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宁波市八校联考2013高二数学(理科)参考答案


选择题部分 (共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0}, B ? {x | y ? l o g 2 ( x ? 1)} ,则 A ? B ? A. {x |1 ? x ? 2} B. {x |1 ? x ? 2} C

. {x |1 ? x ? 2} ( )

D. {x |1 ? x ? 2} ( )

2.已知 a, b ? R ,若 a ? b ,则下列不等式成立的是 A. lg a ? lg b 3.已知 a, b ? R ,则“ B. 0.5a ? 0.5b C. a 2 ? b 2
1 1

D. 3 a ? 3 b ( )

a 2 ? b2 ? ?2 ”是“ a ? 0, 且 b ? 0 ”的 ab

A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 m、l 是空间中两条不同直线, ?、? 是两个不同平面,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题: ①若 ? / / ? ,则 m ? l ; ②若 ? ? ? ,则 m / / l ; ③若 m ? l ,则 ? / / ? ; ④若 m / / l ,则 ? ? ? 其中正确命题的个数是 1 B. 2 5.将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? 缩短到原来的 A. ? ( C.3 D.4 )A.

?
4

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图象上每一点的横坐标


3 4

1 ? 倍(纵坐标不变),所得图象关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小值为( 2 4 1 3 1 B. ? C. ? D. ? 2 8 8
10 ln x ? 1 x ?1
的图象可能是 (

6.下列四个图中,函数 y ?



7.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,过 F2 作双曲线 C 的一条渐 a 2 b2

近线的垂线,垂足为 H ,若 F2 H 与双曲线 C 的交点 M 恰为 F2 H 的中点,则双曲线 C 的离心 率为 A. 2 B. ( )

3

C.2

D.3

8. 如图所示 , O 为 ?ABC 的外接圆圆心 , AB ? 10, AC ? 4 , ?BAC 为钝 ???? ? ???? 角,M 是边 BC 的中点,则 AM ? AO = ( ) A.21 B.29 C.25 D.40
2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 , ? ? ? ?

9.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? ?

g ? x? ?

2x ? 5 ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为 ( x?2 A. ?8 B. ?7 C. ?6 D. 0

)

10.对数列 {an } ,如果 ?k ? N *及?1 , ?2 ,? , ?k ? R, 使an ? k ? ?1an ? k ?1 ? ?2 an ? k ? 2 ? ? ? ?k an , 成 立, 其中n ? N ,则称 {an } 为 k 阶递归数列.给出下列三个结论:
*

①若 {an } 是等比数列,则 {an } 为 1 阶递归数列; ②若 {an } 是等差数列,则 {an } 为 2 阶递归数列; ③若数列 {an } 的通项公式为 an=n2,则 {an } 为 3 阶递归数列. 其中正确结论的个数是 A.0 B.1 ( C.2 D.3 )

非选择题部分 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a4 ? a6 ? 12 , 则 S7 的值是 .
1 1
正视图

1

2

侧视图

2

12.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 .
2 2

(第 12 题图)
俯视图

13.过点 P(4, 2) 作圆 x ? y ? 4 的两条切线,切点分别为 A, B , O 为坐标原点,则 ?OAB 的外接圆 方程是 .

14.设 a ? cos 4200 ,函数 f ( x) ? ?

?a x , x ? 0, ?log a x, x ? 0,

,则 f ( ) ? f (log 2 ) 的值等于

1 4

1 6



? x ? y ?1 ? 15.已知不等式组 ? x ? y ? ?1 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? kx ? 3k 与平面区域 D 有公 ? y?0 ?
共点,则 k 的取值范围为 .
1 1 16.如果关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 和 g ( x) ? 0 的解集分别为 (a, b) 和 ( , ) ,那么称这两个不 b a

等式为对偶不等式.如果不等式 x 2 ? 4 3x ? cos 2? ? 2 ? 0 与不等式 2 x 2 ? 4 x ? sin 2? ? 1 ? 0

? 为对偶不等式,且 ? ? ( , ? ) ,则 cos ? =_______________. 2
? x2 ? x ? a ? a2 ? 0 17.已知不等式组 ? 的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围是 x ? 2a ? 1 ?



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? (I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)在 ?ABC 中,若角 A ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? , x ? R . 6? ? 3?

?
4

, 锐角C满足f (

C ? 1 BC 的值. ? ) ? ,求 2 6 2 AB

19.(本题满分 14 分)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC , ?ACD 与 ?ACB 均是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2 ,直线 BE 和平面 ABC 所成的角为 60? ,且点 E 在平面

ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上.
(I)求证: DE // 平面 ABC ; (II)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

20.(本题满分14分)数列 ?an ? 是公比为

1 的等比数列,且 1 ? a2 是 a1 与 1 ? a3 的等比中项,前n项和 2

为 Sn ;数列 ?bn ? 是等差数列, b1 =8,其前n项和 Tn 满足 Tn ? n? ? bn ?1 ( ? 为常数,且 ? ≠1). (I)求数列 ?an ? 的通项公式及 ? 的值; (II)比较
1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 与 Sn 的大小. 2 T1 T2 T3 Tn

21.(本题满分15分)函数 f ( x) ? log a ( x ? 3a)(a ? 0, 且a ? 1) ,当 P( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 图象上的点 时, Q( x ? a, ? y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点.? (I)求函数 y ? g ( x) 的解析式;? (II)当 x ? [a ? 3, a ? 4] 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ? 1 ,试确定 a 的取值范围.

