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高三数学一轮复习不等式的解法(33)


第四节

不等式的解法

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最新考纲

掌握简单不等式的解法
1.以选择题的形式考查一些简单 不等式的解法 2.以填空题或解答

题的形式考 查含字母参数的不等式的解法.

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1.一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b 的解集为: ①当 a>0 时,解集为{ ②当 a<0 时,解集为{ }. }. ;

③当 a=0 时,若 b≥0,则 x∈? 若 b<0,则

x∈R

.

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2.一元二次不等式的解法:设a>0,x1,x2 是方程ax2 +bx+c=0的两实根,且x1 <x2 ,一元二次不等式的解集如

下表所示:

类型 解集 Δ>0 Δ=0 Δ<0

ax2+bx+c>0

ax2+bx+c≥0

{x|x<x1 或 x>x2} {x|x≤x1 或 x≥x2} b {x|x≠- , x∈R} 2a R R R

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类型 解集 Δ>0 Δ=0 Δ<0

ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} ? ?

ax2+bx+c≤0 {x|x1≤x≤x2} b {x|x=- } 2a ?

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3.分式不等式的解法 f(x) f(x) 先将不等式整理为 >0 或 ≥0 的形式,再转化为整式不 g(x) g(x) 等式求解,即 f(x) >0? g(x)

f(x)· g(x)>0 ; f(x) ≥0? g(x)

.

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4.简单的一元高次不等式的解法

一元高次不等式f(x)>0,用序轴标根法(或称区间法、
穿根法)求解,其步骤是: (1)将f(x)的最高次项的系数化为正数; (2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式 之积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次 通过每一点画曲线; (4)根据曲线显现出f(x)的值的符号变化规律,写出不等

式的解集;
(5)奇次根依次穿过,偶次根穿而不过.

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1.解不等式的基础是一元一次不等式(组)、一 元二次不等式(组),而解不等式的关键是同解 变形,变形规律是:无理→有理;分式→整式;

高次→低次;二次→一次.在此过程中,要注意逻辑联结词
“或”、“且”的运用,以及解集的“交”、“并”的运算, 在较复杂情况下,可画出求“交”、“并”集,以免出错.

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2.解高次不等式,应注意因式分解. 3.解分式不等式,当分子、分母中有公因式,约分时, 要注意变形的等价性. 4.解无理不等式时,要注意不等式的定义域及同解变 形时,变形所要求的其他条件. 5.解含有参数的不等式时,要注意分类讨论.

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题型一

分式不等式及高次不等式的解法

思维提示

①移项、通分、转化为整式不等式; ②转化为标准形式后用穿根法.

例 1 解不等式: (1)(x2-4)(x-6)2≤0; x2+2x-2 (2) 2<x; 3+2x-x

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[解] (1)解法一:∵(x-6)2≥0. ∴x2-4≤0,

由x2-4≤0,得-2≤x≤2,
但x=6时,也符合题意, 故原不等式的解集为:{x|-2≤x≤2或x=6}. 解法二:原不等式变形为:(x+2)(x-2)(x-6)2≤0,利 用序轴标根法,画出图如图所示的.

∴原不等式的解集为:{x|-2≤x≤2或x=6}.

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(x-2)(x2+x+1) (2)移项整理,将原不等式化为 >0. (x-3)(x+1) ∵x2+x+1>0 恒成立, x-2 ∴原不等式等价于 >0. (x-3)(x+1) 解之,得原不等式的解集为{x|-1<x<2 或 x>3}.

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[规律总结]

(1)采用列表法和序轴标根法没有什么本质

区别,但用后者更简捷,要注意平方因式,如(x-6)2 的特

点.
(2)此题需移项通分,经因式分解变形,对出现的二次 式注意是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解 过程科学合理,另外,此题也可用序轴标根法求解.解分式 不等式时,注意分母不能为零.

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备选例题 1

解下列不等式:

(1)2x3-x2-15x>0; (2)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0; 5-x (3) 2 <-1. x -2x-3

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解:(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)>0. 5 把方程 x(2x+5)(x-3)=0 的三个根 x1=0,x2=- ,x3 2 =3 顺次标在数轴上,然后从最大根的右上方开始画曲线顺 次经过三个根,其解集如图中的阴影部分所示.

5 ∴原不等式解集为{x|- <x<0 或 x>3}. 2

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(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0
?x+5≠0 ? ?? ?(x+4)(x-2)>0 ? ?x≠-5, ? ?? ?x<-4或x>2, ?

