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离散型随机变量的均值与方差


离散型随机变量的均值与方差
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 通用

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 60

1、离散型随机变量均值的概念及实际意义;2、离散型随机变量均值的求法;3、常见概率分布 的均值公式;4、离散型随机变量方差的概念及实际意义;5、离散型随机变量方差的求法;6、 常见概率分布的方差公式;7、离散型随机变量均值与方差的应用

教学目标

1、 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念; 2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.

教学重点 教学难点

离散型随机变量的均值、方差的概念 求离散型随机变量的均值、方差

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教学过程
一、课堂导入
2 问题:毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为3, 得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立的,记 X 为该毕业生得到面试的公司个 1 数.若 P(X=0)=12,则随机变量 X 的数学期望 EX?

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二、复习预习
离散型随机变量的均值与方差在高考中经常考察以下几点:1.考查离散型随机变量的均值与方差的概念;2.利用均 值、方差解决一些实际问题.所以在复习时,要掌握以下几点:理解随机变量的均值、方差的意义、作用,能解决一些 简单的实际问题.

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三、知识讲解
考点 1
1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P (1)均值 称 EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量 取值的平均水平. (2)方差 称 DX=E(X-EX)2 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度. x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

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考点 2
2. 均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aEX+b. (2)D(aX+b)=a2DX.(a,b 为常数)

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考点 3
3. 二项分布的均值、方差 若 X~B(n,p),则 EX=__np__,DX=np(1-p).

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四、例题精析
考点一 离散型随机变量的均值、方差 例 1 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误 天数 Y 0 2 6 10 X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.

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【规范解答】1)由已知条件和概率的加法公式有 P(X<300)=0.3, P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2, P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为 Y P 于是,EY=0× 0.3+2× 0.4+6× 0.2+10× 0.1=3; DY=(0-3)2× 0.3+(2-3)2× 0.4+(6-3)2× 0.2+(10-3)2× 0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式, 得 P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.
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0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=

P? 300≤ X<900? 0.6 6 P?X≥300? =0.7=7.

6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是7. 【总结与反思】(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运 用均值、方差公式进行计算.(2)概率与统计的结合是高考的热点,熟练掌握基础知识,理解二者的联系是解题的关键.

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考点二 例2

二项分布的均值、方差

某人投弹命中目标的概率 p=0.8. (1)求投弹一次,命中次数 X 的均值和方差 ; (2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差.

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【规范解答】(1)随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.2 1 0.8

故 EX=0× 0.2+1× 0.8=0.8,DX=(0-0.8)2× 0.2+(1-0.8)2× 0.8=0.16. (2)由题意知,命中次数 Y 服从二项分布,即 Y~B(10,0.8), ∴EY=np=10× 0.8=8, DY=np(1-p)=10× 0.8× 0.2=1.6.

【总结与反思】若 X~B(n,p),则 EX=np,DX=np(1-p).

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考点三

均值与方差的应用

1 1 例 3 现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资 10 万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为6、2、 1 3;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中, 价格下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产品价格 在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、 2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 X1、X2 分别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元 一年后的利润. (1)求 X1,X2 的概率分布列和均值 EX1,EX2; (2)当 EX1<EX2 时,求 p 的取值范围.

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【规范解答】(1)X1 的概率分布列为 X1 P 1 1 1 EX1=1.2× 6+1.18× 2+1.17× 3=1.18. 由题设得 X~B(2,p),即 X 的概率分布列为 X P 故 X2 的概率分布列为 X2 P 1.3 (1-p)2 1.25 2p(1-p) 0.2 p2 0 (1-p)2 1 2p(1-p) 2 p2 1.2 1 6 1.18 1 2 1.17 1 3

所以 EX2=1.3× (1-p)2+1.25× 2p(1-p)+0.2× p2=1.3× (1-2p+p2)+2.5× (p-p2)+0.2× p2 =-p2-0.1p+1.3. (2)由 EX1<EX2,得-p2-0.1p+1.3>1.18,
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整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4<p<0.3. 因为 0<p<1,所以当 EX1<EX2 时, p 的取值范围是 0<p<0.3.

【总结与反思】(1)解决实际应用问题时,关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件.(2)随机变量的 均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变 量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定

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例4

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2m 个球,从甲袋中摸出 1 个

2 球为红球的概率为5,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2. (1)若 m=10,求甲袋中红球的个数; 1 (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是3,求 P2 的值; 1 (3)设 P2=5,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸 球,每次摸出 1 个球,并且从甲袋中摸 1 次,从乙袋中摸 2 次.设 ξ 表示摸出红球的总次数,求 ξ 的分布列和均值.

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2 【规范解答】(1)设甲袋中红球的个数为 x,依题意得 x=10× 5=4. 2 5m+2mP2 1 3 (2)由已知,得 = ,解得 P 2= . 3m 3 10 (3)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3. 3 4 4 48 P(ξ=0)=5× 5× 5=125, 2 1 1 4 3 ?1?2 19 ?5? = , P(ξ=2)=5× C2× 5× 5+5× ? ? 125 所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 48 125 2 4 4 3 1 1 4 56 P(ξ=1)=5× C2× 5× 5+5× 5× 5=125, 2 ?1?2 2 ?5? = . P(ξ=3)=5× ? ? 125 1 56 125 2 19 125 3 2 125

48 56 19 2 4 所以 Eξ=0× + 1× + 2× + 3× = 125 125 125 125 5. 【总结与反思】 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值.(2)本题解答中的典型错误是计算不准 确以及解答不规范.如第(3)问中,不明确写出 ξ 的所有可能值,不逐个求概率,这都属于解答不规范.
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课程小结
1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 (1)均值 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

称 EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望, 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称 DX=E(X-EX)2 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aEX+b. (2)D(aX+b)=a2DX.(a,b 为常数) 3.二项分布的均值、方差 若 X~B(n,p),则 EX=__np__,DX=np(1-p).

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