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第二节 均值不等式及其应用


均值不等式及其应用

1.了解均值不等式的证明过程. 2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.

[理 要 点] 一、均值定理 如果 a, b∈R+, 那么 a+b≥ ab .当且仅当 a=b 时, 2 式中等号成立. 二、算术平均数与几何平均数
a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 2 ,几

>
何平均数为 ab, 均值定理可叙述为: 两个正实数的算术平 均值 大于或等于 它的几何平均值.

三、常用的几个重要不等式 1.a2+b2≥ 2ab (a,b∈R); a+b 2 2.ab ≤ ( ) (a,b∈R); 2 a2+b2 a+b 2 ≥ ( 3. ) (a,b∈R); 2 2 b a 4.a+b≥ 2 (a,b 同号且不为零).

四、利用均值不等式求最值 设 x,y 都是正数. 1.如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有 最小值 2 P . 2.如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有 最大值 1S2 . 4

[究 疑 点]

1.三中四个重要不等式中,等号成立的条件是什么?
提示:当且仅当a=b时取等号. 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,

如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来
求解.

[题组自测] 1.已知 a、b、c∈R 且 a+b+c=1, 1 1 1 求证:(a-1)(b-1)(c -1)≥8.
证明:∵a、b、c∈R 且 a+b+c=1, ?1-a??1-b??1-c? 1 1 1 ∴ ( a - 1)( b - 1)( c - 1) = = abc ?b+c??a+c??a+b? 2 bc· ac· ab 2 2 ≥ =8. abc abc 1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3




1 1 2.设 a,b 均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b
证明:由于 a,b 均为正实数, 1 1 所以 2+ 2≥2 a b 1 1 2 ·= , a2 b2 ab

1 1 当且仅当 2= 2,即 a=b 时等号成立, a b 2 又因为ab+ab≥2 2 ab=2 2, ab·

2 当且仅当ab=ab 时等号成立,

1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ab+ab≥2 2, a b ?1 1 ?a2=b2 当且仅当? ? 2 =ab ?ab

,即 a=b= 2时取等号.

4

bc ac ab 3.(1)设 a,b,c 都是正数,求证: a + b + c ≥a+b+c. 1 1 (2)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:a+b≥4.

bc ca ab 证明:(1)∵a,b,c 都是正数,∴ a , b , c 都是正数. bc ca ∴ a + b ≥2c,当且仅当 a=b 时等号成立, ca ab b + c ≥2a,当且仅当 b=c 时等号成立, ab bc c + a ≥2b,当且仅当 a=c 时等号成立. bc ca ab 三式相加,得 2( a + b + c )≥2(a+b+c), bc ca ab 即 a + b + c ≥a+b+c, 当且仅当 a=b=c 时等号成立.

(2)∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴a+b= a + b =2+a+b ≥2+2 ba a·=4, b

1 1 1 即a+b≥4,当且仅当 a=b= 时等号成立. 2

[归纳领悟]

利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一
种情况,综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出 发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推 理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可 知”,逐步推向“未知”.

[题组自测] 1.下列函数中,最小值为 4 的函数是 4 A.y=x+x 4 B.y=sinx+ (0<x<π) sinx C.y=ex+4e
-x

(

)

D.y=log3x+logx81

4 4 解析:A 项,y=x+x≥4 或 x+x≤-4, 4 ∴A 不正确; 项等号不能取到; 项, B D y=log3x+ log3x 与 A 项相同,所以只有 C 项正确.

答案:C

t2-4t+1 2. (2010· 重庆高考)已知 t>0, 则函数 y= 的 t 最小值为________.

1 解析:依题意得 y=t+ t -4≥2

1 t ·-4=-2,此 t

t2-4t+1 时 t=1,即函数 y= (t>0)的最小值是-2. t

答案:-2

3 3.设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值. 2 3 解:∵0<x< ,∴3-2x>0, 2

∴y=4x· (3-2x)=2[2x(3-2x)]
?2x+?3-2x?? ? ?2 9 ≤2? ? =2. 2 ? ?

3 当且仅当 2x=3-2x,即 x= 时,等号成立. 4 3 ? 3? ∵ ∈?0,2?, 4 ? ? ∴函数
? 3? 9 y=4x(3-2x)?0<x<2?的最大值为 . 2 ? ?

4 4.(1)x<3,求 f(x)= +x 的最大值. x-3 3 4 (2)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求x+y 的最小值.

解:(1)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0, 4 4 ∴f(x)= +x= +(x-3)+3 x-3 x-3 4 =-[ +(3-x)]+3 3-x ≤-2 4 · ?3-x?+3=-1, 3-x

4 当且仅当 =3-x,即 x=1 时,等号成立. 3-x 故 f(x)的最大值为-1.