∴原不等式解集为 {x|x<-5 或-5<x<-4 或 x>2}.

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5-x (3)解法一:原不等式变为 2 +1<0, x -2x-3 x2-3x+2 即 2 <0 x -2x-3
?x2-3x+2<0, ? ?? 2 ?x -2x-3>0 ? ?x2-3x+2>0 ? 或? 2 ?x -2x-3<0 ?

?-1<x<1 或 2<x<3. ∴原不等式的解集是{x|-1<x<1 或 2<x<3}.

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5-x x2-3x+2 解法二: 2 <-1? 2 <0 x -2x-3 x -2x-3 ?(x2-3x+2)(x2-2x-3)<0 ?(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0. 如图,由序轴标根法得-1<x<1 或 2<x<3 ∴原不等式的解集为 {x|-1<x<1 或 2<x<3}.

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题型二

指数、对数不等式的解法

利用指数函数、对数函数的单调性 思维提示 转化为整式不等式.
例2

[分析] 解.

将对数不等式转化为一元二次不等式(组)求

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[解] 原不等式等价于 ?x2-x-2>0 ? ?x-1>0 ?x2-x-2<2x-2 ?
?x>2 ? ?? ?0<x<3 ?

?(x-2)(x-1)>0 ? ??x-1>0 ?x2-3x<0 ?

?2<x<3.

故原不等式的解集为{x|2<x<3}.

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备选例题 2

若将本例中的不等式改为ax2-x-2>a2x-2(a

>0且a≠1),又该如何求解?

解:当a>1时,
不等式等价于x2-x-2>2x-2, 解得x>3或x<0, 当0<a<1时,不等式等价于x2-x-2<2x-2, 解得0<x<3.

综上,当a>1时,原不等式的解集为
(-∞,0)∪(3,+∞), 当0<a<1时,原不等式的解集为(0,3).

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题型三 思维提示

含参不等式的解法 注意对参数的讨论

a(x-1) 例 3 解关于 x 的不等式: >1(a≠1). x-2

[分析]

含参数不等式的求解,要视参数为常数,按照

通常求解不等式的过程进行求解,直到会出现几种可能时,
再分类讨论.解含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数 不等式接近.

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[解]

(a-1)x-(a-2) 原不等式等价于 >0?(a-1)(x- x-2

a-2 )(x-2)>0① a-1 a-2 当 a>1 时,式①?(x- )(x-2)>0, a-1 a-2 a-2 1 ∵ -2=- -1<0,∴ <2. a-1 a-1 a-1 a-2 ∴原不等式的解集为(-∞, )∪(2,+∞), a-1

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a-2 当 a<1 时,式①?(x- )(x-2)<0, a-1 a-2 a-2 a 由 2- = 知,当 0<a<1 时, >2, a-1 a-1 a-1 a-2 则原不等式的解集为(2, ). a-1 当 a=0 时,原不等式(x-2)2<0,解集为 ?. a-2 a-2 当 a<0 时, <2,原不等式的解集为( ,2). a-1 a-1

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a-2 综上所述,当 a<0 时,原不等式的解集为( ,2); a-1 当 a=0 时,解集为 ?; a-2 当 0<a<1 时,解集为(2, ); a-1 a-2 当 a>1 时,解集为(-∞, )∪(2,+∞). a-1

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[规律总结]

含参数不等式的求解,一般要按参数的取

值逐级分类,然后再写出其解集,要注意参数的分类要不重 不漏,如本题需要两级分类,第一级按 a>1 或 a<1 分为两 a-2 类,在 a<1 的情况下,又要比较两根 与 2 的大小关系, a-1 分为 a<0,a=0 和 0<a<1 三类.

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备选例题 3 式的解集.

x-1 1 若将原不等式变为 > ,试求该不等 x-2 a

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当 α=1 时?x>2; 1 当 0<a<1 时,(*)?2<x<1+ ; 1-a 1 当 a>1 时,(*)?x>2 或 x<1+ ; 1-a 1 当 a<0 时,(*)?x>2 或 x<1+ . 1-a

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综上所述,当 a=1 时,原不等式的解集是{x|x>2}; 当 0<a<1 时,原不等式的解集是 1 {x|2<x<1+ }; 1-a 当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集是 1 {x|x>2 或 x<1+ }. 1-a

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解法二: ?x-2>0 ?x-2<0 ? ? 原不等式?? 或? 1 1 ?x-1>a(x-2) ?x-1<a(x-2) ? ? ?x>2 ?x<2 ? ? ??a-1 a-2 或?a-1 a-2 ① ? a x> a ? a x< a ? ?

