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广西贺州高中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


广西贺州高中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理 科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.给出的四个答案中,只有一个是 符合题意. ) 1.已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| ≤4,x∈Z},则 A∩B=( ) A. (0,2) B.C.|0,2| D.{0,1,2} 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:由题意可得 A={x|﹣2≤x≤2},B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, 14,15,16},从而可求 解答: 解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2} B={x| ≤4,x∈Z}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} 则 A∩B={0,1,2} 故选 D 点评:本题主要考查了集合的交集的求解,解题的关键是准确求解 A,B,属于基础试题

2.复数 A.

(i 为虚数单位)的模是( B.

) C.5 D.8

考点:复数求模. 专题:计算题. 分析:直接求出复数的代数形式,然后求解复数的模即可. 解答: 解:因为 所以 , ,

故选 A. 点评:本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的模的求法,考查计算能力.

3.设 x,y∈R,向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4) ,且 ⊥ , ∥ ,则| + |=( A. B. C. D.10

)

考点:平行向量与共线向量;向量的模. 专题:计算题;平面向量及应用.

分析:由向量平行与垂直的充要条件建立关于 x、y 的等式,解出 x、y 的值求出向量 坐标,从而得到向量 解答: 解:∵ ∴x?2+1?(﹣4)=0,解得 x=2. 又∵ ∴1?(﹣4)=y?2,解之得 y=﹣2, 由此可得 ∴ 可得 故选:B 点评:本题给出向量互相平行与垂直,求向量 条件和向量模的公式等知识,属于基础题. =(3,﹣1) , = = . , , ,且 , 的坐标,再由向量模的公式加以计算,可得答案. ,且 ,



的模.着重考查了向量平行、垂直的充要

4.已知 sin(α+ A.

)= ,则 cos2α= ( B.

) C. D.

考点:二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析: 因为 sin (α+ ﹣1=﹣ . 解答: 解:sin(α+ cos2α=2cos α﹣1=﹣ . 故选:A. 点评:本题主要考察了二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用,属于中档题. 5.已知命题 p:?x∈R,使 tanx=1,命题 q:?x∈R,x >0 下面结论正确的是( A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧?q”是假命题 C.命题“?p∨q”是真命题 D.命题“?p∧?q”是假命题 考点:复合命题的真假.
2 2

) =﹣cosα= , 即有 cosα=﹣ , 从而由二倍角的余弦公式知 cos2α=2cos α

2

)=﹣cosα= ,即有 cosα=﹣ ,

)

专题:应用题. 分析:由正切函数的性质可知命题 p:?x∈R,使 tanx=1,为真命题,?p 为假命题;由 x ≥0 可 2 得命题 q:?x∈R,x >0 为假命题,则非 q 为真命题,故可判断 解答: 解:命题 p:?x∈R,使 tanx=1,为真命题,?p 为假命题 ∵x ≥0 2 命题 q:?x∈R,x >0 为假命题,则非 q 为真命题 A:命题“p∧q”为假命题 B:p∧?q 为真命题 C:“?p∨q”为假命题 D:“?p∧?q”假命题 故选 D 点评:本题主要考查了命题真假判断的应用,简单复合命题的真假判断,属于基础试题 6.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=( A.7 B.5 C.﹣5 ) D.﹣7
2 2

考点:等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题:计算题. 分析:由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=﹣8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数列的通项可求 a1,a10,即可 解答: 解:∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4,a7=﹣2 或 a4=﹣2,a7=4 当 a4=4,a7=﹣2 时, ,

∴a1=﹣8,a10=1, ∴a1+a10=﹣7 3 当 a4=﹣2,a7=4 时,q =﹣2,则 a10=﹣8,a1=1 ∴a1+a10=﹣7 综上可得,a1+a10=﹣7 故选 D 点评:本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力. 7.在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=( D. )

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:结合已知,根据正弦定理, 解答: 解:根据正弦定理, , 可求 AC



故选 B 点评:本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题

8.曲线 y= 与直线 y=x﹣1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为( A.2﹣ln2 B.4﹣21n2 C.4﹣ln2

)

