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2017年山东单招数学模拟试题及答案


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年山东单招数学模拟试题及答案
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填 空题的相应答题线上.) 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ≤ 0 , x ? Z } ,则集合 A 中所有元素之和为 2.如果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 pa ? ( p ? 1)b ? 0 ,则向量 a 和 b (填“共线”或“不共线”). 3.△ ABC 中,若 sin A ? 2 sin B , AC ? 2 ,则 BC ? ▲ . ▲ ▲ . .

4.设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 , a 为常数.若存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的 取值范围是 ▲ .

5.若复数 z1 ? ?1 ? ai , z 2 ? b ? 3i , a, b ? R ,且 z1 ? z 2 与 z1 ? z 2 均为实数, 则

z1 ? z2





6. 右边的流程图最后输出的 n 的值 是 ▲ .

7.若实数 m 、 n ?{ ? 1 , 1 , 2 , 3 },且 m ? n ,则曲线

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率是 m n
8. 已知下列结论: ① x1 、 x2 都是正数 ? ?





? x1 ? x 2 ? 0 , ? x1 x 2 ? 0

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? x1 ? x 2 ? x3 ? 0 ? ② x1 、 x2 、 x3 都是正数 ? ? x1 x 2 ? x 2 x3 ? x3 x1 ? 0 , ? x1 x 2 x3 ? 0 ?
则由①②猜想:
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0

x1 x2 ? x1 x3 ? x1 x4 ? x2 x3 ? x2 x4 ? x3 x4 ? 0

?

x1 、 x2 、 x3 、 x4 都是正数


x1 x2 x3 x4 ? 0.

9.某同学五次考试的数学成绩分别是 120, 129, 121,125,130,则这五次考试成 绩 的方差是 ▲ .

D

C

10.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 ,以

A 为圆心,1 为半径作四分之一个圆弧 DE ,在圆弧 DE
上任取一点 P ,则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率 是 ▲ .

A

E

B

第 10 题图

11.用一些棱长为 1cm 的小正方体码放成一个几何体,图 1 为其俯视图,图 2 为其主 视图,则这个几何体的体积最大是 ▲ cm3.

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图 1(俯视图)

图 2(主视图) 第 11 题图

12.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据, 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

由其散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程 是 ▲ .

13.已知 xOy 平面内一区域 A ,命题甲:点 (a, b) ?{( x, y) || x | ? | y |? 1} ;命题乙:点

(a, b) ? A .如果甲是乙的充分条件,那么区域 A 的面积的最小值是
14.设 P 是椭圆 则 PA ? PF ?





x2 y2 ? ? 1 上任意一点, A 和 F 分别是椭圆的左顶点和右焦点, 25 16
1 PA ? AF 的最小值为 4
▲ .

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.) 15.(本小题满分 14 分) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? BB1 ? 1 , A1 C1 B1

AB1 ? 3 .
(1)求证:平面 AB1C ? 平面 B1CB ; (2)求三棱锥 A1 ? AB1C 的体积.

C A B

16.(本小题满分 14 分)

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某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运 转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由 于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元); (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的 污水处理设备? 17.(本小题满分 14 分)

y
如图,已知圆心坐标为 ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及 直线 y ? 3x 分别相切于 A 、 B 两点,另一圆 N 与 圆 M 外切、且与 x 轴及直线 y ? 3x 分别相切于 C 、
D N B M O A C

D 两点.
(1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线 l 被 圆 N 截得的弦的长度. 18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , x ? R . (1)求函数 f ( x) 在 [0,2? ] 内的单调递增区间;

x

(2)若函数 f ( x) 在 x ? x0 处取到最大值,求 f ( x0 ) ? f (2x0 ) ? f (3x0 ) 的值; (3)若 g ( x) ? e x ( x ? R ),求证:方程 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,??? 内没有实数解. (参考数据: ln 2 ? 0.69 , ? ? 3.14 ) 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ( x ? R )的图象为曲线 C . 3

(1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围;

考单招上高职单招网---横坐标的取值范围;

