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排列组合解题技巧 课件


解排列问题的常用技巧

解排列问题的常用技巧
解排列问题,首先必须认真审题,明确问 题是否是排列问题,其次是抓住问题的本质 特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解 答,同时,还要注意讲究一些基本策略和方 法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。

下面就不同的题型介绍几种常用的解题 技巧。

总的原则—合理分

类和准确分步
解排列(或)组合问题,应按元素的性质进行 分类,事情发生的连续过程分步,做到分类标准明 确,分步层次清楚,不重不漏。

例1 6个同学和2个老师排成一排照相, 2个 老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排 尾,共有多少种不同的排法?
解法1 分析:先安排甲,按照要求对其进行分类,分两类: 5 1)若甲在排尾 , 则剩下的5人可自由安排,有 A5 种方法. 1 2) 若甲在第2、3、6、7位,则排尾的排法有 A4 种,乙位的排 4 1 A4 种,根据分步计 A4 种, 第2、3、6、7位的排法有 法有 1 1 4 A4 ? A4 ? A4 数原理,不同的站法有 种。 再安排老师,有2种方法。 根据分步及分类计数原理,不同的站法共有 5 1 1 4 2( A5 ? A4 ? A4 ? A4 ) ? 1008 (种) . 解法2 见幻灯片 10

练习1
(1)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字 的五位偶数? 4 个位数为零: A5 个位数为2或4: A ? A ? A
4 1 1 A ? A ? A 所以 5 2 4?A
1 2 1 4 3 4 3 4

(2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数 字且能被五整除的五位数? 分类:后两位数字为5或0:
4 个位数为0: A5 1 3 A ? A 个位数为5: 4 4

A ? A ? A ? 216
4 5 1 4 3 4

(3)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数?
分类:
1 4 1 3 1 2 A2 A5 ? A3 ? A4 ? A2 ? A3 ? 1 ? 325

(4)31250是由0,1,2,3,4,5组成的无重复 数字的五位数中从小到大第几个数?
方法一:(排除法) 方法二:(直接法)
1 4 A5 ? A5 ? 325 ? 275
4 2 1 2 A5 ? A43 ? A3 ? 2 ? A2 ? 1 ? 275

解题技巧
(一)特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元 素,再考虑其它元素。 例2 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字 的三位数,其中偶数共有( B ) A.24 B.30 C.40 D.60 分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数, 又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类; 1) 0排在末尾时,有 A 2 4 个; 2) 0不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排 1 1 1 十位有 A 2A 3A 3 个; 由分类计数原理,共有偶数 30 个.

练习2
(1)0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重
复数字的五位数?

A ?A
1 5

4 5

(2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数
字的五位奇数?

A ?A ?A
1 3 1 4

3 4

(二)总体淘汰法(间接法) 对于含有否定词语的问题,还可以从总体中把不 符合要求的减去,此时应注意既不能多减又不能少减。 例3 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复

数字的三位数,其中1不在个位的数共有_______种。
分析:五个数组成三位数的全排列有 A3 个,0排在首位的 5 2 2 有 A4 个 ,1排在末尾的有 A4 ,减掉这两种不合条件的排
法数,再加回百位为0同时个位为1的排列数
3 2 1 故共有 A5 ? 2 A4 ? A3 ? 39 种。

A

1 (为什么?) 3

若n个不同元素排m个位,a、 b各不能排某位,则有
m m ?1 m?2 An ? 2 An ? A ?1 n ? 2 种排法。

A

3 5

A

2 4

A

1 3

A

2 4

练习3
(1)三个男生,四个女生排成一排,甲不 在最左,乙不在最右,有几种不同方法?

A ? 2A ? A
7 7 6 6

5 5

(2)五人从左到右站成一排,其中甲不站排头, 乙不站第二个位置,那么不同的站法有( ) A.120 B.96 C.78 D.72

1 1 3 ? 78种 ? 直接 A 4 4 A 3A 3A 3

5 4 3 间接A5 ? 2 A4 ? A3 ? 78

(3)0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字 且个位数字不是4的五位数?

A ? 2 A ? A (个)
5 6 4 5 3 4

(4)用间接法解例1—“6个同学和2个老师排成一排 照相, 2个老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不 站排尾,共有多少种不同的排法?”

2(6!?2 ? 5!?4!) ? 1008(种)



(三)相邻问题——捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相 邻的元素“捆绑”在一起,看作一个“大”的元 (组),与其它元素排列,然后再对相邻的元素(组) 内部进行排列。

例4 7人站成一排照相,要求甲,乙,丙三人相邻, 分别有多少种站法?
分析:先将甲,乙,丙三人捆绑在一起看作一个元素, 5 与其余4人共有5个元素做全排列,有 种排法,然后 A5 对甲,乙,丙三人进行全排列。 由分步计数原理可得: 5 3 A5A3 种不同排法。

(四)不相邻问题——插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题,可先将其它

元素排好,然后再将不相邻的元素在已排好的元素
之间及两端的空隙之间插入即可。 例5 7人站成一排照相,要求甲,乙,丙三人不相邻, 分别有多少种站法? 分析:可先让其余4人站好,共有 A 4 4 种排法,再在 这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、 4 3 乙、丙插入,则有 A3 种方法,这样共有 A4 A5 种不 5 同的排法。

练习4
(1)三个男生,四个女生排成一排,男生、女 生各站一起,有几种不同方法? 捆绑法: A
2 2

?A ?A
3 3

4 4

〈2〉三个男生,四个女生排成一排,男生之间、

女生之间不相邻,有几种不同排法?
插空法: A ? A
3 3 4 4

〈3〉如果有两个男生、四个女生排成一排,要 求男 生之间不相邻,有几种不同排法?
4 2 插空法: A4 ? A5

(五)顺序固定问题用“除法”

对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先将 这几个元素与其它元素一同进行排列,然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数. 例6 有4名男生,3名女生。3名女生高矮互不等, 将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高
排列,有多少种排法? 7 分析:先在7个位置上作全排列,有 A7 种排法。其中
3 3个女生因要求“从矮到高”排,只有一种顺序故3

A



对应一种排法,

A ? A74 种。 所以共有 A

7 7 3 3

练习5
( 1) 五人排队,甲在乙前面的排法有几种? 分析:若不考虑限制条件,则有 A 5 5 种排法,而甲,

乙之间排法有 A 2 2 种,故甲在乙前面的排法只有一种
符合条件,故
A5 符合条件的排法有 2 A2
5

3 种. 即A5

〈2〉三个男生,四个女生排成一排,其中甲、乙、丙 三人的顺序不变,有几种不同排法?

A 4 ? A7 A

7 7 3 3

(六)分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题,若没有其他

的特殊要求,可采用统一排成一排的方法来处理.
例7 七人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐 4人,则有多少种不同的坐法? 分析:7个人,可以在前后排随意就坐,再无

其他限制条件,故两排可看作一排处理,所以
不同的坐法有
7 A7

种.

练习6
(1)三个男生,四个女生排成两排,前排三人、 后排四人,有几种不同排法?
3 4 7 A7 ? A4 ? A7

或:七个人可以在前后两排随意就坐,再无其他条件,

所以
两排可看作一排来处理 不同的坐法有 A7 种
7

(2)八个人排成两排,有几种不同排法?

7A

8 8

(七)实验法 题中附加条件增多,直接解决困难时,用实验逐 步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例8 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的 四个方格内,每个方格填1个,则每个方格的标号 与所填的数字均不相同的填法种数有( ) A.6 B.9 C.11 D.23

分析:此题考查排列的定义,由于附加条件较多,解法较为困难, 可用实验法逐步解决。 第一方格内可填2或3或4。如填2,则第二方格中内可填1或3或4。 若第二方格内填1,则第三方格只能填4,第四方格应填3。 若第二方格内填3,则第三方格只能填4,第四方格应填1。 同理,若第二方格内填4,则第三方格只能填1,第四方格应 填3。因而,第一格填2有3种方法。 不难得到,当第一格填3或4时也各有3种,所以共有9种。

(八)住店法 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素: 一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复 的元素看作“客人”,能重复的元素看作“店”,再 利用乘法原理直接求解。 例9 七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一 人获得,获得冠军的可能的种数有( ) A. 7
5

B.

5

7

C

A

5 7

D.

C

5 7

分析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列, 将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客人”,每 个“客人”有7种住宿法,由乘法原理得 5 种。 注:对此类问题,常有疑惑,为什么不是

7

5

7

呢?

用分步计数原理看,5是步骤数,自然是指数。

练习:
(1)把4个不同的小球放入3个分别标有1~3 号的盒子中,允许有空盒子的放法有多少 种? (2)将4封信全部投入3个邮筒,可以随意投, 有多少种不同的投法?

(九)隔板法
例10:方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?

(十)表格法
例11 9人组成篮球队,其中7人善打前锋,3 人善打后卫,现从中选5人(两卫三峰,且 锋分左中右,卫分左右)组对出场,有多 少种不同的组队方法?

(十一)“先选后排”法
例12 4个不同小球放入编号为1,2,3,4的 四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少 种?


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