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正态分布


复习与思考

1.由函数 y ? f ( x) 及直线 x ? a, x ? b, y ? 0y

围成的曲边梯形的面积S=_________ ?a f ( x)dx ;
2. 在我班同学身高频率分布直方图中 ①区间(a,b)对应的图形的面积表示 身高在区间(a,b) 内取值的频率 , ______________________________ ②在频率分布直方图中, 所有小矩形的面积的和 1 为_______ .
O

b

a

b

x

a

b

100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距

产品 尺寸 (mm)
25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535

200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距

产品 尺寸 (mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535

样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距

总体密度曲线

产品 尺寸 (mm)

高尔顿板

N=500,

P=0.5

M=10

11

y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 ? ?m ,s ( x) ? e 2?s

( x ? m )2 2s 2

x

x ? (??,??)

式中的实数m、s是参数 正态分布密度曲线(正态曲线)

探究发现 正态分布 如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b

y

则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s 唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差. 正态分布记作N( m,s2).其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布,则记作记为 X~N(m,s2)

P(a ? X ? b) ? ? ?m ,s ( x)dx
a

0

a

b

x

例题探究

例1.给出下列两个正态总体的函数表达式,请找出 其均值m和标准差s x2 1 ?2 m?0 , s ?1 (1) ? ( x) ? e , x ? (??, ??) 2?
(2)

说明:当m?0 , s ?1时,X 服从标准正态分布 记为X~N (0 , 1)

1 ? ( x) ? e 2 2?
王新敞
奎屯 新疆

( x ?1)2 ? 8

, x ? (??, ??)

m?1 , s ?2

正态总体的函数表示式 ? 1 f ( x) ? e 2? s
当μ= 0,σ=1时

( x?m )2 2s 2

x ? (??,??)
y

μ=0

标准正态总体的函数表示式

σ=1
x2

1 ?2 f ( x) ? e x ? (??,??) 2?

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

标准正态曲线

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布:

在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等,水文中的水位;

总之,正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。

正态分布在概率和统计中占有重要地位。

m 的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平

x= μ

x3

x4

x1

平均数

x2

产品 尺寸 (mm)

s的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度

s1 s2
平均数
产品 尺寸 (mm)

3、正态曲线的性质

? m ,s ( x ) ?
y μ= -1 σ=0.5

1

2?s y

e

?

( x ? m )2 2s 2

, x ? ( ??, ?? )
y μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.

(3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (4)曲线与x轴之间的面积为1

1 σ 2π

3、正态曲线的性质
y X=μ

? m ,s ( x ) ?

1 2? s

e

?

( x ? m )2 2s 2

σ=0.5

σ=1

σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

(5)当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近. (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 . σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

正态总体的函数表示式

1 f ( x) ? e 2? s

( x?m )2 ? 2s 2

x ? (??,??)
y

1 (0, ] (2)f ( x) 的值域为 2? s
(3) f ( x) 的图象关于

(1)当x = μ 时,函数值为最大.

μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

x =μ

对称.

(-∞,μ] 时f ( x)为增函数. (4)当 x∈ (μ,+∞) 时f ( x)为减函数. 当 x∈

标准正态曲线

例2、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位,得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是 ( D) A.曲线b仍然是正态曲线;
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;

C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为 概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为 概率密度曲线的总体的方差大2。

正态曲线下的面积规律
? X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 ? 对称区域面积相等。

S(-?,-X)

S(X,?)=S(-?,-X)

m

正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。

S(-x1, -x2)

S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

-x1 -x2

m

x2 x1

4、特殊区间的概率:
若X~N

(m,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
m ?a

P(m ? a ? x ≤ m ? a) ?

为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 m 和 s而言,该面 积随着 s 的减少而变大。这说明 s 越小, 落在区间 (m ? a, m ? a] 的概率越大,即X集中在 m 周围概率越大。

? m s ( x )dx ? m
, ?a

x=μ

特别地有

P( m ? s ? X ? m ? s ) ? 0.6826, P( m ? 2s ? X ? m ? 2s ) ? 0.9544, P( m ? 3s ? X ? m ? 3s ) ? 0.9974.
m+a

m-a

练习:1、已知一次考试共有60名同学参加,考生的 2 (100,5 ),据此估计,大约应有57人的分 成绩X~ 数在下列哪个区间内?( )

A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

2、已知X~N (0,1),则X在区间 (??, ?2) 内取值的概率 等于( D )
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 0.9544 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ? 0)=

0.5

,

P(?2 ? X ? 2) =

.

4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).


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