D.21n2

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:计算题. 分析: 作出函数的图象, 可得围成的封闭图形为曲边三角形 ABC, 它的面积可化作梯形 ABEF 的面积与曲边梯形 BCEF 面积的差,由此结合定积分计算公式和梯形面积公式,不难得到本 题的答案. 解答: 解:令 x=4,代入直线 y=x﹣1 得 A(4,3) ,同理得 C(4, ) 由 =x﹣1,解得 x=2,所以曲线 y= 与直线 y=x﹣1 交于点 B(2,1) ∴SABC=S 梯形 ABEF﹣SBCEF 而 SBCEF= =2ln4﹣2ln2=2ln2 ∵S 梯形 ABEF= (1+3)×2=4 ∴封闭图形 ABC 的面积 SABC=S 梯形 ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2 故选 B =(2lnx+C) , (其中 C 是常数)

点评:本题利用定积分计算公式,求封闭曲边图形的面积,着重考查了利用积分公式求原函数 和定积分的几何意义等知识,属于基础题. 9.已知 f1(x)=a ,f2(x)=x ,f3(x)=logax, (a>0 且 a≠1) ,在同一坐标系中画出其中两 个函数在第Ⅰ象限的图象,正确的是( )
x a

A.

B.

C.

D.

考点:对数函数的图像与性质;幂函数的图像. 专题:图表型. 分析:考查题设条件,此三个函数分别为幂函数,指数函数与对数函数,由于其中的参数是指 数与对数函数的底数,故分 a>1 与 0<a<1 两类讨论验证即可. 解答: 解:幂函数 f1(x)的图象一定经过(1,1) ,当 a>0 时经过原点; 指数函数 f2(x)的图象经过点(0,1) ,当 a>1 时,图象递增,当 0<a<1 时,图象递减; 对数函数 f3(x)的图象经过点(1,0) ,当 a>1 时,图象递增,当 0<a<1 时,图象递减, 对于 A,其中指数底数应大于 1,而幂函数的指数应小于 0,故 A 不对; 对于 B,其中幂函数的指数大于 1,对数函数的底数也应大于 1,故 B 对; 对于 C,其中指数函数图象递增,其底数应大于 1,而对数函数图象递减,其底数小于 1,故 C 不对; 对于 D,其中幂函数的图象递增,递增的越来越快,指数函数的图象递减,故幂函数的指数应 大于 1,而指数函数的底数小于 1,故 D 不对. 故选 B. 点评:本题考查的知识点是指数函数的图象和性质,对数函数的图象和性质,幂函数的图象和 性质,熟练掌握三个基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键.

10.已知 ω>0,函数 围是( A. ) B. C.



上单调递减.则 ω 的取值范

D. (0,2]

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题;压轴题. 分析:法一:通过特殊值 ω=2、ω=1,验证三角函数的角的范围,排除选项,得到结果. 法二:可以通过角的范围,直接推导 ω 的范围即可. 解答: 解:法一:令: 合题意 排除(B) (C) 法二: , 不合题意 排除(D)

得: 故选 A.



点评:本题考查三角函数的单调性的应用,函数的解析式的求法,考查计算能力.

11.已知函数 fM(x)的定义域为实数集 R,满足

(M 是 R 的非空真子

集) ,在 R 上有两个非空真子集 A,B,且 A∩B=?,则 域为( A. ) B.{1} C. D.

的值

考点:函数的值域;交集及其运算. 专题:新定义. 分析:对 F(x)中的 x 属于什么集合进行分类讨论,利用题中新定义的函数求出 f(x)的函 数值,从而得到 F(x)的值域即可. 解答: 解:当 x∈CR(A∪B)时,fA∪B(x)=0,fA(x)=0,fB(x)=0, ∴F(x)=1 同理得:当 x∈B 时,F(x)=1; 当 x∈A 时,F(x)=1

故 F(x)=

,即值域为{1}.

故选 B 点评:本题主要考查了函数的值域、分段函数,解答关键是对于新定义的正确理解,属于创新 型题目.
2 2 2

12.设函数 f(x)=

sin

,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 + <m ,则 m 的取值范围

是( ) A. (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) B. (﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) C. (﹣∞,﹣2)∪ (2,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 考点:正弦函数的定义域和值域. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由题意可得,f(x0)=±
2

,且
2

=kπ+

,k∈z,再由题意可得当 m 最小时,|x0|

2

最小,而|x0|最小为 |m|,可得 m > m +3,由此求得 m 的取值范围. 解答: 解:由题意可得,f(x0)=±
2 2 2 2

,且

=kπ+

,k∈z,即 x0=

m.

