当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年22.2 降次——解一元二次方程


解一元二次方程(配方法)
教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程. 教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题. 通过复习可直接化成 x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,? 引 入不能直接化成上面两种形式的解题步骤. 重难点关键 1.重点:讲清“直接降次有困难,如 x2+6x-16=0 的一元二次方程的解题步骤. 2.?难点与关键:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与 技巧. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们解下列方程 (1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9 老师点评:上面的方程都能化成 x2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得 x=± . p 或 mx+n=± p (p≥0)

如:4x2+16x+16=(2x+4)2 二、探索新知 列出下面二个问题的方程并回答: (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢? (2)能否直接用上面三个方程的解法呢? 问题 1:印度古算中有这样一首诗: “一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,?八分之一再 平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我总数共多少,两队猴子在 一起” . 大意是说:一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数的

1 的平方,另一队猴子数是 8

12,那么猴子总数是多少?你能解决这个问题吗? 问题 2:如图,在宽为 20m,长为 32m 的矩形地面上,?修筑同样宽的两条平行且与另一 条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为 5000m2,道路 的宽为多少?

www.czsx.com.cn

老师点评:问题 1:设总共有 x 只猴子,根据题意,得: x=(

1 x)2+12 8

整理得:x2-64x+768=0

问题 2:设道路的宽为 x,则可列方程: (20-x) (32-2x)=500 2 整理,得:x -36x+70=0 (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含 有 x 的完全平方式而后二个不具有. (2)不能. 既然不能直接降次解方程, 那么, 我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程, 下面,我们就来讲如何转化: x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768 两边加(

?64 2 ) 使左边配成 x2+2bx+b2 的形式 → x2-64x+322=-768+1024 2

左边写成平方形式 → (x-32)2=?256 ?降次→x-32=±16 即 x-32=16 或 x-32=-16 解一次方程→x1=48,x2=16 可以验证:x1=48,x2=16 都是方程的根,所以共有 16 只或 48 只猴子. 学生活动: 例 1.按以上的方程完成 x2-36x+70=0 的解题.
2 老师点评: x2-36x=-70, x2-36x+182=-70+324, (x-18) =254, x-18=± 254 , x-18= 254

或 x-18=- 254 ,x1≈34,x2≈2. 可以验证 x1≈34,x2≈2 都是原方程的根,但 x≈34 不合题意,所以道路的宽应为 2. 例 2.解下列关于 x 的方程 (1)x2+2x-35=0 (2)2x2-4x-1=0 分析: (1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方 式; (2)同上. 解: (1)x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 (x-1)2=36 x-1=±6 x-1=6,x-1=-6 x1=7,x2=-5 可以,验证 x1=7,x2=-5 都是 x2+2x-35=0 的两根. (2)x2-2x-

1 1 =0 x2-2x= 2 2 1 3 x2-2x+12= +1 (x-1)2= 2 2
x-1=±

6 6 6 即 x-1= ,x-1=2 2 2 6 6 ,x2=12 2 6 6 ,x2=1都是方程的根. 2 2

x1=1+

可以验证:x1=1+

三、巩固练习 教材 P38 讨论改为课堂练习,并说明理由. 教材 P39 练习 1 2. (1) 、 (2) .

四、应用拓展 例 3.如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点 P、Q 同时由 A,B?两点出发 分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动,它们的速度都是 1m/s,?几秒后△PCQ?的面积为 Rt△ ACB 面积的一半.

A P

C

Q
www.czsx.com.cn

B

分析:设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.?根据已 知列出等式. 解:设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半. 根据题意,得:

1 1 1 (8-x) (6-x)= × ×8×6 2 2 2

整理,得:x2-14x+24=0 (x-7)2=25 即 x1=12,x2=2 x1=12,x2=2 都是原方程的根,但 x1=12 不合题意,舍去. 所以 2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半. 五、归纳小结 本节课应掌握: 左边不含有 x 的完全平方形式,?左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有 x 的完 全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程. 六、布置作业 1.教材 P45 复习巩固 2. 2.选用作业设计. 一、选择题 1.将二次三项式 x2-4x+1 配方后得( ) . 2 2 A. (x-2) +3 B. (x-2) -3 C. (x+2)2+3 D. (x+2)2-3 2.已知 x2-8x+15=0,左边化成含有 x 的完全平方形式,其中正确的是( ) . 2 2 2 2 A.x -8x+(-4) =31 B.x -8x+(-4) =1 2 2 C.x +8x+4 =1 D.x2-4x+4=-11 3.如果 mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于 x 的完全平方式,则 m 等 于( ) . A.1 B.-1 C.1 或 9 D.-1 或 9 二、填空题 1.方程 x2+4x-5=0 的解是________. 2.代数式

x2 ? x ? 2 的值为 0,则 x 的值为________. x2 ?1

3.已知(x+y) (x+y+2)-8=0,求 x+y 的值,若设 x+y=z,则原方程可变为_______,?

