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一道国外竞赛题的另证


2 2  

中 等 数 学 
 ̄ >

用上就 比较 困难. 下面给 出本 题一些 “ 常规方法 ”  
的证 明.  





/ 3 ( a b + b c + c a ) ( 。 6 + 6 C + c a ) 。 ≥ 9 .  

证法 1 将 不等 式左边 因式 分解 等价 转化 ,  


原命题等价于证 明式①成立.  
由已知易证 口   + b   + c   ≥ 3 .   对于 0   + b   + c   13的证 明 , > 除了利用幂平均 

道 国外 竞赛 题 的另 证 
丁  春 

不等式外可用 以下方法.   方法 l : 注意到 , 口   + b   +1  ̄3 > a b ,  
b  +c  +1≥ 3 6 c . c  +口  +1  ̄3 > c a .  

( 南 京师范大学 2 0 1 2届数学类 ( 基地班 ) , 2 1 0 0 4 6 )  
中图分类号 : O1 5 7 . 3 文献标识码 : A  
文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 1- 0 0 2 2- O 1  

以 上 三式 相 加 得 

题目   如图 1 , 一 个单 位 L形  由三个单位方格组成. 证明: 对任意 

2 ( Ⅱ   + b 3 + c   )+ 3 13 > ( 口 6 + 6 c + c 口 ) 19 > .   所 以, 0 。 + b   + c   13 > .   方法 2 : 由   ( 口+ b + c ) 2 13 > ( a b + 6 c + c 口 ) 13 > 2  
j  8+b+c t3 > .  

的正整数 k , 一个相似 的 k 倍 大的 L  
形可 以分割成若 干个单位 L形. …  ( 2 0 1 0 , 爱沙尼亚数学奥林 匹克 
图 l  

( 决赛) )   文[ 1 ] 给 出 的证 明是 将 问题化 归 为 阶梯形 ,  
并对 k 分三类情 形讨论 . 本文 给出一种简单 、 直接 
的证 法 .  
, 

又 0 。 +b   ≥Ⅱ   b+a b   , b  +c 。 ≥6   c+ 6 c   ,  
c   +0。≥ c   Ⅱ+c Ⅱ  



2 ( 口   + b   + c   )   ≥口   ( b + c )+ b 2 ( c + 口 ) + c 2 ( 口+ b )   ≥Ⅱ   ( 3 — 0 ) + b   ( 3一 b )+ c   ( 3 一 c ) .   故口  +b  +c   ≥0 。 +b  +c   13 > .  

证明

为了叙述方便 , 用 m[ L ] 表示与单位 L  

形相似 的 m倍大 的 L 形.   k = 1 , 2 , 3的情形如 图 2所示.  

证法 2 直接利用基本不等式. 由  
Ⅱ  +b  +1+ 1+ 1  ̄5 > a b.  

b  +C  +1+ 1+ l  ̄5 > b c .  
c  +0  + 1+l+1>  ̄5 c a.  

得 2 ( 0   + b   + c   ) + 9 >5 i ( a b + 6 c + c n ) >1 i 5 .  
所以 , 口  +b  +c   13 > .  
又 口   b   +0 , 2 b 。 +1+1+1  ̄5 > a b ,  
b 3 c  +b 2 c  +1+ 1+l  ̄5 > b c.  
c   n2 + c 20 1
,  

k = l  

k = 2  

k = 3  

图2  

假设 当 J c ≤n— l ( n ≥ 4 ) 时, 命题成立.   考虑 k =/ 7 , 的情形.   ( 1 ) 若 n为偶数 , 由归纳假设知 n [ L ] 可被若 

+1+ 1+ 1 >  ̄5 c a.  

得 0   ( b 2 + c 2 ) + b   ( c   + 口 2 ) + c   ( a 2 + b   ) + 9  
≥5 ( a b+6 c +c a ) ≥1 5 .  

干 个詈[ L ] 覆盖, 而每个詈[ L ] 可被若干个1 [ L ]  
二  二 

则0   ( b 2 + c 2 ) + b   ( C   + 0 2 ) + C   ( 口   + b 2 ) 1 > 6 .  
故口   + b   + c   + 口   ( b 2 + c 2 ) + b   ( c   + 0 2 ) +  
c   ( 0   +b   ) 19 > .  

覆盖 , 故  L ] 可被若干个 1 [ L ] 覆盖.  

( 2 ) 若 凡为奇数 , 如 图 3所示.  

证法 3 灵活利用柯西不等式.  
( 0   + b   + c 2 ) ( o   + b 。 + c   )  

≥ ÷( o + b + c ) 2 ( 口 3 + b 。 + c   )  
≥ ÷( 0 + b + c ) ( 0 2 + b   + c   )  
图3  
=  



( 0   + b   + C 2 )  

( 下转第 4 8页)  

4 8  

中 等 数 学 
。:   >0, n :l g   3 .  