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(2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的

(3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符 合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 18 分) 已知数列 {an } 的通项公式是 an ? 2 n?1 ,数列 {bn } 是等差数列,令集合

A ? {a1 , a2 ,?, an ,? } , B ? {b1 , b2 ,?, bn ,?} , n ? N * .将集合 A ? B 中的元素按从
小到大的顺序排列构成的数列记为 {cn } . (1)若 cn ? n , n ? N * ,求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 A ? B ? ? ,数列 {cn } 的前 5 项成等比数列,且 c1 ? 1 , c9 ? 8 ,求满足

c n ?1 5 ? cn 4
的正整数 n 的个数. 三、附加题部分(本大题共 6 小题,其中第 21 和第 22 题为必做题,第 23~26 题为 选做题,请考生在第 23~26 题中任选 2 个小题作答,如果多做,则按所选做的前两 题记分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 21.(本小题为必做题 ,满分 12 分) ... 已知直线 y ? 2 x ? k 被抛物线 x 2 ? 4 y 截得的弦长 AB 为 20, O 为坐标原点. (1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时,△ ABC 面积最大?

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22.(本小题为必做题 ,满分 12 分) ... 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两 部分,笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次 考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学 能通过笔试的概率分别是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 ? ,求随机变量 ? 的期望

E (? ) .

23.(本小题为选做题 ,满分 8 分) ...

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如图,在△ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BD 的中点, AE 的延长线交 BC 于

F.
(1)求

BF 的值; FC

(2)若△ BEF 的面积为 S1 ,四边形 CDEF 的面积为 S 2 ,求 S1 : S 2 的值.
A

D E

B

F

C

24.(本小题为选做题 ,满分 8 分) ... 已知直线 l 的参数方程: ?

x ? t ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? y ? 1 ? 2t

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4
(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

25.(本小题为选做题 ,满分 8 分) ...

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?1 0 ? ? ,N = ?0 2 ?

试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式,其中 M = ?

?1 ? ? 2 0? . ? 0 1? ? ?

26.(本小题为选做题 ,满分 8 分) ... 用数学归纳法证明不等式:

1 1 1 ? ? ? n n ?1 n ? 2

?

1 ? 1(n ? N ?且n ? 1) . 2 n

参考答案
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.) 1. ? 2 6.5 10. 2.共线 7. 3.4 4. (??, ?1) ? ( , ??)

1 2

5. ?

1 3 ? i 2 2

1 4

8. x1 x2 x3 ? x1 x2 x4 ? x1 x3 x4 ? x2 x3 x4 ? 0

9.16.4 14. ? 9

1 3

11.7

? ? ?0.7 x ? 5.25 12. y

13.2

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.) 15. (本小题满分 14 分) 解:(1)直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,

考单招上高职单招网-----3 分

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则 BB1⊥AB,BB1⊥BC,----------------------------------------------------------

又由于 AC=BC=BB1=1,AB1= 3 ,则 AB= 2 , 则由 AC2+BC2=AB2 可知,AC⊥BC,--------------------------------------------6 分 又由上 BB1⊥底面 ABC 可知 BB1⊥AC,则 AC⊥平面 B1CB, 所以有平面 AB1C⊥平面 B1CB;--------------------------------------------------9 分 (2)三棱锥 A1—AB1C 的体积 V A1 ? AB1C ? VB1 ? A1 AC ? 分 (注:还有其它转换方法) 16.(本小题满分 14 分) 解:(1) y ?

1 1 1 ? ? 1 ? .----------14 3 2 6

100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) x 100 ? 1.5 ( x ? 0 );--------------------------------------------x

即y ? x? ---7 分

(不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ? N * 也行) (2)由均值不等式得:

y ? x?
11 分 当且仅当 x ? 分

100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 (万元)----------------------x x

100 ,即 x ? 10 时取到等号.----------------------------------------13 x

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.-----------------------------------------14 分

考单招上高职单招网---17.(本小题满分 14 分)

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解:(1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙M 的 半 径,则 M 在∠BOA 的平分线上, 同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 OMN 为∠BOA 的平分线, ∵M 的坐标为 ( 3,1) ,∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1, 则⊙M 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,-----------------------------------4分 设⊙N 的半径为 r ,其与 x 轴的的切点为 C,连接 MA、MC, 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM:ON=MA:NC, 即

r 1 ? ? r ? 3, 3? r r

则 OC= 3 3 ,则⊙N 的方程为 ( x ? 3 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 ;----------------8 分 (2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点直线 MN 的平行线被⊙ N 截得的 弦 的长度,此弦的方程是 y ?

3 ( x ? 3 ) ,即: x ? 3 y ? 3 ? 0 , 3
3 ,--------------------- -----------------------2

圆心 N 到该直线的距离 d= -11 分

则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 .---------------------------------------------------14 分 另解:求得 B(

3 3 , ),再得过 B 与 MN 平行的直线方程 2 2

x ? 3y ? 3 ? 0 ,

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3 ,则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 . 2

圆心 N 到该直线的距离 d ? =

(也可以直接求 A 点或 B 点到直线 MN 的距离,进而求得弦长) 18.(本小题满分 14 分) 解:(1) f ( x) ? sin x ? cos x ? 令x?

2 sin( x ?

?
4

),

?
4

? [2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

]( k ? Z )

则 x ? [ 2k? ?

?
4

,2k? ?

3? ] ,------------------------------------------------2 分 4 3? 7? ] 和 [ ,2? ] ; 4 4
--------------

由于 x ? [0,2? ] ,则 f ( x) 在 [0,2? ] 内的单调递增区间为 [0,

-4 分 (注:将单调递增区间写成 [0, (2)依题意, x0 ? 2k? ? --6 分 由周期性, f ( x0 ) ? f (2x0 ) ? f (3x0 )

3? 7? ] ? [ ,2? ] 的形式扣 1 分) 4 4

3? ( k ? Z ),---------------------------------------4

? (sin

3? 3? 3? 3? 9? 9? ? cos ) ? (sin ? cos ) ? (sin ? cos ) ? 2 ?1; 4 4 2 2 4 4
----------------8分

(3)函数 g ( x) ? e x ( x ? R )为单调增函数, 且当 x ? [0,

?
4

] 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? e x ? 0 ,此时有 f ( x) ? g ( x) ;------------10 分

考单招上高职单招网---当x??

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?

1 ? ?? ? ,?? ? 时,由于 ln e 4 ? ? 0.785,而 ln 2 ? ln 2 ? 0.345 , 2 4 ?4 ?
?
4

则有 ln e 又

? ln 2 ,即 g ( ) ? e 4 ? 2 , 4
------12 分

?

?

?? ? g ( x) 为增函数,? 当 x ? ? ,?? ? 时, g ( x) ? 2 ?4 ?

而函数 f ( x) 的最大值为 2 ,即 f ( x) ? 2 , 则当 x ? ?

?? ? ,?? ? 时,恒有 f ( x) ? g ( x) , ?4 ?

综上,在 ?0,??? 恒有 f ( x) ? g ( x) ,即方程 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,??? 内没有实数 解.-------------------------------------------------------------------------------------------14 分 19. (本小题满分 16 分) 解:(1) f ?( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则 f ?( x) ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? ?1, 即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 ?? 1,??? ;------------4 分 (2)由(1)可知, ? 1 分 解得 ? 1 ? k ? 0 或 k ? 1 ,由 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 或 x 2 ? 4 x ? 3 ? 1 得: x ? ? ?,2 ? 2 ? (1,3) ? 2 ? 2,?? ;-------------------------------9 分 (3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x2 , y2 ) ,

? ? k ? ?1 ---------------------------------------------------------6 ? ? ?1 ? ? k

?

?

?

?

x1 ? x 2 ,
则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 ? 3 x1 ) ? ( x1 ? 4 x1 ? 3)( x ? x1 ) , 化简得: y ? ( x1 ? 4 x1 ? 3) x ? (?
2

1 3

3

2

2

2 3 2 x1 ? 2 x1 ) ,--------------------------11 分 3

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2

而过 B ( x2 , y2 ) 的切线方程是 y ? ( x 2 ? 4 x 2 ? 3) x ? (? 由于两切线是同一直线,

2 3 2 x2 ? 2 x2 ) , 3

则有: x1 ? 4x1 ? 3 ? x2 ? 4x2 ? 3 ,得 x1 ? x2 ? 4 ,----------------------13 分 又由 ? 即?

2

2

2 3 2 3 2 2 x1 ? 2 x1 ? ? x 2 ? 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 2( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0 3

1 2 2 ? ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,即 x1 ( x1 ? x2 ) ? x2 2 ? 12 ? 0 3
即 (4 ? x2 ) ? 4 ? x2 ? 12 ? 0 , x2 ? 4x2 ? 4 ? 0 得 x2 ? 2 ,但当 x2 ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 4 得 x1 ? 2 ,这与 x1 ? x 2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。----------------------------------16 分 20.(本小题满分 18 分) 解:(1)若 cn ? n ,因为 5,6,7 ? A ,则 5,6,7 ? B , 由此可见,等差数列 {bn } 的公差为 1,而 3 是数列 {bn } 中的项, 所以 3 只可能是数列 {bn } 中的第 1,2,3 项, 若 b1 ? 3 ,则 bn ? n ? 2 , 若 b2 ? 3 ,则 bn ? n ? 1 , 若 b3 ? 3 ,则 bn ? n ;----------------------------------------------------------4分 (注:写出一个或两个通项公式得 2 分,全部写出得 4 分) (2)首先对元素 2 进行分类讨论: ①若 2 是数列 {cn } 的第 2 项,由 {cn } 的前 5 项成等比数列,得
2 2

c4 ? 23 ? 8 ? c9 ,这显然不可能;

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2

②若 2 是数列 {cn } 的第 3 项,由 {cn } 的前 5 项成等比数列,得 b1 ? 2 , 因为数列 {cn } 是将集合 A ? B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的, 所以 bn ? 0 ,则 b1 ? 2 ,因此数列 {cn } 的前 5 项分别为 1, 2 ,2, 2 2 ,4, 这样 bn ? 2n , 则数列 {cn } 的前 9 项分别为 1, 2 ,2, 2 2 ,4, 3 2 , 4 2 , 5 2 ,8, 上述数列符合要求;---------------------------------------------------------10 分 ③若 2 是数列 {cn } 的第 k 项( k ? 4 ),则 b2 ? b1 ? 2 ? 1 , 即数列 {bn } 的公差 d ? 1 , 所以 b6 ? b1 ? 5d ? 2 ? 5 ? 7 ,1,2,4< c9 ,所以 1,2,4 在数列

{cn } 的
前 8 项中,由于 A ? B ? ? ,这样, b1 , b2 ,…, b6 以及 1,2,4 共 9 项, 它们均小于 8, 即数列 {cn } 的前 9 项均小于 8,这与 c9 ? 8 矛盾。 综上所述, bn ? 2n ,--------------------------------------------------------12 分 其次,当 n ? 4 时,

cn?1 5 ? 2? , cn 4

c6 3 2 5 c 7 4 5 ? ? , ? ? ,-------------------------------------------14 c5 4 4 c6 3 4
分 当 n ? 7 时, cn ? 4 2 ,因为 {bn } 是公差为 2 的等差数列,

考单招上高职单招网---分 所以

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所以 cn?1 ? cn ? 2 ,----------------------------------------------------------16

cn?1 cn ? cn?1 ? cn c ?c 2 5 ? ? 1 ? n?1 n ? 1 ? ? , cn cn cn 4 2 4

此时的 n 不符合要求。所以符合要求的 n 一共有 5 个。------------------18 分

三、附加题部分: 21.(必做题)(本小题满分 12 分) 解:(1)将 y ? 2 x ? k 代入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? 8x ? 4k ? 0 ,----------------------2 分 由△ ? 64 ? 16 k ? 0 可知 k ? ?4 , 另一方面,弦长 AB ? 5 ? 64 ? 16k ? 20 ,解得 k ? 1 ;-------------6 分 (2)当 k ? 1 时,直线为 y ? 2 x ? 1 ,要使得内接△ABC 面积最大,

? ? 则只须使得 y C

1 ? 2 xC ? 2 ,-----------------------------------------------10 分 4

即 xC ? 4 ,即 C 位于(4,4)点处.----------------------------------------12 分

22.(必做题)(本小题满分 12 分) 解:(1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件 A1 、 A2 、 A3 ;

E 表示事件“恰有一人通过笔试”
则 P(E) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3)

? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4

? 0.38 --------------------------------------------------------------------6分

考单招上高职单招网---p ? 0.3 ,

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(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为

--------------------------------------------------------------------9 分 所以 ? ~ B(3, 0.3) ,故 E(? ) ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .-------------12 分 解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件

A,B,C ,
则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 所以 P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3)2 ? 0.3 ? 0.441,

P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .
于是, E (? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 .

23.(选做题)(本小题满分 8 分) 证明:(1)过 D 点作 DG∥BC,并交 AF 于 G 点, -------------------------2 分 ∵E 是 BD 的中点,∴BE=DE, 又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG, ∴△BEF≌△DEG,则 BF=DG, ∴BF:FC=DG:FC, 又∵D 是 AC 的中点,则 DG:FC=1:2, 则 BF:FC=1:2;----------------------------------------------4 分 (2)若△BEF 以 BF 为底,△BDC 以 BC 为底, 则由(1)知 BF:BC=1:3, 又由 BE:BD=1:2 可知 h1 : h2 =1:2,其中 h1 、 h2 分别为△BEF 和△BDC 的 高,

考单招上高职单招网---则

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S ?BEF 1 1 1 ? ? ? ,则 S1 : S 2 =1:5. -----------------------8 分 S ?BDC 3 2 6
A

G E

D

B

F

C

24.(选做题)(本小题满分 8 分) 解:(1)消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ;-----------------------2 分

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) 即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,
4
两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 消去参数 ? ,得⊙ C 的直角坐标方程为:

( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2 -------------------------------------------------------------4 分 (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

| 2 ?1?1| 2 ?1
2 2

?

2 5 ? 2, 5

所以直线 l 和⊙ C 相交.---------------------------------------8 分

25.(选做题)(本小题满分 8 分)

考单招上高职单招网---解:MN = ? 4分

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?1 0? ? 1 0? ? 1 0? ? ? 2 ? = ? 2 ? ,--------------------------------------------------? ? ? ?0 2 ? ? ? 0 1? ? 0 2?
?1 ? x ?

即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,-------------------------------------6 分 ? y? ? y ??? ? 2 y ? ? 则

? x?

? x ?? ?

1 y ?? ? sin 2 x ?? , 2

即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x .----------8 分

26.(选做题)(本小题满分 8 分) 证明:(1)当 n ? 2 时,左边= 分 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时成立,即 那么当 n ? k ? 1 时,左边 ?

1 1 1 13 ? ? ? ? 1,? n ? 2 时成立 ----------2 2 3 4 12

1 1 1 ? ? ? k k ?1 k ? 2

?

1 ?1 k2

1 ? k ?1 ?

?

1 1 ?( 2 ? 2 k k ?1

?

1 ) (k ? 1)2

?

1 1 ? ? k k ?1

?

1 1 ?( 2 ? 2 k k ?1

1 1 )? 2 (k ? 1) k

? 1 ? (2k ? 1) ?

1 1 k 2 ? k ?1 ? ? 1 ? ?1 k 2 ?1 k k (k 2 ? 1)
--------------------------------------------------7 分 ----------------------------------

? n ? k ? 1 时也成立

根据(1)(2)可得不等式对所有的 n ? 1 都成立 8分

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根据历年单招考试大纲出题


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