ? V2? 1 ? 1 ?? 2

?e

V1 ? V2 ? 1 ?? 2

三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能得 分.有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 11. (18 分)如图所示,一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸 长的轻绳,两端各系一个质量相等的小球 A 和 B,球 A 刚好接触地面,球 B 被拉到与细杆同样高度的水平位置,当球 B 到细杆的距离为 L 时,绳刚 好拉直.在绳被拉直时释放球 B,使球 B 从静止开始向下摆动.求球 A 刚 要离开地面时球 B 与其初始位置的高度差. 解:设球 A 刚要离开地面时联接球 B 的绳与其初始位置的夹角为 ? ,如 图所示,这里球 B 的速度为 v ,绳对球 B 的拉力为 T,根据牛顿第二定律 和能量守恒,有

T ? mg sin ? ? m

v2 l



1 mv 2 ? mgl sin ? 2
当 A 球刚要离开地面时,有



T ? mg
以 h 表示所求高度差,有



h ? l sin ?



由① ② ③ ④ 解得

1 h? l 3
2



评分标准:① ② 式各 6 分,③ ⑤ 式各 3 分。 12. (20 分)一段横截面积 S=1.0 mm 的铜导线接入直流电路中,当流经该导线的电流 I=1.0A 时,该段 铜导线中自由电子定向运动的平均速度 u 为多大?已知,每个铜原子有一个“自由电子”,每个电子的电荷 量 e ? 1.6 ?10
?19

C ; 铜的 密度 ? ? 8.9 g / cm3 , 铜 的摩 尔质量

μ = 64g / mol .阿 伏 枷德罗 常 量

N0 ? 6.02 ?1023 mol?1 .
解:设单位体积中自由电子数为 n,则有

I ? nqu S




n?

? N ? 0
u?



由以上两式得

?I ? qsN0



代入已知数据得

u ? 7.5 ?10?5 m/ s
评分标准:本题 20 分。



① 式 6 分,② 式 8 分,③ 式 2 分,④ 式 4 分。 13. (20 分)电荷量分别为 q 和 Q 的两个带异号电荷的小球 A 和 B(均可视为点电荷) ,质量分别为 m 和 M.初始时刻,B 的速度为 0,A 在 B 的右方,且与 B 相距 L0 ,A 具有向右的初速度 v0 ,并还受到一向 右的作用力 f 使其保持匀速运动,某一时刻,两球之间可以达到一最大距离. i.求此最大距离. ii.求从开始到两球间距离达到最大的过程中 f 所做的功. 解:解法一 i.由于 A 球始终以恒定的速度 v0 运动,故随 A 球一起运动的参考系 S ? 为惯性系。 在参考系 S ? 中,因 A 球静止,故作用于 A 球的外力 f 不做功,A、B 两球构成的系统的能量守恒。当 两球间的距离为 l0 时,B 球以初速度 v0 向左运动,随着 B 球远离 A 球,其动能在库仑力作用下逐渐减小, 两球的静电势能增大,当 B 球动能减少到 0 时,A、B 间距达到最大值 lM 。由能量守恒定律有

?k

Qq 1 Qq 2 ? M v0 ?k lM 2 l0 lM ? 2kQql0 2 2kQq ? M v0 l0



解得



ii.为了计算变力 f 做的功,应回到初始时 B 球相对它静止的参考系 S 来考察问题。相对 S 系,当两 球间的距离为 l0 时, A 球的速度为 v0 , B 球的速度为 0; 当两球的速度相等时, 两球间距离达到最大值 lM , 由功能关系,在这过程中,变力 f 的功

1 Qq 1 2 Qq 2 W ? [ ( M ? m) v0 ?k ] ? [ mv0 ?k ] 2 lM 2 l0
由⑵ 、⑶ 两式得 解法二
2 W ? M v0





在开始时 B 球相对它静止的参考系 S 中来考察问题。初始时,A 球的速度为 v0 ,B 球的速度为 0,当 两球间距离达到最大值 lM 时,两球的速度相等,都是 v0 ,根据动量定理和功能关系有

J ? (m ? M )v0 ? mv0
1 Qq 1 2 Qq 2 W ? (m ? M ) v0 ?k ? ( mv0 ? k ) 2 lM 2 l0





式中 J 和 W 分别是在所考察过程中变力 f 的冲量和功。在所考察过程中某一时间间隔 ?ti 内, 量为 ?J i

f i 的冲

? fi ?ti ,在所考察的过程中,f 的总冲量

J ? ? ?J i ? ? fi ?ti
i i



在 ?ti 时间内,A 球的位移 ?si 程中,f 的总功

? v0 ?ti ,力 f i 做的功为 ?Wi ? fi ?si ? fi v0?ti ,在所考察的过

W ? ? ?Wi ? ? fi v0 ?ti
i i



由以上四式得

k

Qq 1 Qq 2 ? ? M v0 ?k lM 2 l0



由⑸ 式得

lM ?

2kQql0 2 2kQq ? M v0 l0
2 ? M v0



由⑹ 式代入⑵ 式得 W



评分标准:本题 20 分 解法一:⑵ 、⑷ 式各 10 分 解法二:⑹ 、⑺ 式各 10 分

14. (20 分)由双原子分子构成的气体,当温度升高时,一部分双原子分子会分解成两个单原子分子,温 度越高,被分解的双原子分子的比例越大,于是整个气体可视为由单原子分子构成的气体与由双原子分子 构成的气体的混合气体.这种混合气体的每一种成分气体都可 视作理想气体. 在体积 V=0.045m3 的坚固的容器中, 盛有一定 质量的碘蒸气,现于不同温度下测得容器中蒸气的压强如下: 试求温度分别为 1073K 和 1473K 时该碘蒸气中单原子分子碘蒸 气的质量与碘的总质量之比值.已知碘蒸气的总质量与一个摩尔的双原子碘分子的质量相同,普适气体常 量 R=8.31J· mol 1· K
- -1

解:以 m 表示碘蒸气的总质量, m1 表示蒸气的温度为 T 时单原子分子的碘蒸气的质量, ?1 、 ?2 分别表 示单原子分子碘蒸气和双原子分子碘蒸气的摩尔质量, 子分子碘蒸气的分压强,则由理想气体的状态方程有

p1 、 p2 分别表示容器中单原子分子碘蒸气和双原

p1V ?

m1

?1

RT



p2V ?

m ? m1

?2

RT



其中,R 为理想气体常量。 根据道尔顿分压定律,容器中碘蒸气的总压强 p 满足关系式

p ? p1 ? p2




??
1 2

m1 m



为单原子分子碘蒸气的质量与碘蒸气的总质量的比值,注意到

?1 ? ?2
由以上各式解得



??

? 2V p
mR T

?1



代入有关数据可得,当温度为 1073K 时,

? ? 0.06
当温度为 1473K 时

⑺ ⑻

? ? 0.51
评分标准:⑴ ⑵ ⑶ ⑹ 式各 4 分,⑺ ⑻ 式各 2 分。

15. (20 分)图中 L 是一根通电长直导线,导线中的电流为 I.一电阻为 R、每边长为 2a 的导线方框,其中两条边与 L 平行,可绕过其中心并与长直导线平行的轴线 OO’ 转动,轴线与长直导线相距 b,b>a,初始时刻,导线框与直导线共面.现使线框以 恒定的角速度 ω 转动,求线框中的感应电流的大小.不计导线框的自感.已知电流 I

的长直导线在距导线 r 处的磁感应强度大小为 k

I ,其中 k 为常量. r

解:当线框绕转轴转过 ?

? ?t 的角度时,其位置如

图 1 所示,俯视图如图 2 所示。 当线框以角速度 ? 绕 OO? 转动时,线框与轴线 平行的两条边的速度都是 v ,且

v ? a?



L 中的电流产生的磁场在这两条边所在处的磁 感应强度分别为

B?k


I r I r?

⑵ ⑶

B? ? k

别为 ? 和 ? ? ,由电磁感应定律,线框的感应电动势为

式中 r 和 r ? 分别为这两条边到 L 的距离。 线框的两条边的速度 v 的方向与 B 和 B ? 的方向间的夹角分 ⑷ ⑸ ⑹

? ? 2 Bav sin ? ? 2 B?av sin ? ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? ? ? 注意到 r b b sin ? sin(? ? ? ?) sin ? ? ? ? r? b b
以及

r 2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos?