再由 x0 + <m ,可得当 m 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|,

∴m > m +3,∴m >4. 求得 m>2,或 m<﹣2, 故选:C. 点评:本题主要正弦函数的图象和性质,函数的零点的定义,体现了转化的数学思想,属于中 档题. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知 =2,则 tanx= .

2

2

2

考点:运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析: 首先利用三角函数的诱导公式求得 , 进一步利用 求的结果.

解答: 解:已知 则:利用诱导公式得: 进一步求出:tanx= 故答案为: 点评:本题考查的知识要点:三角函数诱导公式的应用,同角三角函数关系式的恒等变换,属 于基础题型.

14.如图,在△ ABC 中,AD⊥AB,



,则

=



考点:向量在几何中的应用. 专题:平面向量及应用. 分析:本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,属于难题. 解答: 解: ∵ ∴ , , ,





∴cos∠DAC=sin∠BAC, , 在△ ABC 中,由正弦定理得 变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB, , =|BC|sinB= = ,

故答案为 . 点评:近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题,应加强平面向量 的基本运算的训练,尤其是与三角形综合的问题 15. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上 面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升.

考点:数列的应用. 专题:计算题.

分析:由题设知

,先求出首项和公差,然后再由

等差数列的通项公式求第 5 节的容积.

解答: 解:由题设知



解得 ∴ 故答案为: . =

, .

点评:本题考查等式数列的通项公式和前 n 项和公式,解题时要注意公式的灵活运用. 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=e (x﹣1)给出以下命题: ﹣x ①当 x<0 时,f(x)=e (x+1) ; ②函数 f(x)有五个零点; ③若关于 x 的方程 f(x)=m 有解,则实数 m 的取值范围是 f(﹣2)≤x≤f(2) ; ④?x1,x2∈R,|f(x2)﹣f(x1)|<2 恒成立. 其中,正确命题的序号是①④. .
﹣x

考点:函数奇偶性的性质. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析:应用奇函数的定义和性质,结合函数的图象和性质判断求解. x x 解答: 解:令 x<0,所以﹣x>0,所以 f(﹣x)=e (﹣x﹣1)=﹣f(x) ,所以 f(x)=e (x+1) 故①正确;观察 f(x)在 x<0 时的图象,令 f′(x)=e (x+1)+e =0,所以 x=﹣2 可知 f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递减,在(﹣2,0)上递增,而在(﹣∞,﹣1)上,f(x) <0,在(﹣1,0)上 f(x)>0 由此可判断在(﹣∞,0)仅有一个零点,有对称性可知 f(x)在(0,∞)上也有一个零点, 又因为 f(0)=0,故该函数有三个零点. 由图可知,若关于 x 的方程 f(x)=m 有解,则﹣1<m<1,且?x1,x2∈R,|f(x1)﹣f(x2) <2|恒成立.
x x

故答案为:①④ 点评:本题考查了函数的概念和性质,综合函数图象性质,求解综合性较大,运用的知识点比 较多,做题要仔细认真. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知向量 =(cosθ,sinθ) , =( (Ⅰ)当 ⊥ 时,求 θ 的值; (Ⅱ)求| + |的取值范围. ) , .

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析: (I)根据垂直的向量数量积为 0,列出关于 θ 的方程,结合同角三角函数的关系,得 ,结合 θ 的范围可得 θ 的值; (II)根据向量模的公式,结合题中数据,化简整理得| + |= 合 θ 的范围,利用正弦函数的图象与性质,可得| + |的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ⊥ , ∴ ? = … ,再结

整理,得 又∵ (Ⅱ)∵| |= ∴| + |= = ∵ ∴ ∴ ∴ ,可得 ,即| + |的取值范围是… = … … ,∴θ= … =1,| |= =2, ? =

点评:本题给出向量坐标为含有 θ 的三角函数的形式,求向量的模的取值范围,考查了向量 数量积的坐标运算,同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.

