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秦九韶算法


1.3

算法案例
第二课时

问题提出

1.辗转相除法和更相减损术,是求 两个正整数的最大公约数的优秀算法, 我们将算法转化为程序后,就可以由计 算机来执行运算,实现了古代数学与现 代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值,在我国古 代数学中有一个优秀算法,即秦九韶算 法,我们将对这个算法作些了解和探究.

知识探究(一):秦九韶算法的基本思想

思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1, 求f(5)的值. 若先计算各项的值,然后 再相加,那么一共要做多少次乘法运算 和多少次加法运算?
4+3+2+1=10次乘法运算, 5次加法运算.

思考2:在上述问题中,若先计算x2的值, 然后依次计算x2·x,(x2·x)·x, ((x2·x)·x)·x的值,这样每次都可以 利用上一次计算的结果,再将这些数与x 和1相加,那么一共做了多少次乘法运算 和多少次加法运算?

4次乘法运算,5次加法运算.

思考3:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0的值,这 个多项式应写成哪种形式? f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+?+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+?+a2)x+a1)x+a0 =? =(?((anx+an-1)x+an-2)x+?+a1)x+a0.

思考4:对于f(x)=(?((anx+an-1)x+ an-2)x+?+a1)x+a0,由内向外逐层计算 一次多项式的值,其算法步骤如何? 第一步,计算v1=anx+an-1. 第二步,计算v2=v1x+an-2.

第三步,计算v3=v2x+an-3. …
第n步,计算vn=vn-1x+a0.

思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法,利用该算法求f(x0)的 值,一共需要多少次乘法运算,多少次 加法运算? 思考6:在秦九韶算法中,记v0=an,那么 第k步的算式是什么?

vk=vk-1x+an-k (k=1,2,?,n)

知识探究(二):秦九韶算法的程序设计

思考1:用秦九韶算法求多项式的值,可 以用什么逻辑结构来构造算法?其算法 步骤如何设计?
第一步,输入多项式的次数n,最高次 项的系数an和x的值. 第二步,令v=an,i=n-1. 第三步,输入i次项的系数ai. 第四步,v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断i≥0是否成立.若是,则返回第 二步;否则,输出多项式的值v.

思考2:该算法的程序框图如何表示?
开始 输入n,an,x的值 v=an i=n-1 i=i-1

v=vx+ai
输入ai i≥0? 否 输出v 结束



思考3:该程序框图对应的程序如何表述? 开始 INPUT “n=”;n 输入n,a ,x的值 INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a v=a i=n-1 i=n-1 i=i-1 WHILE i>=0 v=vx+a INPUT “ai=”;b v=v*x+b 输入a i=i-1 i≥0? 是 否 WEND 输出v PRINT y 结束 END
n n i

i

理论迁移

例1 已知一个5次多项式为 5 4 3 2 f (x ) = 5x + 2x + 3.5x - 2.6x + 1.7x - 0.8 用秦九韶算法求f(5)的值.
f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3451.2; v5=3451.2×5-0.8=17255.2. 所以f(5)= =17255.2.

例2 阅读 INPUT “x=”;a 下列程序,说 n=0 明它解决的实 y=0 际问题是什么? WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式 在x=a时的值.
f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4

小结作业

评价一个算法好坏的一个重要标志 是运算的次数,如果一个算法从理论上 需要超出计算机允许范围内的运算次数, 那么这样的算法就只能是一个理论算法. 在多项式求值的各种算法中,秦九韶算 法是一个优秀算法.

作业: P45练习:2. P48习题1.3A组:2.


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