⑺ ⑻

r?2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ?
由以上各式得

? ? 2kIa 2b? (
? R

1 1 ? 2 ) sin ?t 2 a ? b ? 2ab cos ?t a ? b ? 2ab cos ?t
2 2



由欧姆定律得线框中感应电流

i?



由⑼ 、⑽ 两式得

2kIa 2b? 1 1 i? ( 2 ? 2 )sin ?t 2 2 R a ? b ? 2ab cos ?t a ? b ? 2ab cos ?t
评分标准:本题 20 分。 ⑴ 式 2 分,⑷ 式 8 分,⑸ ⑹ ⑺ ⑻ 式各 1 分,⑽ 式 2 分,⑾ 式 4 分。



16. (20 分)一质量为 m=3000kg 的人造卫星在离地面的高度为 H=180 km 的高空绕地球作圆周运动,那 里的重力加速度 g=9.3m· s 2.由于受到空气阻力的作用,在一年时间内,人造卫星的高度要下降 △ H=


0.50km.已知物体在密度为 ρ 的流体中以速度 v 运动时受到的阻力 F 可表示为 F=

1 ρACv2,式中 A 是 2

物体的最大横截面积,C 是拖曳系数,与物体的形状有关.当卫星在高空中运行时,可以认为卫星的拖曳 系数 C=l,取卫星的最大横截面积 A=6.0m2.已知地球的半径为 R0=6400km.试由以上数据估算卫星 所在处的大气密度. 解:设一年前、后卫星的速度分别为 v1 、 v2 ,根据万有引力定律和牛顿第二定律有

G

2 v1 Mm ? m R12 R1 2 v2 Mm ? m 2 R2 R2



G



式中 G 为万有引力恒量,M 为地球的质量, R1 和 R2 分别为一年前、后卫星的轨道半径,即

R1 ? R0 ? H R2 ? R0 ? H ? ?H
卫星在一年时间内动能的增量

⑶ ⑷

?Ek ?

1 1 2 m v2 ? mv12 2 2



由⑴ 、⑵ 、⑸ 三式得

1 1 1 ?Ek ? GMm( ? ) 2 R2 R1
由⑶ 、⑷ 、⑹ 式可知, ?Ek



? 0 ,表示在这过程中卫星的动能是增加的。

在这过程中卫星引力势能的增量

?EP ? ?GMm(

1 1 ? ) R2 R1



?EP ? 0 ,表示在这过程中卫星引力势能是减小的。卫星机械能的增量 ?E ? ?Ek ? ?EP
由⑹ 、⑺ 、⑻ 式得 ⑻

1 1 1 ?E ? ? GMm( ? ) 2 R2 R1



?E ? 0 ,表示在这过程中卫星的机械能是减少的。由⑶、⑷式可知,因 R1 、 R2 非常接近,利用

R1 ? R2 ? ?H



R1R2 ? R12
⑼ 式可表示为



?E ? ?

1 GMm ?H 2 R12



卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。卫星在沿半径为 R 的轨道运行一周过程中空气作用于卫

星的阻力做的功

W1 ? ?F ? 2? R ? ??? ACRv2
根据万有引力定律和牛顿运动定律有



G

v2 Mm ? m R2 R



由⒀ 、⒁ 式得

W1 ? ??? ACGM
的轨道运行一周经历的时间



⒂ 式表明卫星在绕轨道运行一周过程中空气阻力做的功是一恒量,与轨道半径无关。卫星绕半径为 R

T?

2? R v



由⒁ 、⒃ 式得

T ? 2? R

R GM



由于在一年时间内轨道半径变化不大,可以认为 T 是恒量,且

T ? 2? R1

R1 GM



以 ? 表示一年时间,有

? ? 3600s? 365 ? 24 ? 3.15 ?107 s
卫星在一年时间内做圆周运动的次数



n?

?
T



在一年时间内卫星克服空气阻力做的功

W ? nW1
由功能关系有

(21)

W ? ?E
由⒂ ⒅ ⒇ (21)(22)各式并利用 G

(22)

M ?g得 R12
(23)

??

m?H ? ACR1 R1 g

代入有关数据得

? ? 1.54 ?10?13 kg? m?3
评分标准:本题 20 分 ⑹ ⒂ (24)式 3 分,⑺ 式 2 分,⑼ ⑿ 式各 1 分,(23)式 7 分。

(24)


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