18.已知数列{an}满足 a1=4,an=4 (1)求证数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 考点:数列递推式;等差关系的确定. 专题:计算题. 分析: (1)由题设知 知数列{bn}为等差数列. (2)由题设知 bn= ,于是有 ,于是有

,令



= +

,bn﹣bn﹣1= ,由此可

,两边同时取倒数后能够得到 an= +2.

解答: 解: (1)



=



于是有

= +



,即 bn﹣bn﹣1= ,

故有数列{bn}为等差数列,公差为 . (2) = .

所以有 bn= , 于是有 ,

∴an= +2. 点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意等差数列的性质的应用和判断. 19.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,求 b+c 的取值范围. 考点:余弦定理的应用;正弦定理的应用. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理把原等式转化为关于 A 的等式,求得 tanA 的值,进而求得 A. (Ⅱ)先根据三角形三边的关系求得 b+c 的一个范围,进而利用余弦定理求得 b+c 的关系式, 利用基本不等式求得 b+c 的范围,最后取交集即可. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理知 ∴sinA= cosA,即 tanA= ∵0<A<π, ∴A= . , = = , = ,

(Ⅱ)由已知:b>0,c>0,b+c>a=6, 由余弦定理得 36=b +c ﹣2bccos
2 2

=(b+c) ﹣3bc≥(b+c) ﹣ (b+c) = (b+c) , (当且

2

2

2

2

仅当 b=c 时取等号) , 2 ∴(b+c) ≤4×36,又 b+c>6, ∴6<b+c≤12, 即 b+c 的取值范围是(6,12]. 点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.结合了基本不等式知识的考查,综合性较 强. 20.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明: .

考点:数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合. 专题:计算题;证明题;等差数列与等比数列. 分析: (1) 由题意可知, Sn=2an﹣1, 结合递推公式 a1=S1, n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1, 可得 结合等比数列的通项公式可求由 b1=a1=1,b4=1+3d=7,可求公差 d,进而可求 bn, (2) 由 然后结合数列的单调性可证 解答: 解: (1)∵an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴Sn=2an﹣1… 当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1,∴a1=1… 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣1)﹣(2an﹣1﹣1)=2an﹣2an﹣1, ∴an=2an﹣1,即 … , 利用裂项求和可求 Tn, ,

∴数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ , …

设{bn}的公差为 d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d=2… ∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1… (2) ∴ ∵n∈N , ∴ ∴数列{Tn}是一个递增数列 ∴ 综上所述, .… … … …
*

… …

点评: 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用, 数列的递推公式的应用及数列 的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用 21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=2x﹣3 (1)证明:f(x)>g(x) ; (2)证明: (1+1×2) (1+2×3)…(1+2014×2015)>e
2×2014﹣3



考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)构造函数 F(x)=f(x)﹣g(x) ,利用导数求出函数的最小值为 3﹣e,问题得证.

(2)由题意得得

,令 x=1+n(n+1) ,利用放缩法加以证明.

解答: 证明: (1)令 F(x)=f(x)﹣g(x)=xlnx﹣2x+3, (x>0) ∴F'(x)=lnx+1﹣2=lnx﹣1, 令 F'(x)=0,解得 x=e, ∴x∈(0,e) ,F'(x)<0, x∈(e,+∞) ,F'(x)>0, ∴当 x=e 时函数 F(x)有最小值,即为 F(e)=elne﹣2e+3=3﹣e>0, 故 f(x)>g(x) . (2)由(1)xlnx>2x﹣3, 得 令 x=1+n(n+1) , 故 ∴ , ,

= 即 ln>2×2014﹣3 则(1+1×2) (1+2×3)…(1+2014×2015)>e 成立. 故问题得以证明. 点评:本题主要考查了导数以函数的最值的关系,以及利用放缩法证明不等式成立的问题,属 于中档题. 【选修 4-5:不等式选】 22.已知 a,b,c 均为正数,证明: (1) (a+b+c) ( + + )≥9; (2) + + ≥3.
2×2014﹣3

考点:不等式的证明. 专题:证明题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用柯西不等式,证明不等式; (2)利用基本不等式,即可证明结论. 解答: 证明: (1)∵a,b,c 均为正数, 由柯西不等式得(a+b+c) ( + + ) 不等式得证.… (2) + + = ≥2+2+2﹣3=3 =9

不等式得证.…

点评:本题考查不等式的证明,正确运用柯西不等式、基本不等式是关键.


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