(2)∵x>0,y>0,且 x+y=1, 3 4 3 4 3y 4x ∴x+ y=(x+ y)(x+y)=7+ x + y ≥7+2 3y 4x x · =7+4 3, y

3y 4x 当且仅当 x = y ,即 2x= 3y 时等号成立, 3 4 ∴x+ y的最小值为 7+4 3.

3 4 已知 x>0,y>0 且x+y =1,求使 x+y≥c 恒成立的 c 的取值范围.

3 4 解:∵x>0,y>0 且x+ y=1. 3 4 ∴x+y=(x+y)(x+ y ) 3y 4x =7+ x + y ≥7+2 3y 4x x · =7+4 3, y

3y 4x 当且仅当 x = y ,即 3y=2x 时等号成立, 此时 x=3+2 3,y=4+2 3. 要使 x+y≥c 恒成立,只需 c≤7+4 3. ∴c 的取值范围是(-∞,7+4 3].

[归纳领悟]
1.在应用均值不等式求最值时,要把握三个方面,即“ 一正——各项都是正数;二定——和或积为定值;三 相等——等号能取得”,这三个方面缺一不可. 2.对于求分式型的函数最值题,常采用拆项使分式的分

子为常数,有些分式函数可以拆项分成一个整式和一
个分式(该分式的分子为常数)的形式,这种方法叫分 离常数法.

3.为了创造条件使用均值不等式,就需要对式子进行恒 等变形,运用均值不等式求最值的焦点在于凑配“和 ”与“积”,并且在凑配过程中就应考虑到等号成立 的条件,另外,可利用二次函数的配方法求最值.

注意:利用均值不等式求最值一定不能忽略取等号的
条件.

[题组自测]
1.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运 费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一 年的总运费与总存储费用之和最小,则x=__________.

400 解析:每年购买次数为 x . 400 ∴总费用= x · 4+4x≥2 6400=160, 1600 当且仅当 x =4x,即 x=20 时等号成立, 故 x=20.

答案:20

2.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如 果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则

水池的最低总造价为________元.

解析:设池底的长和宽分别为 a、b,则 2ab=8,ab=4, 总造价 y=(2a+2b)· 80+120ab=320(a+b)+480≥320· 2· 2 ab+480=1760(当且仅当 a=b=2 m 时取等号).

答案:1760

3.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一 栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼 房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+ 48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用 购地总费用 +平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积

解:设将楼房建为 x 层,则每平方米的平均购地费用为 2160×104 10800 = x . 2000x ∴每平方米的平均综合费用 10800 225 y=560+48x+ x =560+48(x+ x )(x≥10), 225 当 x+ x 取最小时,y 有最小值. 225 ∵x>0,∴x+ x ≥2 225 x·x =30,

225 当且仅当 x= x ,即 x=15 时,上式等号成立. 所以当 x=15 时,y 有最小值 2000 元. 因此该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最小.

[归纳领悟] 在应用均值不等式解决实际问题时,要注意以下四点: (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,确定函数的定义域; (3)在定义域内,求出函数的最值; (4)回到实际问题中去,写出实际问题的答案.

一、把脉考情 从近两年的高考试题来看,利用均值不等式求函数的最

值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点,题型既有
选择题、填空题,又有解答题,难度为中低档题;客观题 突出“小而巧”,主要考查基本不等式取等号的条件及运 算能力;主观题考查较为全面,在考查基本运算能力的同 时,又注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨 论等思想方法. 预测2012年高考仍将以求函数的最值为主要考点,重点 考查学生的运算能力和逻辑推理能力.

二、考题诊断 1 1 1.(2010· 四川高考)设 a>b>0,则 a +ab+ 的 a?a-b?
2

最小值是 A.1 C.3 B.2 D.4

(

)

1 1 1 4 2 2 解析:a +ab+ =a + ≥a + 2≥4, 当且仅 a a?a-b? b?a-b?
2

4 2 当 b=a-b 且 a = 2,即 a= 2,b= 时“=”都成立, a 2
2

故原式最小值为 4.

答案:D

x y 2.(2010· 山东高考)已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的 3 4


最大值为________.

x y 解析:因为 1= + ≥2 3 4

xy ·=2 34

xy = 12

xy , 3

x y 3 所以 xy≤3,当且仅当 = ,即 x= ,y=2 时取等号,故 xy 3 4 2 的最大值为 3.

答案:3

x 3.(2010· 山东高考)若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a x +3x+1 的取值范围是________.

x 解析:若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立, x +3x+1 x 只需求得 y= 2 的最大值即可. x +3x+1 因为 x>0,所以 x 1 y= 2 = ≤ 1 x +3x+1 x+x+3 2 当且仅当 x=1 时取等号, 1 所以 a 的取值范围是[ ,+∞). 5 1 答案:[ ,+∞) 5 1 1 = , 5 1 x·+3 x

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