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(1)当 a>0 时,
?x>2 ? ①?? ?(a-1)x>a-2 ? ?x<2 ? 或? ?(a-1)x<a-2 ?

(*)

1 若 a-1>0,则(*)?x>2 或 x<1+ . 1-a 若 a-1=0,则(*)?x>2. 1 若 a-1<0,则(*)?2<x<1+ . 1-a

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(2)当 a<0 时,
?x>2 ? 由①?? ?(a-1)x<a-2 ? ?x<2 ? 或? ?(a-1)x>a-2 ?

1 ?x>2 或 x<1+ . 1-a 综上所述,当 a=1 时,原不等式的解集是{x|x>2}. 1 当 0<a<1 时,原不等式的解集是{x|2<x<1+ }; 1-a 当 a>1 或 a<0 时,原不等式的解集是 1 {x|x>2 或 x<1+ }. 1-a

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题型四

不等式中的恒成立问题 ①灵活运用不等式的求解及其他知识解决综

思维提示

合问题; ②注意换元法及等价转化思想的应用.

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例4 已知不等式2x-1>m(x2-1). (1)若对于所有的实数x不等式恒成立,求实数m的取值

范围;
(2)若对于m∈[-2,2]不等式恒成立,求实数x的取值范 围. [分析] 条件求解. (1)题可直接利用一元二次不等式恒成立的充要

(2)题已知m的范围,可先分离出m,利用m的有界性求x
的范围.

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[解]

(1)原不等式等价于 mx2-2x+(1-m)<0

对 x∈R 恒成立,
?m<0 ? 当且仅当? ?Δ=4-4m(1-m)<0 ?



解得 m∈?.

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(2)解法一:原不等式可化为 m(x2-1)<2x-1. 1 ①当 x -1=0 即 x=± 时,2x-1>0,解得 x> , 1 2
2

∴x=1; ②当 x2-1>0 即 x<-1 或 x>1 时, 2x-1 有 m< 2 对一切 m∈[-2,2]恒成立, x -1 2x-1 1+ 3 即 2< 2 ,解得 1<x< ; 2 x -1

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③当 x2-1<0 即-1<x<1 时, 2x-1 有 m> 2 对一切 m∈[-2,2]恒成立, x -1 2x-1 -1+ 7 即-2> 2 ,解得 <x<1. 2 x -1 -1+ 7 1+ 3 综上所述,知 x 的取值范围为 <x< . 2 2

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解法二:令 f(m)=(x2-1)m+1-2x. 由于 m∈[-2,2]且恒有 f(m)<0, 所以 f(m)的图象表示一条线段,且这条线段全在 x 轴的 下方,
?f(-2)<0 ? 因此只需解不等式组? ?f(2)<0 ? ?-2(x2-1)+1-2x<0 ? 即? 2 ?2(x -1)+1-2x<0 ?



① ②

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-1+ 7 -1- 7 解①得 x> 或 x< , 2 2 1- 3 1+ 3 解②得 <x< . 2 2 -1+ 7 1+ 3 ∴x 的取值范围为 <x< . 2 2

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[规律总结]

解答不等式恒成立问题通常是借助函数思

想或方程思想,利用函数图象,函数最值或判别式的方法来

解决求参数的问题.

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备选例题 4

已知不等式ax2-2x+1>0.

(1)若不等式的解集为R,求a的取值范围;

(2)若不等式的解集为?,求a的取值范围.
解:(1)若a=0,不等式化为-2x+1>0,其解集不是R, 不符合题意;

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(2)若 a=0,不等式化为-2x+1>0,其解集不是 ?,不 符合题意;
?a<0 ? 所以应有? ?Δ≤0 ? ?a<0 ? ,即? ?4-4a≤0 ?



解得 a∈?. 故不存在实数 a,使不等式的解集为 ?.

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1 解关于 x 的不等式 loga(1- )>1. x

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1 ∵1-a<0,∴ <x<0. 1-a 当 0<a<1 时,原不等式等价于 ? 1 ?1-x >0, ? ?1-1<a x ? ?x>1或x<0, ? 1 1 ?? ?1<x< . 1-a ?0<x<1-a ?

综上所述,当 a>1 时,原不等式的解集是 1 {x| <x<0};当 0<a<1 时,原不等式的解集是{x|1 1-a 1 <x< }. 1-a

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[错因分析] 易忽视对a的讨论,导致解题不全.

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