所以求出 z 的值即为 x+y 的值,所以 x+y 的值为______. 三、综合提高题 1.已知三角形两边长分别为 2 和 4,第三边是方程 x2-4x+3=0 的解,求这个三角形的 周长.

2.如果 x2-4x+y2+6y+

z ? 2 +13=0,求(xy)z 的值.

3. 新华商场销售某种冰箱, 每台进货价为 2500?元, ?市场调研表明: ?当销售价为 2900 元时,平均每天能售出 8 台;而当销售价每降 50 元时,平均每天就能多售出 4 台,商场要 想使这种冰箱的销售利润平均每天达 5000 元,每台冰箱的定价应为多少元?

答案: 一、1.B 2.B 3.C 二、1.x1=1,x2=-5 2.2 3.z2+2z-8=0,2,-4 三、1. (x-3) (x-1)=0,x1=3,x2=1, ∴三角形周长为 9(∵x2=1,∴不能构成三角形) 2. (x-2)2+(y+3)2+ z ? 2 =0,

1 36 2900 ? x 3.设每台定价为 x,则: (x-2500) (8+ ×4)=5000, 50
∴x=2,y=-3,z=-2, (xy)z=(-6)-2= x2-5500x+7506250=0,解得 x=2750

22.2.2 配方法
第 2 课时 教学内容 给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程. 教学目标 了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 通过复习上一节课的解题方法, 给出配方法的概念, 然后运用配方法解决一些具体题目. 重难点关键 1.重点:讲清配方法的解题步骤. 2. 难点与关键: 把常数项移到方程右边后, ?两边加上的常数是一次项系数一半的平方. 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入

(学生活动)解下列方程: (1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0 老师点评:我们前一节课,已经学习了如何解左边含有 x 的完全平方形式,?右边是非 负数, 不可以直接开方降次解方程的转化问题, 那么这两道题也可以用上面的方法进行解题. 2 2 2 解: (1)x -8x+(-4) +7-(-4) =0 (x-4)2=9 x-4=±3 即 x1=7,x2=1 2 (2)x +4x=-1 x2+4x+22=-1+22 (x+2)2=3 即 x+2=± 3 x1= 3 -2,x2=- 3 -2 二、探索新知 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法. 可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 例 1.解下列方程 (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3) (1+x)2+2(1+x)-4=0 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一 个含有 x 的完全平方. 解: (1)移项,得:x2+6x=-5 配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4 由此可得:x+3=±2,即 x1=-1,x2=-5 (2)移项,得:2x2+6x=-2 二次项系数化为 1,得:x2+3x=-1 配方 x2+3x+(

3 2 3 3 5 ) =-1+( )2(x+ )2= 2 2 2 4

由此可得 x+

3 5 5 3 5 3 =± ,即 x1= - ,x2=2 2 2 2 2 2

(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0 移项,得 x2+4x=1 配方,得(x+2)2=5 x+2=± 5 ,即 x1= 5 -2,x2=- 5 -2 三、巩固练习 教材 P39 练习 2. (3) 、 (4) 、 (5) 、 (6) . 四、应用拓展 例 2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4) (x+1)=6 2 分析:因为如果展开(6x+7) ,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数 y, 那么(6x+7)2=y2,其它的 3x+4=

1 1 1 1 (6x+7)+ ,x+1= (6x+7)- ,因此,方程就转化 2 2 6 6

为 y?的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法. 解:设 6x+7=y 则 3x+4=

1 1 1 1 y+ ,x+1= y2 2 6 6

依题意,得:y2(

1 1 1 1 y+ ) ( y- )=6 2 2 6 6

去分母,得:y2(y+1) (y-1)=72 2 2 4 2 y (y -1)=72, y -y =72

1 2 289 )= 2 4 1 17 y2- =± 2 2
(y2y2=9 或 y2=-8(舍) ∴y=±3 当 y=3 时,6x+7=3 6x=-4 x=-

2 3

当 y=-3 时,6x+7=-3 6x=-10 x=-

5 3 2 5 所以,原方程的根为 x1=- ,x2=3 3

五、归纳小结 本节课应掌握: 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤. 六、布置作业 1.教材 P45 复习巩固 3. 2.作业设计 一、选择题 1.配方法解方程 2x2-