又 R为不可数集 , 故超越数一定存在.  
三、 先 证 明一 个 引 理 .  

引理

对任 意 的无理数 n , 实数 b 、 c ( C > 0 ) ,  

由引理 , 知存在 m、  ∈ Z+ , 使得 
一  

均存在正整数 m、 2 1 使得 I   2 1 a— m+ b   I < C .   证明: 将数轴模 a 分段.  
记1 7 , 兰d   ( o r o d口 ) ( 凡∈ Z+ , 0 ≤d   < a ) .   则对于 n l ≠凡 2 ( / 7 , 1 、 2 1 2 ∈ Z+ ) , 有d   , ≠d   否  贝 0 , n l —n 2 E  , 一 d   -0 ( o r o d口 ) .   于是 , k a= 2 1 2 一n ( k∈ Z+ ) .  

<n l g   3一  r L  !  

一, 扎  

、  

g i 丝±   2 二   g 丝 
2  

‘  

故l g   + m< n l g   3 < l g (   +1 ) + m .   又l g  单调递增 , 于是 ,  
1 O   M< 3  <1 0  ( M +1 ) ,  

上式左边 为若干无理数 , 右边为整数 , 矛盾.  
此时 , 取叮 >   a( g∈ Z ) .  


此时 , 3  的十进制前 k 位为 O ; 1 0   …口   .  

四、 设1 1 个兴趣班 的学生组成 的集合 为 A   ,  
2, … , Al 1 .  

将模 a区间均分为 q 份, 则每一份 长度为 
旦 <2 c
. 

由题 意 , 知l A 1   I =I A 2   l = … =I A   1   I =   .  
设 T=A 】 uA 2   u… uA  

g  

由抽屉原理 , 知必存在 d   . 与d   (   > n   ) 处 于 

由题设 , 知任意九个集合 的并为  , 任意八个 
集合的并是  的真子集.  

同 一 区 间 ( \   长 为   口 1 /   . 记k : n   ‘   一   。  
贝 0   k 兰/ / , l — n 2 三d   d   ( m o d   a ) .  


构造一个表格 , 若学生 a   ∈A   , 则在第 i 行第 




/ 歹 怕勺 格子 中填 1 , 否则填 0 .  

因为 I   d   d   1 < 2 c , 所以, 必存在 s ∈ z+ , 使 



由条件 , 知任取其 中八个集合 的并 不是  , 即 
任取八列必有 一行 与其 的交叉 的格 子 均 为 0 , 称  这种至少含八个 “ 0 ” 的行为 “ 零行” .   再 由条件任取 九个 集合 的并 是  , 则 任 意两 
个零行不是 同一行.  

s k 三s   ( m o d   n ) , b — c 三s 1 ( m o d   0 ) ,   b + c is 2 ( m o d   0 ) ,  

其中, 0 ≤s l 、 s   、 s 2 < a .  
于是 , s l < s   <s 2 .   此时 , 取 m =s k , n:  
b—c<m 一0 n<b +C .  

于是 , 构成每 8 列到一行 的单射.  
, 有 

故c  ≤ l  1 .  
另一方 面 , 每行填 3 个0 , 任 两行填 的 0的列  不全相同 , 共c  种填法. 而c   。 =c   。 , 故恰每行填 


故I   n O ; 一 m+ b   I < C .  
回到 原题 .   取 b :一   ,  

种方法. 此时 , 恰满足题 目.  
综上 , 学生总人数最小值为 c  = 1 6 5人.  
( 马佑 军  宋晓宇 重庆 巴蜀中学, 4 0 0 0 1 3 )  

( 上接第 2 2页)  

6 均为偶数 , 故 图 3中的 4个 矩 形均 可被 若干 个 

先 紧密地放置一个 3 [ L ] 和一个 ( k 一 3 ) [ L ] .  

1 [ L ] 覆盖.  
因此 , 当n 为奇数 时, 结论亦成立.   综上 , 对 任意正整数 k , 一个相似 的  倍 大 的 

由归纳假设 , 知其均可被若干个 1 [ L ] 覆盖.  
剩余部分可看成是 由两个 3 ×( n 一 3 ) 的矩 形  和两个 3×( 2 n 一 6 ) 的矩形组成.  

L 形可分割成若干个单位 L形.  
参考 文献 :  

由3 × 2 的 矩 形 可 被 若干 个1 [ L ]L _ L  
覆 盖( 如图 4 ) , 知任 意 3 × 2   m 的矩形  ~ 可被若干个 1 [ L ] 覆 盖. 而 n一 3 、 2 凡一     网4  

[ 1 ] 韩宇华

译. 2 0 1 0爱沙 尼 亚 数 学 奥 林 匹 克 ( 决赛)  

『 J ] . 中等数学 , 2 0 1 1 ( 增刊二 ) .  


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