22.(本题满分 15 分)如图,F1、F2 是离心率为

x2 y 2 2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右 a b 2

焦点,直线 l :x=-1 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 : 3.设 A、B 是椭圆 C 上的两个动 点,线段 AB 的中垂线与椭圆 C 交于 P、Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (I)求椭圆 C 的方程; ???? ? ???? ? (II)求 F2 P ? F2Q 的取值范围.
y P A F1 M O Q x=-1 (第 22 题图) F2 x B

命题:宁波中学 贾 俊 审题:慈溪中学 孙波英

宁波市 第二学期 八校联考高二数学(理科)参考答案

2013 学年

18. 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? , x ? R . 6? ? 3?

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)在 ?ABC 中,若 A ?

?
4

, 锐角C满足f (

C ? 1 BC 的值. ? ) ? ,求 2 6 2 AB

π 2 BC sin A 4 ? 2 ? 2. ? ? 1 AB sin C sin π 6 2 sin

?????14 分

(Ⅱ)解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG , ∵ EF ⊥平面 ABC ,∴ EF ? BC ,又 EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平面 EFG ,∴ EG ? BC , ∴ ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角 …………10 分

Rt?EFG 中, FG ? FB ? sin 30? ?
EF ? 3 , EG ? 13 .
2

1 , 2

∴ cos ?EGF ? FG ? 13 .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .…………14 分 EG 13 13 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz , 可知平面 ABC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z )

?n2 ? BC ? 0 则, ? ? ?n2 ? BE ? 0 ?
可求得 n2 ? (?3, 3 ,1) . 所以 cos ? n1 , n2 ?? ……………10 分

n1 ? n2 13 ? , | n1 | ? | n2 | 13

所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为

13 . 13

…………14 分

20.数列{an}是公比为

等差数 列,b1=8,其前n项和Tn满足Tn=n ? · bn+1( ? 为常数,且 ? ≠1). (I)求数列{an}的通项公式及 ? 的值; (Ⅱ)比较

1 的等比数列, 且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为Sn;数列{bn}是 2

1 1 1 1 1 + + +…+ 与 Sn的大小. T1 T2 T3 Tn 2

21.函数f(x)=loga(x-3a)(a>0,且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时, Q(x-a,-y)是函数y=g(x)图象上的点.? (Ⅰ)写出函数y=g(x)的解析式.? (Ⅱ)当 x∈ [a+3,a+4]时,恒有 f(x)-g(x)≤1,试确定 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上点,Q(x,y),则 ?

? x ? x0 ? a , ? y ? ? y0

∴?

? x0 ? x ? a ? y0 ? ? y

∴-y=loga(x+a-3a),∴y=loga

1 (x>2a) x ? 2a

----------- 5分

5a 2 a 2 (2)令 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? log a [( x ? 2a )( x ? 3a )] ? log a [( x ? ) ? ] 2 4
由?
? x ? 2a ? 0, 3 得 x ? 3a ,由题意知 a ? 3 ? 3a ,故 a ? , 2 ? x ? 3a ? 0,

从而 (a ? 3) ?

5a 3 ? (a ? 2) ? 0 , 2 2

故函数 ? ( x) ? ( x ?

5a 2 a 2 ) ? 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增 2 4

------------------8 分

等价于不等式 log a (2a 2 ? 12a ? 16) ? 1 成立, 从而 2a 2 ? 12a ? 16 ? a ,即 2a 2 ? 13a ? 16 ? 0 ,解得 易知
13 ? 41 3 ? ,所以不符合. 4 2 13 ? 41 13 ? 41 ?a? . 4 4

-----------------------14 分 ----------------------------15 分

综上可知: a 的取值范围为 (0,1) .

22. (本题满分 15 分) 如图,F1,F2 是离心率为

2 的椭圆 2

y

x2 y 2 B P C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线 l :x=-1 将线段 a b M A F1F2 分成两段, 其长度之比为 1 : 3. 设 A, B 是 C 上的两个动点, O 线段 AB 的中垂线与椭圆 C 交于 P,Q 两点,线段 AB 的中点 M F1 在直线 l 上. Q (I)求椭圆 C 的方程; x = - 1 ???? ? ???? ? (II)求 F2 P ? F2Q 的取值范围.
(Ⅰ) 设 F2(c,0),则

F2

x

(第 22 题图)

c ?1 1 = , c ?1 3
所以 c=2. 因为离心率 e=
2 2
A F1

y B M O F2 x



所以 a= 2 2 .
x=-1 (第 22 题图)

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

???? 6 分

(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-1,此时 P( ? 2 2 ,0)、Q( 2 2 ,0)

???? ? ???? ? F2 P ? F2Q ? ?4 .
当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(-1,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2, y2).

? x12 y12 ? ? 1, ? ? 8 4 由 ? 2 得 2 ? x2 ? y2 ? 1, ? 4 ? 8
则 -1+2mk=0,

(x1+x2)+2(y1+y2) ?

y1 ? y2 =0, x1 ? x2

故 k=

1 . 2m

???? 8 分

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?2m ,PQ 的直线方程为

y ? m ? ?2m( x ? 1) . 即

y ? ?2mx ? m .

? y ? ?2mx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y,整理得 y2 ? ? 1 ? 4 ?8

(8m 2 ? 1) x 2 ? 8m 2 x ? 2m 2 ? 8 ? 0 .
所以

x1 ? x2 ? ?

8m 2 2m 2 ? 8 , .???? 10 分 x x ? 1 2 8m 2 ? 1 8m 2 ? 1


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