1 2 8 )= 3 9 1 8 C. (x- )2= 3 9
A. (x-

4 x-2=0 应把它先变形为( ) . 3 2 B. (x- )2=0 3 1 10 D. (x- )2= 3 9

2.下列方程中,一定有实数解的是( ) . A.x2+1=0 B. (2x+1)2=0 C. (2x+1)2+3=0 D. (

1 x-a)2=a 2

3.已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则 x+y+z 的值是( ) . A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、填空题 1.如果 x2+4x-5=0,则 x=_______. 2.无论 x、y 取任何实数,多项式 x2+y2-2x-4y+16 的值总是_______数. 3.如果 16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么 x 与 y 的关系是________. 三、综合提高题 1.用配方法解方程. (1)9y2-18y-4=0 (2)x2+3=2 3 x

2.已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求

x ? 2y 的值. x2 ? y 2

3. 某商场销售一批名牌衬衫, 平均每天可售出 20 件, 每件赢利 40 元, ?为了扩大销售, 增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,?如果每件衬衫每降 价一元,商场平均每天可多售出 2 件. ①若商场平均每天赢利 1200 元,每件衬衫应降价多少元? ②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?请你设计销售方案.

答案: 一、1.D 2.B 3.B

5 4 4 4 13 三、1. (1)y2-2y- =0,y2-2y= , (y-1)2= , 9 9 9
二、1.1,-5 2.正 3.x-y= y-1=±

13 13 13 ,y1= +1,y2=13 3 3

(2)x2-2 3 x=-3 (x- 3 )2=? 0,x1=x2= 3 2. (x+2)2+(y-3)2=0,x1=-2,y2=3,

∴原式=

?2 ? 6 8 ?? 13 13

3. (1)设每件衬衫应降价 x 元,则(40-x) (20+2x)=1200, 2 x -30x+200=0,x1=10,x2=20 (2)设每件衬衫降价 x 元时,商场平均每天赢利最多为 y, 则 y=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2[(x-15)2-225]+800=-2(x-15)2+1250 ∵-2(x-15)2≤0, ∴x=15 时,赢利最多,y=1250 元. 答:略


相关文章:
22.2.降次——解一元二次方程(习题课)
22.2.降次——解一元二次方程(习题课) - 22.2.降次——解一元二次方程(习题课) 【学习目标】 1、 会灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法...
九年级数学上册 22.2降次——解一元二次方程 妙用wps表...
九年级数学上册 22.2降次——解一元二次方程 妙用wps表格快速求解一元二次方程素材 新人教版_初三数学_数学_初中教育_教育专区。运用之妙 存乎一心 --妙用 ...
...练习题及答案全套-22.2降次--解一元二次方程(第六课时)
人教版九年级数学第22章同步练习题及答案全套-22.2降次--解一元二次方程(第六课时)_数学_初中教育_教育专区。22.2 降次--解一元二次方程(第六课时) (习题...
人教版数学九上22.2《降次──解一元二次方程》word教案
人教版数学九上22.2《降次──解一元二次方程》word教案 - 22.2.降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法(第 2 课时) 主备教师 学习目标 授课教师 授课...
数学:22.2降次——解一元二次方程(配方法两课时)教案(...
降次———解一元二次方程 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法第 1 课时 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程. 教学目标 理解间接即通...
...22.2 降次——解一元二次方程——因式分解法教案 新...
山东省淄博市高青县第三中学九年级数学上册 22.2 降次——解一元二次方程——因式分解法教案 新人教版_数学_初中教育_教育专区。22.2 降次——解一元二次...
教案:22.2降次——解一元二次方程(1)
22.2 降次——解一元二次方程(1)教学内容 本节课主要学习运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次” ,转化为两 个一元一次方程. . ...
2017人教版数学九上22.2《降次──解一元二次方程》wor...
2017人教版数学九上22.2《降次──解一元二次方程》word学案.doc - 22.2 降次——解一元二次方程 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、掌握一元二次方程...
22.2降次——解一元二次方程(共8课时)
22.2降次——解一元二次方程(共8课时)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。22.2降次——解一元二次方程(共8课时)降次——解一元二次方程( ——解一元二次...
22.2降次——解一元二次方程
1.理解一元二次方程降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题. 2.提出问题,列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个...
更多相关标签: