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2013年全国高中数学联合竞赛试题


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 个小题,每小题 8 分,共 64 分。 1.设集合 A={2,0,1,3},集合 B={x|-x∈A,2-x??A},则集合 B 中所有 元素的和为 。

2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 在抛物线 y?=4x 上,满足,F 是抛物 线的焦点,则 。 。 。 。

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3.在△ABC 中, 已知 sinA=10sinBsinC, cosA=10cosBcosC, 则 tanA= 4.已知正三棱锥 P-ABC 底面边长为 1, 高为, 则其内切球半径为 5.设 a,b 为实数, 函数满足: 对任意 x∈[0,1], 有。 则 ab 的最大值为 6.从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率 为 。 7.若实数 x,y 满足 。

8.已知数列{}共有 9 项,其中,且对每个 i∈{1,2,…,8},均有,则这样 的数列的个数为 。

二、解答题:本大题共 3 题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 9.(本题满分 16 分)给定正数数列。满足证明:存在常数 C>0,使得

10.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为分别为椭 圆的左右顶点,分别为椭圆的左右焦点,P 为椭圆上不同于的任意一点。若平面 中两个点 Q、R 满足,试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明。 11.(本题满分 20 分)设函数,求所有的正实数对(a,b) ,使得对任意实 数

2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、 (本题满分 40 分)如图,AB 是圆 O 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E、 F 为线段 AB 上两点,满足 AE=EF=FB,连接 PE、PF 并延长,与圆 O 分别相交 于点 C、D。求证:EF·CD=AC·BD

P A E F O D C
二、 (本题满分 40 分)给定正整数 u、v,数列定义如下:

B

记证明:数列中有无穷多项是完全平方数。

三、 (本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题,n 个学生参加,其中 m,n ≥2 为给定的整数。每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每 个答对该题的学生得 x 分,未答对的学生得零分,每个学生的总分为其 m 道题 的得分总和,将所有学生总分从高到低排列为,求的最大值。

四、 (本题满分 50 分)设 n,k 为大于 1 的整数, 。证明:存在 2k 个不被 n 整除的整数,若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除。


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